實分析/緊集

緊集的定義 如果一個集合有開覆蓋並且包含有限子覆蓋，那麼它是緊緻的

定義

令 (X, d) 是一個度量空間，並且令 A ⊆  X。我們稱 A 是 緊緻的，如果對於任何開覆蓋 {U_λ}_λ∈Λ 都存在一個有限集合 U_λ1, …,U_λk，使得 $\textstyle A\subseteq \bigcup _{i=1}^{k}U_{\lambda _{i}}$。換句話說，一個集合是緊緻的當且僅當任何開覆蓋都有一個有限子覆蓋。緊緻集還有另一個序貫定義。如果度量空間 X 中的集合 A 中的任何序列都有一個收斂子序列，則稱集合 A 是緊緻的。

定理

令 A 是 $R^{n}$ 中的一個緊緻集，具有通常度量，那麼 A 是閉集且有界。

定理（海涅-博雷爾）

如果 $\textstyle X=\mathbb {R} ^{n}$，具有通常度量，那麼 X 的任何閉集且有界子集都是緊緻的。