泛函分析/C*-代數

泛函分析
第 5 章：C^*-代數

(2008 年 5 月 27 日). 注意，本章內容尚未完善。

在 $\mathbf {C}$ 上的巴拿赫空間 ${\mathcal {A}}$ 被稱為 *巴拿赫代數*，如果它是一個代數並且滿足

\|xy\|\leq \|x\|\|y\|

.

除非另有說明，我們假設每個巴拿赫代數都具有單位元 $1$ 。

由於 $\|x_{n}y_{n}-xy\|\leq \|x_{n}\|\|y_{n}-y\|+\|x_{n}-x\|\|y\|\to 0$ 當 $x_{n},y_{n}\to 0$ 時，對映

(x,y)\mapsto xy:{\mathcal {A}}\times {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}

是連續的。

對於 $x\in {\mathcal {A}}$ ，設 $\sigma (x)$ 為所有複數 $\lambda$ 的集合，使得 $x-\lambda 1$ 不可逆。

定理 5 *對於每個 $x\in {\mathcal {A}}$ ， $\sigma (x)$ 非空且封閉，並且*

\sigma (x)\subset \{s\in \mathbf {C} ||s|\leq \|x\|\}

.

此外，

r(x){\overset {\mathrm {def} }{=}}\sup\{|z||z\in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}

( $r(x)$ 稱為 $x$ 的 _譜半徑_)
證明：令 $G\subset {\mathcal {A}}$ 為單位群。定義 $f:\mathbf {C} \to A$ 為 $f(\lambda )=\lambda 1-x$ 。（在整個證明過程中， $x$ 是固定的。）如果 $\lambda \in \mathbf {C} \backslash \sigma (x)$ ，那麼根據定義， $f(\lambda )\in G$ 或者 $\lambda \in f^{-1}(G)$ 。類似地，我們有： $G\subset f(\sigma (x))$ 。因此， $x\in f^{-1}(G)\subset \sigma (x)$ 。由於 $f$ 顯然是連續的， $\mathbf {C} \backslash \sigma (x)$ 是開集，因此 $\sigma (x)$ 是閉集。假設對於 $s\in \mathbf {C}$ ， $|s|>\|x\|$ 。根據幾何級數（根據定理 2.something 有效），我們有

\left(1-{x \over s}\right)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({x \over s}\right)^{n}

因此， $1-{x \over s}$ 是可逆的，也就是說， $s1-x$ 是可逆的。因此， $s\not \in \sigma (x)$ 。這完成了第一個斷言的證明，並給出

r(x)\leq \|x\|

由於 $\sigma (x)$ 是緊的，存在一個 $a\in \sigma (x)$ 使得 $r(x)=a$ 。由於 $a^{n}\in \sigma (x^{n})$ （使用歸納法來驗證這一點），

r(x)^{n}\leq \|x^{n}\|

接下來，我們斷言序列 ${x^{n} \over s^{n+1}}$ 當 $|s|>r(x)$ 時是有界的。根據一致有界性原理，只需要證明 $g\left({x^{n} \over s^{n+1}}\right)$ 對每個 $g\in A^{*}$ 都是有界的。但由於

\lim _{n\to \infty }g\left({x^{n} \over s^{n+1}}\right)=0

,

實際上就是這樣。因此，存在一個常數 $c$ 使得 $\|x^{n}\|\leq c|s|^{n+1}$ 對每個 $n$ 成立。由此得出

r(x)\leq \lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}\leq \lim _{n\to \infty }c^{1/n}|s|=|s|

.

在 $|s|>r(x)$ 上取下確界，就完成了譜半徑公式的證明。最後，假設相反， $\sigma (x)$ 是空的。那麼對於每個 $g\in A^{*}$ ，對映

s\mapsto g((x-s)^{-1})

在 $\mathbf {C}$ 上是解析的。由於 $\lim _{s\to \infty }g((x-s)^{-1})=0$ ，根據劉維爾定理，我們必須有： $g((x-s)^{-1})=0$ 。因此， $(x-s)^{-1}=0$ 對於每個 $s\in \mathbf {C}$ 成立，這是一個矛盾。 $\square$

5 推論（蓋爾範德-馬祖爾定理） 如果 ${\mathcal {A}}$ 中每個非零元素都是可逆的，那麼 ${\mathcal {A}}$ 同構於 $\mathbf {C}$ 。
證明：設 $x\in {\mathcal {A}}$ 是一個非零元素。由於 $\sigma (x)$ 不為空，那麼我們可以找到 $\lambda \in \mathbf {C}$ 使得 $\lambda 1-x$ 不可逆。但是，根據假設， $\lambda 1-x$ 是可逆的，除非 $\lambda 1=x$ 。 $\square$

設 ${\mathfrak {m}}$ 是巴拿赫代數中的一個極大理想。（這樣的 ${\mathfrak {m}}$ 存在於抽象代數中使用 Zorn 引理的常用論證中）。由於 ${\mathfrak {m}}$ 的補集包含可逆元素， ${\mathfrak {m}}$ 是閉合的。特別地， ${\mathcal {A}}/{\mathfrak {m}}$ 是具有通常商範數的巴拿赫代數。根據上述推論，我們有同構

{\mathcal {A}}/{\mathfrak {m}}\simeq \mathbf {C}

實際上，更多的是真的。設 $\Delta ({\mathcal {A}})$ 是所有非零同胚的集合 $\omega :{\mathcal {A}}\to \mathbf {C}$ 。（ $\Delta ({\mathcal {A}})$ 的成員被稱為特徵。）

5 定理 $\Delta ({\mathcal {A}})$ 與 ${\mathcal {A}}$ 中所有極大理想的集合一一對應。

5 引理 設 $x\in {\mathcal {A}}$ 。那麼 $x$ 可逆當且僅當對於所有 $\omega \in \Delta ({\mathcal {A}})$ ， $\omega (x)\neq 0$ 。

5 定理 $\omega (x)=\omega ({\hat {x}})$

一個對合是一個反線性對映 $x\to x^{*}:A\to A$ ，使得 $x^{**}=x$ 。典型的例子是函式的複共軛和對線性運算元取伴隨的操作。這些例子解釋了為什麼我們要求對合是反線性的。

現在，本章的研究興趣。具有對合的 Banach 代數被稱為 C*-代數，如果它滿足

\|xx^{*}\|=\|x\|^{2}

(C*-恆等式)

從 C*-恆等式得出

\|x^{*}\|=\|x\|

,

對於 $\|x\|^{2}\leq \|x^{*}\|\|x\|$ ，以及將 $x^{*}$ 代替 $x$ 同樣成立。特別地， $\|1\|=1$ （如果 $1$ 存在）。此外， $C^{*}$ -恆等式等價於條件： $\|x\|^{2}\leq \|x^{*}x\|$ ，因為這個以及

\|x^{*}x\|\leq \|x^{*}\|\|x\|

意味著

\|x\|=\|x^{*}\|

，因此

\|x\|^{2}\leq \|x^{*}x\|\leq \|x\|^{2}

.

對於每個 $x\in {\mathcal {A}}$ ，令 $C^{*}(x)$ 為 $\{1,y_{1}y_{2}...y_{n}|y_{j}\in \{x,x^{*}\}\}$ 的線性跨度。換句話說， $C^{*}(x)$ 是包含 $x$ 的最小的 C*-代數。關鍵事實是 $C^{*}(x)$ 是可交換的。此外，

定理 令 $x\in {\mathcal {A}}$ 為正規的。那麼 $\sigma _{A}(x)=\sigma _{C^{*}(x)}(x)$

在 C* 代數 ${\mathcal {A}}$ 上的一個狀態是一個正線性泛函 f，滿足 $\|f\|=1$ （等價於 $f(1)=1$ ）。由於 $S$ 是凸集且閉集，因此 $S$ 是弱-* 閉集。（這是定理 4.XX）。由於 $S$ 包含在 ${\mathcal {A}}$ 的對偶空間的單位球中，所以 $S$ 是弱-* 緊集。

5 定理 每個 C* 代數 ${\mathcal {A}}$ 與 $C_{0}(X)$ *-同構，其中 $X$ 是 ${\mathcal {A}}$ 的譜。

5 定理 如果 $C_{0}(X)$ 與 $C_{0}(Y)$ 同構，那麼 $X$ 和 $Y$ 是同胚的。

引理 3 設 $T$ 是希爾伯特空間 ${\mathcal {H}}$ 上的一個連續線性運算元。則當且僅當對所有 $x\in {\mathcal {H}}$ 有 $\|Tx\|=\|T^{*}x\|$ ，有 $TT^{*}=T^{*}T$ 。

滿足上述等價條件的連續線性運算元被稱為正規運算元。例如，正交投影就是正規運算元。更多示例和上述引理的證明，請參見w:normal operator。

引理 3 設 $N$ 是一個正規運算元。如果 $\alpha$ 和 $\beta$ 是 $N$ 的不同特徵值，則 $\alpha$ 和 $\beta$ 的相應特徵空間彼此正交。
證明：設 $I$ 是恆等運算元， $x,y$ 是 $\alpha ,\beta$ 的任意特徵向量。由於 $\alpha I$ 的伴隨是 ${\bar {\alpha }}I$ ，我們有

0=\|(N-\alpha I)x\|=\|(N-\alpha I)^{*}x\|=\|N^{*}x-{\bar {\alpha }}x\|

.

也就是說， $N^{*}x={\bar {\alpha }}x$ ，因此我們有

{\bar {\alpha }}\langle x,y\rangle =\langle N^{*}x,y\rangle =\langle x,Ny\rangle ={\bar {\beta }}\langle x,y\rangle

如果 $\langle x,y\rangle$ 不為零，則我們必須有 $\alpha =\beta$ 。 $\square$

5 練習 令 ${\mathcal {H}}$ 是一個具有正交基 $e_{1},e_{2},...$ 的希爾伯特空間，並且 $x_{n}$ 是一個滿足 $\|x_{n}\|\leq K$ 的序列。證明存在 $x_{n}$ 的子序列弱收斂到某個 $x$ ，並且 $\|x\|\leq K$ 。（提示：由於 $\langle x_{n},e_{k}\rangle$ 有界，根據康托爾的對角線論證，我們可以找到一個序列 $x_{n_{k}}$ 使得 $\langle x_{n_{k}},e_{k}\rangle$ 對每個 $k$ 收斂。）