範疇論
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這本華夏公益教科書是範疇論的介紹。 它面向那些對抽象數學的一個或多個分支（如群論、分析或拓撲學）有一定了解的人。 這本書包含了許多來自數學各個分支的例子。 如果你不熟悉一些提到的數學型別，不要擔心。 如果所有的例子都不熟悉，最好先研究一些例子再繼續。
範疇是一種數學結構，就像群或向量空間一樣，由公理抽象定義。 群是以這種方式定義的，以便研究對稱性（物理物件和方程的對稱性，以及其他事物）。 向量空間是向量微積分的抽象。
使範疇論不同於其他結構研究的是，從某種意義上說，範疇的概念是一種數學的抽象。 （這不能被轉化為一個精確的數學定義！）這使得範疇論具有非同尋常的自指性，並且能夠處理數學邏輯處理的許多相同問題。 特別是，它提供了一種統一不同數學部分的許多概念的語言。
更詳細地說，範疇具有物件和態射或箭頭。 （最好將態射視為箭頭：“態射”這個詞讓你認為它們是集合對映，而它們不總是集合對映。 範疇的正式定義在關於範疇的章節中給出。）
- 群範疇以群為物件，以同態為箭頭。
- 向量空間範疇以向量空間為物件，以線性對映為箭頭。
保留結構的範疇之間的對映被稱為函子。
- 群的底層集合確定了一個從群範疇到集合範疇的函子。
- 尖空間的基本群確定了一個從尖拓撲空間範疇到群範疇的函子。 事實上，它是一個函子意味著從尖空間 S 到尖空間 T 的連續點保持對映會誘匯出從 S 的基本群到 T 的基本群的群同態。
範疇本身也形成一個範疇，以函子為箭頭。 最根本的是，特定範疇之間的函子形成一個範疇：它的態射被稱為自然變換。 範疇論具有自然變換這一事實可以說是使範疇論如此重要的唯一特徵。
範疇論是由塞繆爾·艾倫伯格和桑德斯·麥克萊恩在 1940 年代發明的，作為一種表達代數拓撲中某些構造的方法。 範疇論在隨後的幾十年中迅速發展。 它已成為數學的一個獨立部分，既作為其本身被研究，也被廣泛用作表達不同領域之間數學思想的統一語言。
例如，代數拓撲將幾何中感興趣的領域與代數中感興趣的領域聯絡起來。 另一方面，代數幾何則朝相反的方向進行，例如，將每個交換環與其素理想譜聯絡起來。 這些領域是最早使用範疇論工具進行研究的領域。 後來的應用擴充套件到抽象代數、邏輯、計算機科學和物理學等領域。
由於範疇的概念非常普遍，因此可以預期，對所有範疇可證明的定理通常不會太深。 因此，範疇論中的許多定理都是針對特定類別的範疇陳述和證明的。
- 同調代數關注阿貝爾範疇，它展示了由阿貝爾群範疇所暗示的特徵。
- 邏輯使用拓撲斯理論進行研究：拓撲斯是一個範疇，它具有一些與集合範疇相同的性質，但它允許拓撲斯的邏輯比經典邏輯更弱。 範疇論的可塑性使其特點在於，拓撲斯最初是為了研究代數幾何而開發的。
範疇推理可以識別特定論證或結果作為更一般理論的結果。 例如，在最大公約數理論的研究中，它本質上是唯一這一事實僅僅來自於任何範疇中乘積的唯一性，因此只是一個更一般結果的例子。 另一方面，整數 A 和 B 的最大公約數可以表示為 A 和 B 的整數係數線性組合這一事實——GCD(a, b) = ma + nb，對於某些整數 m 和 n——是一個更深的事實，它只適用於更受限制的情況。
術語的大多數變體都在術語定義的地方進行討論。 這裡需要指出一個令人討厭的術語問題：“範疇”對應的形容詞是“範疇的”。 由於邏輯中的“範疇的”意味著只有一個模型直到同構，這會導致認知失調； 無論如何，本書中“範疇的”的使用與只有一個模型的概念無關。
一些作者使用“categorial”來代替。 不幸的是，這在語言學中意味著其他東西。 本書遵循大多數用法，使用“範疇的”。