實分析/定理列表

下面列出了本華夏公益教科書涵蓋的所有定理。每個定理的格式與本華夏公益教科書中其他定理不同，而是以嚴格的“如果-則”陳述的形式寫成，沒有任何給定的陳述或解釋。雖然這使每個定理比簡單地複製貼上每個證明要短得多，也更容易放在一頁紙上，但你不會獲得瞭解證明是如何構建的，以及大多數這些定理的上下文（當你不瞭解每個變數代表什麼時，這可能不好）。

請注意以下幾點

1. 這裡的定理沒有明確定義任何詞語——請查詢相鄰或嵌入的連結以瞭解它們。
2. 出於可搜尋性的原因，本頁還包括屬性列表。

並且永遠記住，邏輯條件語句預設情況下**不允許**逆命題！

如何閱讀

定理根據統一的“如果”陳述劃分成不同的表格。每個圖表應該像一張地圖，告訴你你的證明可以在哪裡有效地進行。表格分為三行：參考、如果和則。第一行專門為讀者提供有關所討論定理的一些背景資訊。它通常是定理的名稱、定理的直接用途或不存在。第二行是定理之間有效轉換所需要的條件。第三行是你現在可以有效地斷言為真的東西，而不必擔心出現矛盾或無效的陳述。

如果你在該頁面上遇到任何編號列表，這意味著預設情況下所有條件都必須滿足。換句話說，假設該列表中的所有內容都在 AND 條件下工作，除非另有說明。

將使用任何和所有正常的命名約定。例如，ƒ 預設情況下指的是一個函式——除非另有說明。如果必須根據上下文推斷某些變數名，這就會變得很重要。例如，積分的“函式”L 和 U 實際上分別代表下限和上限，並不一定是您習慣的函式（因此不要將函式定理應用於它們！)

公理列表

公理，在邏輯上，本質上是無需“如果”陳述的證明。因此，以下列表只包含本質上是“則”陳述的內容，可以自由使用。

本華夏公益教科書的公理列表

參考	公理
結合律	$(a+b)+c=a+(b+c)$
交換律	$a+b=b+a$
單位元律	$a+0=a$
逆元律	$a+(-a)=0$
結合律	$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
交換律	$a\cdot b=b\cdot a$
單位元律	$a\cdot 1=a$
逆元律	$a\cdot a^{-1}=1$
分配律	$a\cdot (b+c)=ab+ac$
"等式定律"	$0\neq 1$

定理列表

代數定理和屬性列表

如果	則
a = b	f(a) = f(b)
a = b	f-1(a) = f-1(b)

函式定理和屬性列表

如果	則
函式 ƒ 是一個常數函式	$f'=0$
	$\int _{a}^{b}f=c(b-a)$
函式 ƒ = x	$\int _{a}^{b}f=b^{2}/2-a^{2}/2$
函式 ƒ 是一個有理函式	$f'={\dfrac {p'q-q'p}{q^{2}}}$
函式 ƒ 在某個區間 I 上是 凸 的	函式 -ƒ 在某個區間 I 上是 凹 的
函式 ƒ 在某個區間 I 上是 凹 的	函式 -ƒ 在某個區間 I 上是 凸 的
該函式在 [a,b] 上有界，且 ${\begin{aligned}&\sup {\{L(f,{\mathcal {P}})\,:\,{\mathcal {P}}{\text{ a partition of }}[a,b]\}}\\=&\inf {\{U(f,{\mathcal {P}})\,:\,{\mathcal {P}}{\text{ a partition of }}[a,b]\}}\end{aligned}}$	該函式在 [a,b] 上是 可積 的
該函式在 [a,b] 上有界，且 $U(f,{\mathcal {P}})-L(f,{\mathcal {P}})<\epsilon$

極限定理和性質列表

如果	則
函式 ƒ 在 極限 處有定義	$\lim _{x\rightarrow c}af(x)=a\cdot \lim _{x\rightarrow c}f(x)=aL$
函式 ƒ 在極限處有定義且不為 0	$\lim _{x\rightarrow c}{\frac {1}{g(x)}}={\frac {1}{M}}$
函式 ƒ 和函式 g 在極限處有定義	$\lim _{x\rightarrow c}{f(x)+g(x)}=L+M$
	$\lim _{x\rightarrow c}{f(x)-g(x)}=L-M$
	$\lim _{x\rightarrow c}{f(x)\cdot g(x)}=L\cdot M$
函式 ƒ 和函式 g 在極限處有定義，且 函式 g 不為 0 g 的極限不為 0	$\lim _{x\rightarrow c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L}{M}}$
函式 ƒ 在 c 處有定義的極限	該極限是唯一的

連續性定理和性質列表

如果	則
函式 ƒ 在 c 處是 連續 的	$\lim _{x\rightarrow c}{\lambda \cdot g(x)}=\lambda \cdot g(c)$
函式 ƒ 在 c 處是連續的，且不為 0	$\lim _{x\rightarrow c}{\left({\dfrac {1}{g}}\right)(x)}={\dfrac {1}{g(c)}}$
函式 ƒ 和 g 在 c 處連續	$\lim _{x\rightarrow c}{(f+g)(x)}=f(c)+g(c)$
	$\lim _{x\rightarrow c}{(f-g)(x)}=f(c)+g(c)$
	$\lim _{x\rightarrow c}{(f\cdot g)(x)}=f(c)\cdot g(c)$
函式 ƒ 和 g 在 c 處連續 g(c) ≠ 0	$\lim _{x\rightarrow c}{\left({\dfrac {f}{g}}\right)(x)}={\dfrac {f(c)}{g(c)}}$
函式 g 在 c 處連續，函式 ƒ 在 g(c) 處連續	$\lim _{x\rightarrow c}{f\circ g(x)}=f(g(c))$
函式 ƒ 在 [a,b] 上連續，並且存在兩個數字 a 和 b 使得 a < b	$\exists c\in (a,b)$ 使得 $f(a)<f(c)<f(b)$
	函式 ƒ 在區間 [a,b] 上有界
函式 ƒ 在 [a,b] 上連續 M 是 ƒ 在區間 [a,b] 上的上界 m 是 ƒ 在區間 [a,b] 上的下界	$\exists c,d\in [a,b]$ 使得 $f(c)=M$ 並且 $f(d)=m$.
函式 ƒ 在 [a,b] 上連續	ƒ 在 [a,b] 上可積

導數定理和性質列表

參考	如果	則
連續性的推論	函式 ƒ 在 x 處可微	函式 ƒ 在 x 處連續
證明“泛函分析”的定理	函式 ƒ 在 (a, b) 上定義 在 x 處可微 x 是最大值或最小值點	它在 x 處的導數等於 0
羅爾定理	函式 ƒ 在 [a,b] 上連續 在 (a,b) 上可微 f(a)=f(b)	$\exists c\in (a,b)$ 使得 $f'(c)=0$
均值定理	函式 ƒ 在 [a,b] 上連續 在 (a,b) 上可微	$\exists c\in (a,b)$ 使得 $f'(c)={\dfrac {f(a)-f(b)}{a-b}}$
柯西均值定理	函式 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 區間 $[a,b]$ 上連續 在 (a,b) 上可微 是除法的有效運算元	$\exists c\in (a,b)$ 使得 ${\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$.
證明"函式分析"的定理	函式 ƒ 在某個區間 I 上有一階導數為正	ƒ 在區間 I 上也必須是遞增的
	函式 ƒ 在某個區間 I 上有一階導數為負	ƒ 在區間 I 上也必須是遞減的
	函式 ƒ 有 在某個 x 處一階導數值為 0。 在某個 x 處二階導數值為正。	ƒ(x) 是一個區域性最小值
	函式 ƒ 有 在某個 x 處一階導數值為 0。 在某個 x 處二階導數值為負。	ƒ(x) 是一個區域性最大值
證明直覺的定理	在某個點 (x, ƒ(x)) 處的切線位於凸/凹區域之間。	只要函式是凹的，直線就會大於函式。如果函式是凸的，直線就會小於函式。

積分定理和性質列表

如果	則
函式 ƒ 在 [a,b] 上可積，且 a < c < b	ƒ 在 [a,c] 上可積，且 ƒ 在 [c,b] 上可積
ƒ 在 [a,c] 上可積，且 ƒ 在 [c,b] 上可積	函式 ƒ 在 [a,b] 上可積
ƒ + g 在 [a,b] 上可積	$\int _{a}^{b}{f+g}=\int _{a}^{b}{f}+\int _{a}^{b}{g}$
ƒ 在 [a,b] 上可積	對於所有 $c\in \mathbb {R}$ 使得 $\int _{a}^{b}{cf}=c\int _{a}^{b}{f}$
	$\int _{a}^{b}{f}=-\int _{b}^{a}{f}$
ƒ 在 [a,b] 上連續，且 ƒ 是某個函式 g 的導數	$\int _{a}^{b}{f}=g(b)-g(a)$
ƒ 在 [a,b] 上可積，並且 ƒ 是某個函式 g 的導數。
ƒ 在 c 處連續，其中 c 在區間 [a,b] 內。	$F'(x)={\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}{f}=-{\frac {d}{dx}}\int _{x}^{a}{f}=f$