拓撲/賦範向量空間

賦範向量空間 $(V,|\cdot |)$ 是一個向量空間 V，其中有一個函式 $|\cdot |:V\times V\to \mathbb {R}$ ，表示向量長度，稱為範數。

定義

我們知道向量空間的定義，所以我們需要定義範數函式。 $|\cdot |$ 是一個範數，如果這三個條件成立。

1. 只有零向量長度為零，其他所有向量長度都為正。 $|v|\geq 0,|v|=0\iff v=0$ 對於所有 $v\in V$ .

2. 對於 $a\in \mathbb {R}$ 和 $v\in V$ ，我們有 $|av|=|a||v|$ .

3. 三角不等式成立： $|v+w|\leq |v|+|w|$ 對於所有 $v,w\in V$ .

示例

對於給定的 $n\in \mathbb {N}$ ，我們知道 $\mathbb {R} ^{n}$ 是一個向量空間，它的範數可以定義為 $|v-w|=d(v,w)$ ，即 $|v|=d(v,0)$ 。這並不奇怪，實際上我們說一個範數誘導了一個度量，第一個等式表明了這一點。因此，賦範向量空間總是度量空間。讓我們證明這一點。