拓撲/上同調

簡介

上同調 是一個與同調密切相關的概念，它是從一個叫做範疇論 的數學分支的意義上來說是反變的。在同調理論中，我們研究從 n 維結構到其 (n-1) 維邊界的對映之間的關係。然而，在上同調中，對映是反轉的，我們研究的是從這些群到其他群的對映群，而不是鏈群。

雖然這種描述可能意味著上同調理論在某種程度上與同調理論一樣強大或不如同調理論強大，但這種印象是錯誤的，因為事實證明，空間的上同調通常更強大。此外，瞭解空間的同調可以讓我們得到上同調，而上同調極大地限制了空間可以具有的同調。

Hom(A,B) 和範疇對偶

Hom(A,B) 的定義

Hom(A,B) 是所有同態 $h:A\to B$ 在複合下的群。然而，這個術語可以在許多領域適用，在拓撲空間的背景下，它是連續函式的群。因此，最好將該群視為所有保持結構的函式的群。

這種構造是範疇論的核心，範疇論已經成功地作為代數拓撲的許多部分的基礎理論。現在我們需要的是一個群 $C$ 的對偶是 $C^{*}=Hom(C,G)$，並且 $(C^{*})^{*}=Hom(Hom(C,G),G)$

上鍊復形

在同調理論中，我們使用鏈復形

$\cdots C_{n}{\xrightarrow {\partial _{n}}}C_{n-1}\cdots$

形成我們的同調群 $H_{n}(X)=Ker(\partial _{n})/Im(\partial _{n+1})$。以它為靈感，我們形成

$\delta ^{n}:C_{n-1}^{*}\to C_{n}^{*}$

其中 $C_{n}^{*}=Hom(C_{n},G)$ 對於給定的群 G。我們的上鍊復形如下

$\cdots Hom(C_{n},G){\xrightarrow {\delta ^{n}}}Hom(C_{n-1},G)\cdots$

為了找到我們的上同調群 $H^{n}(X;G)$，請注意，這與我們選擇的群 $G$有關，因此對於給定的方法，我們必須適當地選擇 $G$。

示例

(正在建設中)

練習

(正在建設中)