巴拿赫空間的功能分析/幾何

←第 3 章：希爾伯特空間

泛函分析 第 4 章：巴拿赫空間的幾何

第 5 章：運算微積分和 表示理論→

這甚至不是草稿。

在上一章中，我們研究了一個具有特殊幾何性質的巴拿赫空間：希爾伯特空間。本章繼續這一研究方向。本章的主要內容是 (i) 巴拿赫空間的自反性概念 (ii) 弱*緊緻性 (iii) 巴拿赫空間中基底的研究 (iv) 巴拿赫空間的互補（和非互補）子空間。事實證明，這些都是幾何性質，

弱拓撲和弱*拓撲

設 ${\mathcal {X}}$ 是一個賦範空間。由於 $X^{*}$ 是一個巴拿赫空間，存在一個規範的嵌入 $\pi :{\mathcal {X}}\to {\mathcal {X}}^{**}$，由下式給出

$(\pi x)f=f(x)$ 對於 $f\in {\mathcal {X}}^{*}$ 和 $x\in {\mathcal {X}}$.

在賦範空間的研究中，一個最重要的問題是何時這個 $\pi$ 是滿射的；如果是這樣，${\mathcal {X}}$ 被稱為“自反”。首先，由於 ${\mathcal {X}}^{**}$ 作為賦範空間的對偶空間，即使 ${\mathcal {X}}$ 不是，一個自反的賦範空間始終是一個巴拿赫空間，因為 $\pi$ 成為一個（等距）同構。（由於 $\pi (X)$ 在 $X^{*}$ 中分離點，根據定理 1.something，弱*拓撲是豪斯多夫的。）

在研究這個問題之前，我們先介紹一些拓撲結構。對於 ${\mathcal {X}}^{*}$ 的弱*-拓撲是所有拓撲中最弱的一種，在這種拓撲下，$\pi ({\mathcal {X}})$ 中的每個元素都是連續的。換句話說，弱*-拓撲正是使 ${\mathcal {X}}^{*}$ 的對偶空間 $\pi ({\mathcal {X}})$ 連續的拓撲。 (回想一下，當函式的定義域中存在更多開集時，函式更容易連續。)

對於 ${\mathcal {X}}$ 的弱拓撲是所有拓撲中最弱的一種，在這種拓撲下，${\mathcal {X}}^{*}$ 中的每個元素都是連續的。 (如前所述，弱拓撲是豪斯多夫拓撲。)

4 定理 (阿勞格魯) ${\mathfrak {B}}^{*}$ 的單位球是弱*-緊緻的。
證明：對於每個 $f$，$\operatorname {ran} f$ 是 $\mathbf {C} ^{\mathfrak {B}}$ 中的一個元素。透過這種識別，我們有：${\mathfrak {B}}^{*}\subset \mathbf {C} ^{\mathfrak {B}}$。拓撲中的包含也成立；即，${\mathfrak {B}}^{*}$ 是 $\mathbf {C} ^{\mathfrak {B}}$ 的拓撲子空間。 ${\mathfrak {B}}^{*}$ 的單位球是集合

$E=\prod _{x\in {\mathfrak {B}}}\{\lambda ;\lambda \in \mathbf {C} ,|\lambda |\leq \|x\|_{\mathfrak {B}}\}$ 的一個子集。.

由於 $E$ 是一個圓盤的乘積，根據 w:Tychonoff 定理 (參見第 1 章)，它在弱*-拓撲下是緊緻的，因此只需要證明單位閉球是弱*-閉合的。在下一章介紹了網的概念之後，這將變得很容易。為了完整起見，我們在這裡給出直接的證明。(待辦事項) $\square$

4. 定理 設 ${\mathcal {X}}$ 是一個其對偶空間分離其點的 TVS。那麼 ${\mathcal {X}}^{*}$ 上的弱-*拓撲是可度量的當且僅當 ${\mathcal {X}}$ 最多有可數個哈梅爾基。

顯然，所有弱閉集和弱-*閉集都是閉集（在其各自的空間中）。一般來說，反之不成立。另一方面，

4. 引理 $E\subset {\mathcal {X}}$ 中的每個閉凸子集都是弱閉集。
證明：設 $x$ 屬於 $E$ 的弱閉包。假設，如果可能的話，$x\not \in E$。根據 Hahn-Banach 定理（幾何形式），我們可以找到 $f\in {\mathcal {X}}^{*}$ 和實數 $c$，使得

$\operatorname {Re} f(x)<c<\operatorname {Re} f(y)$ 對每個 $y\in E$ 成立。

設 $V=\{y;\operatorname {Re} f(y)<c\}$。我們現在得到：$x\in V\subset E^{c}$，其中 $V$ 是弱開集（根據定義）。這是一個矛盾。$\square$

4. 推論 ${\mathcal {X}}$（resp. ${\mathcal {X}}^{*}$）的閉單位球是弱閉集（resp. 弱-*閉集）。

4 練習 令 $B$ 為 ${\mathcal {X}}$ 的單位球。證明 $\pi (B)$ 在 ${\mathcal {X}}^{**}$ 的閉單位球中弱-*稠密。（提示：類似於引理 4.something 的證明。）

4 定理 集合 $E$ 是弱-* 序列閉的當且僅當 $E$ 與任意半徑的（閉？）球的交集是弱-* 序列閉的。
證明：（TODO：使用 PUB 寫一個證明。）

自反巴拿赫空間

4 定理（角谷） 令 ${\mathcal {X}}$ 為巴拿赫空間。以下等價：

• (i) ${\mathcal {X}}$ 是自反的。
• (ii) ${\mathcal {X}}$ 的閉單位球是弱緊的。
• (iii) 每個有界集都承認一個弱收斂子序列。（因此，(ii) 中的單位球實際上是弱序列緊的。）

證明：(i) $\Rightarrow$ (ii) 是直接的。對於 (iii) $\Rightarrow$ (i)，我們將證明：如果 ${\mathcal {X}}$ 不是自反的，那麼我們可以找到一個歸一化序列來證偽 (iii)。為此，請參見 [1]，它展示瞭如何做到這一點。最後，對於 (ii) $\Rightarrow$ (iii)，只需要證明

4 引理 令 ${\mathcal {X}}$ 為巴拿赫空間，$x_{j}\in X$ 為一個序列，$F$ 為 $x_{j}$ 的弱閉包。如果 $F$ 是弱緊的，那麼 $F$ 是弱序列緊的。
Proof: By replacing $X$ with the closure of the linear span of $X$, we may assume that ${\mathcal {X}}$ admits a dense countable subset $E$. Then for $u,v\in {\mathcal {X}}^{*}$, $u(x)=v(x)$ for every $x\in E$ implies $u=v$ by continuity. This is to say, a set of functions of the form $u\mapsto u(x)$ with $x\in E$ separates points in $X$, a fortiori, $B$, the closed unit ball of $X^{*}$. The weak-* topology for $B$ is therefore metrizable by Theorem 1.something. Since a compact metric space is second countable; thus, separable, $B$ admits a countable (weak-*) dense subset $B'$. It follows that $B'$ separates points in $X$. In fact, for any $x\in X$ with $\|x\|=1$, by the Hahn-Banach theorem, we can find $f\in B$ such that $f(x)=\|x\|=1$. By denseness, there is $g\in B'$ that is near $x$ in the sense: $|g(x)-f(x)|<2^{-1}$, and we have

$|g(x)|\geq |f(x)|-|g(x)-f(x)|>2^{-1}$.

根據定理 1.something，$F$ 現在是可度量的。$\square$

備註：引理 4.something 是 w:Eberlein–Šmulian 定理 的特例，該定理指出 Banach 空間的任何子集在弱收斂意義下緊緻當且僅當它在弱收斂意義下序列緊緻。（參見 [2]，[3]）

特別地，由於每個希爾伯特空間都是自反的，因此定理中的 (ii) 或 (iii) 始終對所有希爾伯特空間成立。但對於 (iii)，我們可以選擇使用

4 練習 直接證明定理的 (iii) 對可分希爾伯特空間成立。（提示：使用正交基直接構造子序列。）

4 推論 Banach 空間 ${\mathcal {X}}$ 是自反的當且僅當 ${\mathcal {X}}^{*}$ 是自反的。

4 定理 設 ${\mathcal {X}}$ 是具有 w:Schauder 基 $e_{j}$ 的 Banach 空間。 ${\mathcal {X}}$ 是自反的當且僅當 $e_{j}$ 滿足：

• (i) $\sup _{n}\left\|\sum _{j=1}^{n}a_{j}e_{j}\right\|<\infty \Rightarrow \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}e_{j}$ 在 ${\mathcal {X}}$ 中收斂。
• (ii) 對於任何 $f\in {\mathcal {X}}^{*}$，$\lim _{n\to \infty }\sup\{|f(x)|;x=\sum _{j\geq n}^{\infty }a_{j}e_{j},\|x\|=1\}=0$.

證明：（$\Rightarrow$): 設 $x_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}e_{j}$。根據自反性，$x_{n}$ 存在一個弱收斂的子序列 $x_{n_{k}}$，其極限為 $x$。根據假設，對於任意 $x\in {\mathcal {X}}$，我們可以寫成：$x=\sum _{j=1}^{\infty }b_{j}(x)e_{j}$，其中 $b_{j}\in {\mathcal {X}}^{*}$。因此，

$b_{l}(x)=\lim _{k\to \infty }b_{l}(x_{n_{k}})=\lim _{k\to \infty }\sum _{j=1}^{n_{k}}a_{j}b_{l}(e_{j})=a_{l}$，因此 $x=\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}e_{j}$。

這證明了 (i)。對於 (ii)，設

$E_{n}=\{x;x\in {\mathcal {X}},\|x\|=1,b_{1}(x)=...b_{n-1}(x)=0\}$.

那麼 (ii) 意味著對於任何 $f\in {\mathcal {X}}^{*}$，$\sup _{E_{n}}|f|\to 0$。由於 $E_{n}$ 是 ${\mathcal {X}}^{*}$ 閉單位球的弱閉子集，而由於自反性，閉單位球是弱緊的，所以 $E_{n}$ 是弱緊的。因此，存在一個序列 $x_{n}$，使得對於任何 $f\in {\mathcal {X}}^{*}$ 都有：$\sup _{E_{n}}|f|=|f(x_{n})|$。由此可得

$\lim _{n\to \infty }|f(x_{n})|=|f(\lim _{n\to \infty }x_{n})|=|f(\sum _{j=1}^{\infty }b_{j}(\lim _{n\to \infty }x_{n})e_{j})|=0$

因為 $\lim _{n\to \infty }b_{j}(x_{n})=0$。（TODO: 但是 $\lim _{n\to \infty }x_{n}$ 存在嗎？）這證明了 (ii)。
($\Leftarrow$): 令 $x_{n}$ 為一個有界序列。對於每個 $j$，集合 $\{b_{j}(x_{n});n\geq 1\}$ 是有界的；因此，它包含一個收斂的子序列。根據康托爾對角線法，我們可以找到 $x_{n}$ 的一個子序列 $x_{n_{k}}$，使得 $b_{j}(x_{n_{k}})$ 對每個 $j$ 都收斂。令 $a_{j}=\lim _{n\to \infty }b_{j}(x_{n_{k}})$。令 $K=2\sup _{n}\|x_{n}\|$ 以及 $s_{n}=\sup\{|f(y)|;y=\sum _{j=m+1}^{\infty }c_{j}e_{j},\|y\|\leq K\}$。根據 (ii)，$\lim _{n\to \infty }s_{n}=0$。現在，

$|f(\sum _{j=1}^{m}b_{j}(x_{n_{k}})e_{j})|\leq |f(\sum _{j=1}^{\infty }b_{j}(x_{n_{k}})e_{j})|+|f(\sum _{j=m+1}^{\infty }b_{j}(x_{n_{k}})e_{j})|\leq \|f\|\sup _{n}\|x_{n}\|+s_{m}$ 對 $f\in {\mathcal {X}}^{*}$ 成立。

由於 $s_{m}$ 有界，所以對於每一個 $f$，$\sup _{m}|f(\sum _{j=1}^{m}a_{j}e_{j})|<\infty$。根據 (i)，$\sum _{j=1}^{m}a_{j}e_{j}$ 因此存在。令 $\epsilon >0$ 為給定值。那麼存在 $m$ 使得 $s_{m}<\epsilon /2$。此外，存在 $N$ 使得

$\sum _{j=1}^{m}(a_{j}-b_{j}(x_{n_{k}}))f(e_{j})<\epsilon /2$ 對於每一個 $k\geq N$。

因此，

$|f(x_{n_{k}})-f(\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}e_{j})|\leq |\sum _{j=1}^{m}(a_{j}-b_{j}(x_{n_{k}}))f(e_{j})|+|f(\sum _{j=m+1}^{\infty }(a_{j}-b_{j}(x_{n_{k}}))e_{j}|<\epsilon$.

4 練習 證明每個無限維 Banach 空間都包含一個具有 Schauder 基的閉子空間。(提示：透過歸納法構造一個基。)

希爾伯特空間上的緊運算元

3 引理 令 $T\in B({\mathfrak {H}})$. 那麼 $T({\overline {B}}(0,1))$ 是閉集。
證明：因為 ${\overline {B}}(0,1)$ 是弱緊集，並且 $T({\overline {B}}(0,1))$ 是凸集，所以只需證明 $T$ 是弱連續的。但如果 $x_{n}\to 0$ 弱收斂於 0，那麼對於任意 y，有 $(Tx_{n}|y)=(x_{n}|T^{*}y)\to 0$。這表明 T 在 ${\overline {B}}(0,1)$ 上是弱連續的（因為有界集是弱可度量的），從而在 ${\mathfrak {H}}$ 上是弱連續的。$\square$

因為 T 是緊運算元，所以只需證明 $T({\overline {B}}(0,1))$ 是閉集。但因為 $T({\overline {B}}(0,1))$ 是弱閉集且凸集，所以它是閉集。

3 引理 如果 $T\in B({\mathfrak {H}})$ 是自伴的緊運算元，那麼要麼 $\|T\|$ 要麼 $-\|T\|$ 是 T 的特徵值。
證明：首先我們證明 $\|T\|^{2}$ 是 $T^{2}$ 的一個特徵值。由於 $T$ 是緊湊的，根據上述引理，存在一個 $x_{0}$ 在單位球中，使得 $\|T\|=\|Tx_{0}\|$。由於 $\langle T^{2}x_{0},x_{0}\rangle =\|T\|^{2}$，

$\|T^{2}x-\|T\|^{2}x\|^{2}\leq \|T\|^{2}-2\|T\|^{2}+\|T\|^{2}$

因此，$T^{2}x_{0}=\|T\|^{2}x_{0}$。由於 $(T^{2}-\|T\|^{2}I)x_{0}=(T+\|T\|I)(T-\|T\|I)x_{0}$，我們可以看到 $(T-\|T\|I)x_{0}$ 或者為零，或者為 $T$ 關於 $-\|T\|$ 的特徵向量。 $\square$

3 定理 如果 T 是正規的；也就是說，$T^{*}T=TT^{*}$，那麼存在一個由 T 的特徵向量組成的正交規範基。
證明：由於我們可以假設T是自伴的，因此該定理可以透過超限歸納法從前面的引理得出。根據佐恩引理，選擇U作為H的一個最大子集，滿足以下三個性質：U的所有元素都是T的特徵向量，它們的範數為1，並且U中任意兩個不同的元素是正交的。設F是U的線性跨度的正交補。如果F≠{0}，它就是T的一個非平凡不變子空間，根據初始斷言，T在F中一定存在一個範數為1的特徵向量y。但這樣U∪{y}就與U的最大性相矛盾。因此，F={0}，因此span(U)在H中稠密。這表明U是H的一個由T的特徵向量組成的正交基。$\square$

3 推論（極分解）每個緊運算元K可以寫成：

$K=R|K|$

其中R是偏等距，而$|K|$是$K^{*}K$的平方根。

對於$T\in {\mathcal {L}}({\mathfrak {H}})$，設$\sigma (T)$是所有複數$\lambda$的集合，使得$T-\lambda I$不可逆。（這裡，I是${\mathfrak {H}}$上的恆等運算元。）

3 推論設$T\in B({\mathfrak {H}})$是一個緊緻的正規運算元。那麼

$\|T\|=\max _{\|x\|=1}\|(Tx|x)\|=\sup\{|\lambda ||\lambda \in \sigma (T)\}$

3 定理設$T$是${\mathfrak {H}}$上的一個稠密定義運算元。那麼$T$是正的（即，$\langle Tx,x\rangle \geq 0$對於每個$x\in \operatorname {dom} T$）當且僅當$T=T^{*}$並且$\sigma (T)\subset [0,\infty )$。
部分證明：$(\Rightarrow )$ 我們有

$\langle Tx,x\rangle ={\overline {\langle T^{*}x,x\rangle }}$ 對於每個 $x\in \operatorname {dom} T$

但是，根據假設，右手邊是實數。那 $T=T^{*}$ 來自引理 5.something。該定理的證明將透過第五章中的譜分解定理完成。 $\square$

關於緊運算元的更多資料，尤其是關於其譜性質的資料，可以在附錄中的一章中找到，我們在那裡研究弗雷德霍姆運算元。

3 引理 (貝塞爾不等式) 如果 $u_{k}$ 是希爾伯特空間 ${\mathfrak {H}}$ 中的正交序列，那麼

$\sum _{k=1}^{\infty }|\langle x,u_{k}\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}$ 對於任何 $x\in {\mathfrak {H}}$.

證明: 如果 $\langle x,y\rangle =0$，那麼 $\|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}$。因此，

$\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,u_{k}\rangle \|^{2}=\|x\|^{2}-2\operatorname {Re} \sum _{k=1}^{n}|\langle x,u_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,u_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,u_{k}\rangle |^{2}$.

令 $n\to \infty$ 完成了證明。 $\square$.

3 定理 (帕塞瓦爾定理) 設 $u_{k}$ 是希爾伯特空間 ${\mathfrak {H}}$ 中的正交序列。那麼以下等價：

• (i) $\operatorname {span} \{u_{1},u_{2},...\}$ 在 ${\mathfrak {H}}$ 中稠密。
• (ii) 對於每個 $x\in {\mathfrak {H}}$，$x=\sum _{k=1}^{\infty }\langle x,u_{k}\rangle u_{k}$。
• (iii) 對於每個 $x,y\in {\mathfrak {H}}$，$\langle x,y\rangle =\sum _{k=1}^{\infty }\langle x,u_{k}\rangle {\overline {\langle y,u_{k}\rangle }}$。
• (iv) $\|x\|^{2}=\sum _{k=1}^{\infty }|\langle x,u_{k}\rangle |^{2}$ (帕塞瓦爾等式)。

證明：令 ${\mathcal {M}}=\operatorname {span} \{u_{1},u_{2},...\}$。如果 $v\in {\mathcal {M}}$，那麼它具有以下形式： $v=\sum _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}u_{k}$，其中 $\alpha _{k}$ 是標量。由於 $\langle v,u_{j}\rangle =\sum _{k=1}^{\infty }a_{j}\langle u_{k},u_{j}\rangle =a_{j}$，我們也可以寫成： $v=\sum _{k=1}^{\infty }\langle v,u_{k}\rangle u_{k}$。令 $y=\sum _{k=1}^{\infty }\langle x,u_{k}\rangle u_{k}$。貝塞爾不等式和 ${\mathfrak {H}}$ 是完備的，確保 $y$ 存在。由於

$\langle y,v\rangle =\sum _{k=1}^{\infty }\langle x,u_{k}\rangle \langle u_{k},v\rangle =\sum _{k=1}^{\infty }\langle x,\langle v,u_{k}\rangle u_{k}\rangle =\langle x,\sum _{k=1}^{\infty }\langle v,u_{k}\rangle u_{k}\rangle =\langle x,v\rangle$

對所有 $v\in {\mathcal {M}}$，我們有 $x-y\in {\mathcal {M}}^{\bot }=\{0\}$，證明了 (i) $\Rightarrow$ (ii)。現在 (ii) $\Rightarrow$ (iii) 成立，因為

$|\langle x,y\rangle -\sum _{k=1}^{n}\langle x,u_{k}\rangle {\overline {\langle y,u_{k}\rangle }}|=|\langle x,y-\sum _{k=1}^{n}\langle y,u_{k}\rangle u_{k}\rangle |\to 0$ 作為 $n\to \infty$

為了得到 (iii) $\Rightarrow$ (iv)，取 $x=y$。為了證明 (iv) $\Rightarrow$ (i)，假設 (i) 為假。那麼存在一個 $z\in (\operatorname {span\{u_{1},u_{2},...\}} )^{\bot }$ 且 $z\neq 0$。然後

$\sum _{k=1}^{\infty }|\langle z,u_{k}\rangle |^{2}=0<\|z\|^{2}$.

因此，(iv) 為假。$\square$

3 定理 設 $x_{k}$ 是希爾伯特空間 $({\mathfrak {H}},\|\cdot \|=\langle \cdot ,\cdot \rangle ^{1/2})$ 中的正交序列。那麼級數 $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ 收斂當且僅當級數 $\sum _{k=1}^{\infty }\langle x_{k},y\rangle$ 對所有 $y\in {\mathfrak {H}}$ 收斂。
證明：由於

$\sum _{k=1}^{\infty }|\langle x_{k},y\rangle |\leq \|y\|\sum _{k=1}^{\infty }\|x_{k}\|$ 以及 $\sum _{k=1}^{\infty }\|x_{k}\|=\left\|\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}\right\|$

根據正交性，我們可以得到直接部分。反之，令 $E=\left\{\sum _{k=1}^{n}x_{k};n\geq 1\right\}$。由於

$\sup _{E}|\langle \cdot ,y\rangle |=\sup _{n}|\sum _{k=1}^{n}\langle x_{k},y\rangle |<\infty$ 對於每個 $y$

根據假設，$E$ 由定理 3.something 限制。因此，$\sum _{k=1}^{\infty }\|x_{k}\|<\infty$ 並且 $\sum _{k=1}^{n}x_{k}$ 收斂於完備性。

該定理旨在給出示例。下一章將討論巴拿赫空間中的類似問題。

4 定理 希爾伯特空間 ${\mathfrak {H}}$ 可分離當且僅當它具有（可數）正交基。

顯然，如果巴拿赫空間具有紹德爾基，則它可分離。不幸的是，反之則不成立。

4 定理（詹姆斯） 巴拿赫空間 ${\mathcal {X}}$ 是自反的當且僅當 ${\mathcal {X}}$ 中的每個元素在 ${\mathcal {X}}$ 的閉單位球上取得最大值。

4 推論（克萊因-施穆利安） 設 ${\mathcal {X}}$ 是一個巴拿赫空間，且 $K\subset {\mathcal {X}}$ 是 ${\mathcal {X}}$ 中的一個弱緊集，那麼 ${\overline {co}}(K)$ 是弱緊的。
證明：[4]

如果一個巴拿赫空間滿足：

$\|x_{n}\|\leq 1,\|y_{n}\|\leq 1$ 且 $\|x_{n}+y_{n}\|\to 0\Rightarrow \|x_{n}-y_{n}\|\to 2$，

那麼稱該巴拿赫空間為 一致凸的。顯然，希爾伯特空間是一致凸的。這個概念的意義在於接下來的結果。

4 定理 每個一致凸空間 ${\mathfrak {B}}$ 都是自反的。
證明：假設 ${\mathfrak {B}}$ 是一致凸的，但不是自反的。 $\square$

4 定理 每個有限維巴拿赫空間都是自反的。
證明： (TODO)

4 定理 設 ${\mathfrak {B}}_{1},{\mathfrak {B}}_{2}$ 是巴拿赫空間。如果 ${\mathfrak {B}}_{1}$ 有一個 w:Schauder 基，那麼 ${\mathfrak {B}}_{1}$ 上的有限秩運算元空間在 ${\mathfrak {B}}_{1}$ 上的緊運算元空間中是（運算元範數）稠密的。

5 定理 當 $1<p<\infty$ 時，$L^{p}$ 空間是一致凸的（因此，是自反的）。
證明： (TODO)

5 定理（M. 里斯擴張定理） （參見 w:M. 里斯擴張定理）

參考文獻

• 可分離巴拿赫空間理論需要強集合存在公理
• 泛函分析與無窮維幾何