拓撲/完備化

度量空間的完備化是從一個可能不完備的度量空間構造一個完備度量空間的一個非常重要的構造。實際上，它是將度量空間擴充套件到其完備版本的最小擴充套件。

定義：取度量空間 X 中柯西序列的等價類，使得當兩個柯西序列彼此收斂時，它們是等價的，即它們的差值趨近於極限 0。這組等價類稱為度量空間的閉包。

定理

度量空間的完備化是唯一的且完備的，並且在度量 d(x_n,y_n) 等於它們的差值的極限下形成度量空間，其中 x_n 和 y_n 是兩個柯西序列，並且這個度量是良定義的。此外，收斂於度量空間 X 中元素的等價類的子集同胚於 X，並且 X 的任何其他完備擴充套件必須包含其完備化。

示例

構造實數的一種方法是說它是 rational 數的完備化。