泛函分析/C*-代數

泛函分析
第 5 章：C^*-代數

(2008 年 5 月 27 日). 注意本章尚未完成草稿。

一個在 $\mathbf {C}$ 上的 Banach 空間 ${\mathcal {A}}$ 被稱為 Banach 代數，如果它是一個代數並且滿足

\|xy\|\leq \|x\|\|y\|

.

我們假設每個 Banach 代數都有單位元 $1$ ，除非另有說明。

由於 $\|x_{n}y_{n}-xy\|\leq \|x_{n}\|\|y_{n}-y\|+\|x_{n}-x\|\|y\|\to 0$ 當 $x_{n},y_{n}\to 0$ 時，對映

(x,y)\mapsto xy:{\mathcal {A}}\times {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}

是連續的。

對於 $x\in {\mathcal {A}}$ ，令 $\sigma (x)$ 是所有複數 $\lambda$ 的集合，使得 $x-\lambda 1$ 不可逆。

5 定理 對於每個 $x\in {\mathcal {A}}$ ， $\sigma (x)$ 非空且閉合，並且

\sigma (x)\subset \{s\in \mathbf {C} ||s|\leq \|x\|\}

.

此外，

r(x){\overset {\mathrm {def} }{=}}\sup\{|z||z\in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}

( $r(x)$ 稱為 $x$ 的 _譜半徑_)
證明：設 $G\subset {\mathcal {A}}$ 是單位元群。定義 $f:\mathbf {C} \to A$ 為 $f(\lambda )=\lambda 1-x$ 。（在整個證明中 $x$ 是固定的）。如果 $\lambda \in \mathbf {C} \backslash \sigma (x)$ ，則根據定義， $f(\lambda )\in G$ 或 $\lambda \in f^{-1}(G)$ 。類似地，我們有： $G\subset f(\sigma (x))$ 。因此， $x\in f^{-1}(G)\subset \sigma (x)$ 。由於 $f$ 顯然是連續的， $\mathbf {C} \backslash \sigma (x)$ 是開的，因此 $\sigma (x)$ 是閉的。假設對於 $s\in \mathbf {C}$ ，有 $|s|>\|x\|$ 。根據幾何級數（由定理2.xx成立），我們有

\left(1-{x \over s}\right)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({x \over s}\right)^{n}

因此， $1-{x \over s}$ 是可逆的，也就是說， $s1-x$ 是可逆的。因此， $s\not \in \sigma (x)$ 。這完成了第一個斷言的證明，並給出

r(x)\leq \|x\|

由於 $\sigma (x)$ 是緊的，因此存在一個 $a\in \sigma (x)$ 使得 $r(x)=a$ 。由於 $a^{n}\in \sigma (x^{n})$ （用歸納法來證明這一點），

r(x)^{n}\leq \|x^{n}\|

接下來，我們斷言序列 ${x^{n} \over s^{n+1}}$ 當 $|s|>r(x)$ 時是有界的。根據一致有界性原理，我們只需證明 $g\left({x^{n} \over s^{n+1}}\right)$ 對每個 $g\in A^{*}$ 都是有界的。但是由於

\lim _{n\to \infty }g\left({x^{n} \over s^{n+1}}\right)=0

,

實際上情況確實如此。因此，存在一個常數 $c$ 使得 $\|x^{n}\|\leq c|s|^{n+1}$ 對每個 $n$ 成立。由此得出

r(x)\leq \lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}\leq \lim _{n\to \infty }c^{1/n}|s|=|s|

.

對所有 $|s|>r(x)$ 求下確界完成了譜半徑公式的證明。最後，反證法，假設 $\sigma (x)$ 為空。則對於每個 $g\in A^{*}$ ，對映

s\mapsto g((x-s)^{-1})

在 $\mathbf {C}$ 上是解析的。由於 $\lim _{s\to \infty }g((x-s)^{-1})=0$ ，根據劉維爾定理，我們有： $g((x-s)^{-1})=0$ 。因此， $(x-s)^{-1}=0$ 對於所有 $s\in \mathbf {C}$ 成立，矛盾。 $\square$

5 推論（Gelfand-Mazur 定理） 如果 ${\mathcal {A}}$ 中每個非零元素都可逆，那麼 ${\mathcal {A}}$ 同構於 $\mathbf {C}$ 。
證明：令 $x\in {\mathcal {A}}$ 為非零元素。由於 $\sigma (x)$ 不為空，那麼我們可以找到 $\lambda \in \mathbf {C}$ 使得 $\lambda 1-x$ 不可逆。但是，根據假設， $\lambda 1-x$ 是可逆的，除非 $\lambda 1=x$ 。 $\square$

令 ${\mathfrak {m}}$ 為 Banach 代數中的極大理想。（這樣的 ${\mathfrak {m}}$ 透過抽象代數中涉及 Zorn 引理的常用論證存在）。由於 ${\mathfrak {m}}$ 的補集由可逆元素組成， ${\mathfrak {m}}$ 是閉合的。特別地， ${\mathcal {A}}/{\mathfrak {m}}$ 是帶有通常商範數的 Banach 代數。根據以上推論，因此我們有同構

{\mathcal {A}}/{\mathfrak {m}}\simeq \mathbf {C}

實際上，還有更多內容成立。令 $\Delta ({\mathcal {A}})$ 為所有非零同胚對映 $\omega :{\mathcal {A}}\to \mathbf {C}$ 的集合。（ $\Delta ({\mathcal {A}})$ 的成員被稱為特徵。）

5 定理 $\Delta ({\mathcal {A}})$ 與 ${\mathcal {A}}$ 的所有極大理想的集合是一一對應的。

5 引理 令 $x\in {\mathcal {A}}$ . 那麼 $x$ 可逆當且僅當對於所有的 $\omega \in \Delta ({\mathcal {A}})$ 有 $\omega (x)\neq 0$

5 定理 $\omega (x)=\omega ({\hat {x}})$

一個對合是反線性對映 $x\to x^{*}:A\to A$ ，使得 $x^{**}=x$ . 典型的例子是函式的複共軛和取線性運算元的伴隨操作。這些例子解釋了為什麼我們需要對合是反線性的。

現在，本章的研究重點。具有對合的巴拿赫代數被稱為 C*-代數，如果它滿足

\|xx^{*}\|=\|x\|^{2}

(C*-恆等式)

從 C*-恆等式可推出

\|x^{*}\|=\|x\|

,

因為 $\|x\|^{2}\leq \|x^{*}\|\|x\|$ ，以及將 $x^{*}$ 代替 $x$ 後的同理。特別是， $\|1\|=1$ (如果 $1$ 存在)。此外， $C^{*}$ -恆等式等價於條件： $\|x\|^{2}\leq \|x^{*}x\|$ ，因為這個條件和

\|x^{*}x\|\leq \|x^{*}\|\|x\|

意味著

\|x\|=\|x^{*}\|

，因此

\|x\|^{2}\leq \|x^{*}x\|\leq \|x\|^{2}

.

對於每個 $x\in {\mathcal {A}}$ ，令 $C^{*}(x)$ 為 $\{1,y_{1}y_{2}...y_{n}|y_{j}\in \{x,x^{*}\}\}$ 的線性跨度。換句話說， $C^{*}(x)$ 是包含 $x$ 的最小 C*-代數。關鍵在於 $C^{*}(x)$ 是可交換的。此外，

定理 令 $x\in {\mathcal {A}}$ 為正規的。則 $\sigma _{A}(x)=\sigma _{C^{*}(x)}(x)$

在 $C^{*}$ -代數 ${\mathcal {A}}$ 上的一個狀態是一個正線性泛函 f，滿足 $\|f\|=1$ （或等價地， $f(1)=1$ ）。由於 $S$ 是凸且閉的， $S$ 是弱-* 閉的。（這是定理 4.something）。由於 $S$ 包含在 ${\mathcal {A}}$ 的對偶空間的單位球中， $S$ 是弱-* 緊的。

5 定理 每個 C^*-代數 ${\mathcal {A}}$ 與 $C_{0}(X)$ *-同構，其中 $X$ 是 ${\mathcal {A}}$ 的譜。

5 定理 如果 $C_{0}(X)$ 與 $C_{0}(Y)$ 同構，那麼可以得出結論： $X$ 和 $Y$ 是同胚的。

3 引理 設 $T$ 是希爾伯特空間 ${\mathcal {H}}$ 上的一個連續線性運算元。那麼 $TT^{*}=T^{*}T$ 當且僅當對於所有 $x\in {\mathcal {H}}$ ， $\|Tx\|=\|T^{*}x\|$ 。

滿足上述等價條件的連續線性運算元被稱為正規運算元。例如，正交投影就是一個正規運算元。有關更多示例和上述引理的證明，請參見w:正規運算元。

3 引理 令 $N$ 為一個正規運算元。如果 $\alpha$ 和 $\beta$ 是 $N$ 的不同特徵值，那麼 $\alpha$ 和 $\beta$ 的相應特徵空間彼此正交。
證明：令 $I$ 為單位運算元， $x,y$ 為 $\alpha ,\beta$ 的任意特徵向量。由於 $\alpha I$ 的伴隨運算元是 ${\bar {\alpha }}I$ ，我們有

0=\|(N-\alpha I)x\|=\|(N-\alpha I)^{*}x\|=\|N^{*}x-{\bar {\alpha }}x\|

.

也就是說， $N^{*}x={\bar {\alpha }}x$ ，因此我們有

{\bar {\alpha }}\langle x,y\rangle =\langle N^{*}x,y\rangle =\langle x,Ny\rangle ={\bar {\beta }}\langle x,y\rangle

如果 $\langle x,y\rangle$ 不為零，則必須有 $\alpha =\beta$ 。 $\square$

5 練習 令 ${\mathcal {H}}$ 是一個具有正交基 $e_{1},e_{2},...$ 的希爾伯特空間， $x_{n}$ 是一個滿足 $\|x_{n}\|\leq K$ 的序列。證明存在 $x_{n}$ 的一個子序列，該子序列弱收斂於某個 $x$ ，並且 $\|x\|\leq K$ 。（提示：由於 $\langle x_{n},e_{k}\rangle$ 有界，根據康托爾對角線法，我們可以找到一個序列 $x_{n_{k}}$ 使得 $\langle x_{n_{k}},e_{k}\rangle$ 對每個 $k$ 都是收斂的。）