精算數學基礎/死亡模型

學習目標

考生將理解關於個體生命引數和非引數死亡模型的關鍵概念。

學習成果

考生將能夠

1. 理解引數生存模型、生命表以及它們之間的關係。
2. 給定一個引數生存模型，計算生存和死亡機率、死亡力函式以及未來壽命隨機變數的截斷和完整矩。
3. 識別並應用未來壽命分佈和矩的標準精算符號，包括選擇和最終函式。
4. 給定一個生命表，計算生存和死亡機率、死亡力函式以及未來壽命隨機變數的截斷和完整矩，必要時使用適當的分數年齡假設。
5. 理解並應用選擇生命表。
6. 識別人口死亡曲線中的常見特徵。

生存分佈

在本章討論的模型中，它描述了個體的生存時間長度（或死亡時間）。因此，死亡時間隨機變數將是基本的構建塊。

死亡年齡隨機變數

在本節中，我們將討論死亡時間隨機變數的一個特例，其中死亡時間適用於新生兒（即年齡為零的人）。我們將這種隨機變量表示為$T_{0}$。我們可以觀察到$T_{0}$也表示死亡年齡，因為年齡是從生命開始計算的。

由於死亡時間隨機變數描述的是時間，因此它是一個連續隨機變數。此外，時間是非負的，因此死亡時間隨機變數的支援（或“域”）是$[0,\infty )$。

為了描述新生兒的死亡時間，我們需要完全確定$T_{0}$的分佈。有幾種方法可以做到這一點。

• 累積分佈函式 (cdf)：$F_{0}(t)=\mathbb {P} (T_{0}\leq t)$
• 機率密度函式 (pdf)：$f_{0}(t)=F'_{0}(t)$ 如果$F_{0}(t)$ 可微。
• 生存函式
• 死亡力

在學習機率時，您應該已經瞭解了 cdf 和 pdf，但可能沒有學習過生存函式和死亡力。因此，我們將在這裡討論它們。

生存函式

顧名思義，“生存函式”可能與生存有關。這實際上是正確的。以死亡時間隨機變數$T_{0}$為例，當新生兒存活了，比如$t$個時間單位，其機率是多少？它是$\mathbb {P} (T_{0}>t)$（或$\mathbb {P} (T_{0}\geq t)$，但由於$T_{0}$是連續的，所以沒有區別）。這個對應於輸入$t$的機率實際上就是生存函式，其定義如下。

定義.（生存函式）隨機變數$X$的生存函式為$S_{X}(x)=\mathbb {P} (X>x)$。

備註.

• 作為推論，$S_{X}(x)=1-F_{X}(x)$。

• 我們可以看到$F_{0}(t)$給出了新生兒在$t$個時間單位內死亡的機率。
• 由於$F_{X}$是一個非遞減函式，$S_{X}$是一個非遞增函式。

• 對於$T_{0}$的生存函式，我們用$S_{0}(t)$表示，它等於$1-F_{0}(t)$。

• 如果$t<0$，則$S_{0}(t)=\mathbb {P} (X>t)=1$，因為支撐集是$\{X>t\}$的子集，所以這個事件已經“覆蓋”了整個支撐集。

示例. 回憶一下，速率為$\lambda$的指數分佈的累積分佈函式為$F(x)=1-e^{-\lambda x}$。因此，速率為$\lambda$的指數分佈的生存函式為$S(x)=e^{-\lambda x}$。

死亡力

在金融數學中，你應該學習過利息力，它可以解釋為金額函式的相對變化率，由${\frac {A'(t)}{A(t)}}$給出，其中符號在金融數學中具有其通常的含義。為什麼我們稱之為利息力？這是因為利息指的是金額的增加（或正變化）。

我們可以猜測，死亡力是類似定義的，從某種意義上說，它也可以解釋為某物的相對變化率。我們知道利息指的是金額的變化，但死亡率指的是什麼變化？由於死亡率意味著易受死亡的狀態，它指的是生存率的減少（或負變化），並且死亡率“越高”，生存率的減少幅度就越大。回想一下，生存函式在某種程度上與生存率（在一定時間記憶體活的機率）相關。因此，我們可以利用生存函式來定義死亡率。

但是，利息力和死亡力之間存在差異，即對於利息力，利息指的是金額的增加，而對於死亡力，死亡率指的是生存率的減少。因此，變化方向相反，因此如果我們以完全類似的方式定義死亡力，其值將為負（相對變化率將為負）。為了使死亡力為正，我們可以如下定義死亡力

定義.（死亡力）隨機變數$X$的死亡力為$\mu _{X}(x)={\frac {-S_{X}'(x)}{S_{X}(x)}}$。

備註.

• 對於直到死亡時間的隨機變數$T_{0}$的死亡力，用$\mu _{t}$表示，等於${\frac {-S'_{0}(t)}{S_{0}(t)}}$。

• 如果$t<0$，由於$S_{0}(t)=1$始終成立，$S'_{0}(t)=0$，因此$\mu _{t}=0$
• 如果$t\geq 0$，由於$S_{0}(t)$是非增的，其導數是非正的，因此其負值是非負的。同時，$S_{0}(t)\geq 0$（因為生存函式是一個機率）。因此，$\mu _{t}\geq 0$。

• $T_{0}$在時間$t$點的死亡力表示新生兒在時間$t$的生存率的相對下降率。

示例：證明$\mu _{t}={\frac {f_{0}(t)}{S_{0}(t)}}$，假設$F_{0}(t)$可微。

解： $${\begin{aligned}\mu _{t}&={\frac {-S_{0}'(t)}{S_{0}(t)}}\\&={\frac {-(1-F_{0}(t))'}{S_{0}(t)}}\\&={\frac {-(-f_{0}(t))}{S_{0}(t)}}&{\text{since }}F'_{0}(t)=f'_{0}(t)\\&={\frac {f_{0}(t)}{S_{0}(t)}}.\\\end{aligned}}$$

備註.

• 我們可以將$f_{0}(t)/S_{0}(t)$（大致）解釋為新生兒在時間$t$“瞬間”死亡的條件機率，前提是新生兒存活了$t$個時間單位，因為$f_{0}(t)/S_{0}(t)\approx \mathbb {P} (t<T_{0}\leq t+\Delta t)/\mathbb {P} (T_{0}>t)=\mathbb {P} (\underbrace {t<T_{0}\leq t+\Delta t} _{{\text{die within the next }}\Delta t{\text{ time units}}}|T_{0}>t)$（$\Delta t$很小，接近於零）。
• 這種解釋很直觀，因為在時間$t$的“瞬間”死亡率可以解釋為在時間$t$生存率下降的相對速率（當該時間點的“瞬間”死亡率很高時，該時間點的相對生存率下降很多）。

練習。

以速率$\lambda$的指數分佈的死亡力$\mu _{X}$是多少？

	$\lambda$
	$-\lambda$
	1
	-1

之後，我們將介紹一些與生存函式和死亡力相關的命題。

命題. $S_{0}(t)=\exp \left(-\int _{0}^{t}\mu _{x}\,dx\right).$

證明. $${\begin{aligned}\exp \left(-\int _{0}^{t}\mu _{x}\,dx\right)&=\exp \left({\color {darkgreen}-}\int _{0}^{t}{\frac {{\color {darkgreen}-}S'_{0}(x)}{S_{0}(x)}}\,dx\right)\\&=\exp \left(\int _{0}^{t}{\frac {\color {red}S'_{0}(x)}{S_{0}(x)}}\,{\color {red}dx}\right)\\&=\exp \left(\int _{0}^{t}{\frac {1}{S_{0}(x)}}\,{\color {red}d(S_{0}(x))}\right)\\&=\exp \left([\ln |\underbrace {S_{0}(x)} _{\geq 0}|]_{0}^{t}\right)\\&=\exp \left(\ln(S_{0}(t))-\ln(\underbrace {S_{0}(0)} _{=1})\right)\\&=\exp \left(\ln(S_{0}(t))-\underbrace {\ln 1} _{=0}\right)\\&=\exp \left(\ln(S_{0}(t))\right)\\&=S_{0}(t),\end{aligned}}$$$\Box$

命題. $\int _{0}^{\infty }\mu _{t}\,dt=\infty .$

證明。 為簡化表達，在下文中我們將對符號進行一些濫用（無窮大是極限意義下的），但推理仍然易於理解。 $${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }\mu _{t}\,dt&=[\ln(S_{0}(t))]_{0}^{\infty }\\&=\ln S_{0}(\infty )-\ln S_{0}(0)\\&=\ln 0\\&=\infty .\end{aligned}}$$

$\Box$

示例。 已知 $T_{0}$ 服從區間 $[0,100]$ 上的均勻分佈，那麼 $T_{0}$ 的力率 $\mu _{t}$ 是多少？

解： 我們有 $S_{0}(t)=1-F_{0}(t)=1-{\frac {t-0}{100-0}}=1-{\frac {t}{100}}$。因此， $$\mu _{t}={\frac {-S_{0}'(t)}{S_{0}(t)}}={\frac {-(1-t/100)'}{1-t/100}}={\frac {1/100}{(100-t)/100}}={\frac {1}{100}}\cdot {\frac {100}{100-t}}={\frac {1}{100-t}}.$$

練習。

假設 $T_{0}$ 的力率為 $\mu _{t}=t/100$。新生兒在 10 年內死亡的機率是多少？

	0.368
	0.393
	0.607
	0.632

年齡為 x 的人的未來壽命

現在，我們將討論範圍從年齡為零（新生兒）的未來壽命擴充套件到年齡為$x$ ($x\geq 0$) 的生命。為了方便表達，我們將年齡為$x$ 的生命表示為$(x)$。

備註.

• 當我們說“年齡為$x$的生命”時，是指生命**正好**為$x$歲，即生命剛剛達到$x$歲（生命的生日），而不是，比如說$x+0.5$歲，$x+0.9$歲等，這些在日常生活中通常也被稱為“$x$歲”。

類似地，我們將$(x)$ 的未來壽命表示為$T_{x}$（回想一下，我們將$(0)$（新生兒）的未來壽命表示為$T_{0}$）。我們**定義**$T_{x}$ 的分佈（數學上，並且相當自然地）為$T_{0}-x$的**條件分佈**，**前提是**$T_{0}>x$。

為了理解這一點，請考慮以下推理：參考以下時間軸

                  death
    x       T_x   |
|---------|-------v
-------------------------
0         x                 t
|-----------------|
      T_0

我們可以觀察到，如果$T_{0}>x$（或$T_{0}\geq x$，但由於$T_{0}$是連續的，所以這並不重要），則$T_{x}=T_{0}-x$。

另一方面，如果$T_{0}<x$，我們有以下時間線

      death       
    x   |       
|-------v-|
-------------------------
0         x                 t
|-------|
   T_0

在這種情況下，$T_{x}$不存在，因為這個人無法存活$x$年，因此永遠不會達到$x$歲，所以不存在$(x)$，因此也不存在$T_{x}$，即$(x)$的未來壽命。這表明條件$T_{0}>x$的必要性。

根據這個定義，我們有$\mathbb {P} (T_{x}\leq t)=\mathbb {P} (T_{0}-x\leq t|T_{0}>x)$，$\mathbb {P} (T_{x}>t)=\mathbb {P} (T_{0}-x>t|T_{0}>x)$，等等。這非常重要，因為它是與$T_{x}$相關的機率計算的基礎。

對於$T_{x}$的機率密度函式（pdf）、累積分佈函式（cdf）和生存函式，我們有如下類似的符號

• $f_{x}(t)$：$T_{x}$的機率密度函式
• $F_{x}(t)$：$T_{x}$的累積分佈函式
• $S_{x}(t)$：$T_{x}$的生存函式

特別是，對於累積分佈函式和生存函式，我們有一些特殊的精算符號，如下所示

• $_{t}q_{x}=F_{x}(t)=\mathbb {P} (T_{x}\leq t)$
• $_{t}p_{x}=S_{x}(t)=\mathbb {P} (T_{x}>t)=1-{}_{t}q_{x}$

在精算符號中，"$q$" 通常指代與死亡相關的概念，而"$p$" 通常指代與生存相關的概念。在此語境下，這是成立的，因為$_{t}q_{x}$ 指代$(x)$ 在$t$ 個時間單位內死亡的機率，而$_{t}p_{x}$ 指代$(x)$ 生存 $t$ 個時間單位的機率。

為簡便起見，如果$t=1$，我們將$_{1}q_{x}$ 寫成$q_{x}$，並將$_{1}p_{x}$ 寫成$p_{x}$。

利用$T_{x}$ 和$T_{0}$ 之間的關係，我們可以推匯出一些對$_{t}p_{x}$ 和$_{t}q_{x}$ 有用的公式，如下所示

命題. $_{t}p_{x}={\frac {S_{0}(t+x)}{S_{0}(x)}}$ 以及$_{t}q_{x}=1-{\frac {S_{0}(t+x)}{S_{0}(x)}}$。

證明。 首先，我們有 $_{t}p_{x}=\mathbb {P} (T_{x}>t)=\mathbb {P} (T_{0}-x>t|T_{0}>x)={\frac {\mathbb {P} (T_{0}>t+x\cap T_{0}>x)}{\mathbb {P} (T_{0}>x)}}={\frac {\mathbb {P} (T_{0}>t+x)}{\mathbb {P} (T_{0}>x)}}={\frac {S_{0}(t+x)}{S_{0}(x)}}$，其中 $\{T_{0}>t+x\}\cap \{T_{0}>x\}=\{T_{0}>t+x\}$，因為 $t+x>x$ ($t\geq 0$)，因此 $T_{0}>t+x\implies T_{0}>x$，從而 $\{T_{0}>t+x\}$ 是 $\{T_{0}>x\}$ 的子集。

由此可得 $_{t}q_{x}=1-{}_{t}p_{x}=1-{\frac {S_{0}(t+x)}{S_{0}(x)}}$。

$\Box$

我們還可以將 $T_{x}$ 的機率密度函式表示如下

命題。 $f_{x}(t)={}_{x}p_{t}\mu _{x+t}$。

證明。 我們有 $f_{x}(t)={\frac {d}{dt}}{}_{t}q_{x}=\left(1-{\frac {S_{0}(t+x)}{S_{0}(x)}}\right)'={\frac {-S'_{0}(t+x)}{S_{0}(x)}}={\frac {\color {darkgreen}S_{0}(t+x)}{S_{0}(x)}}\cdot {\frac {-S'_{0}(t+x)}{\color {darkgreen}S_{0}(t+x)}}={}_{t}p_{x}\mu _{x+t}.$

$\Box$

備註.

• 直觀地（並且粗略地），$_{t}p_{x}$ 給出了 $(x)$ 存活 $t$ 個時間單位的機率，並且之後，$(x)$ 變成了 $(x+t)$，並且 $\mu _{x+t}$ 給出了 $(x+t)$ 在時間 $x+t$ “瞬間”死亡的機率，前提是該人在 $x+t$ 個時間單位記憶體活下來。將 $_{t}p_{x}$ 和 $\mu _{x+t}$ 相乘，其含義與 $f_{x}(t)$ 的（粗略）解釋相同：$(x)$ 在時間 $x+t$ 之後很短時間內（或“恰好”在時間 $x+t$）死亡。

例題. 已知新生兒的生存函式為$S_{0}(t)=1-{\frac {t}{10}},\quad 0\leq t\leq 10$。

(a) 計算$_{2}p_{1}$ 和 $q_{2}$。因此，確定$_{2}p_{1}=p_{2}$ 是否成立。

(b) 計算$\mu _{3}$。因此，計算$f_{2}(1)$。

解答

(a) $_{2}p_{1}={\frac {S_{0}(3)}{S_{0}(1)}}={\frac {0.7}{0.9}}\approx 0.778$ 以及 $q_{2}=1-{\frac {S_{0}(3)}{S_{0}(2)}}=1-{\frac {0.7}{0.8}}=0.125$。由於$p_{2}=1-q_{2}=0.875$，$_{2}p_{1}\neq p_{2}$。

(b) 由於$S'_{0}(t)=-{\frac {1}{10}}$，$\mu _{3}={\frac {-S'_{0}(3)}{S_{0}(3)}}={\frac {-(-1/10)}{0.7}}\approx {\frac {1}{7}}$。所以，$f_{2}(1)={}_{1}p_{2}\mu _{3}=(0.875)(1/7)=0.125$。

練習。

求 $f_{x}(t)$。

	$f_{x}(t)={\frac {1}{10-x}}$
	$f_{x}(t)={\frac {1}{10-t}}$
	$f_{x}(t)={\frac {1}{10-2t}}$
	$f_{x}(t)={\frac {t}{10-x}}$

我們對$(x)$在$x+t$歲和$x+t+u$歲之間死亡的機率有一種特殊的記號 ($x,t,u\geq 0$)，即$_{t|u}q_{x}$（因為這與死亡相關，所以這裡我們使用"$q$"）。因此，根據定義，我們有$_{t|u}q_{x}=\mathbb {P} (t<T_{x}<t+u))$。我們對$_{t|u}q_{x}$的另一個公式給出以下命題。

命題. $_{t|u}q_{x}={}_{t}p_{x}({}_{u}q_{x+t})$。

證明。 $${\begin{aligned}_{t|u}q_{x}&=\mathbb {P} (t<T_{x}<t+u)\\&=\mathbb {P} (T_{x}\leq t+u)-\mathbb {P} (T_{x}\leq t)\\&={}_{t+u}q_{x}-_{t}q_{x}\\&=(1-_{t+u}p_{x})-(1-_{t}p_{x})\\&={}_{t}p_{x}-_{t+u}p_{x}\\&={}_{t}p_{x}-{\frac {S_{0}(x+t+u)}{S_{0}(x)}}\\&={}_{t}p_{x}-{\frac {S_{0}(x+t+u)}{\color {darkgreen}S_{0}(x+t)}}\left({\frac {\color {darkgreen}S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}}\right)\\&={}_{t}p_{x}-{}_{u}p_{x+t}({}_{t}p_{x})\\&={}_{t}p_{x}(1-{}_{u}p_{x+t})\\&={}_{t}p_{x}(_{u}q_{x+t})\\\end{aligned}}$$

$\Box$

備註.

• 對於證明類似這樣的公式，通常最好在中間步驟中將所有"$q$" 更改為"$p$"，因為"$p$" 通常比"$q$" 更易於處理。

• 為了更直觀地理解這一點，$_{t}p_{x}$ 可以解釋為$(0)$ 存活 $x+t$ 個時間單位的機率，前提是$(0)$ 存活了 $x$ 個時間單位，並且 $_{u}q_{x+t}$ 可以解釋為$(0)$ 在 $x+t+u$ 個時間單位內死亡的機率，前提是$(0)$ 存活了 $x+t$ 個時間單位。因此，將這兩個機率相乘，可以得到$(0)$ 在 $x+t+u$ 個時間單位內死亡，並且 存活了 $x+t$ 個時間單位，前提是$(0)$ 存活了 $x$ 個時間單位的機率。

• 此論證對應於上述證明中的${\frac {S_{0}(x+t+u)}{S_{0}(x)}}={\frac {S_{0}(x+t+u)}{\color {darkgreen}S_{0}(x+t)}}{\frac {\color {darkgreen}S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}}$。

• 如果我們將上面藍色事件表示為${\color {blue}A}$，橙色事件表示為${\color {darkorange}B}$，以及紫色事件表示為${\color {purple}C}$，我們可以使用機率符號表示上述論證：$\mathbb {P} ({\color {blue}A}|{\color {darkorange}B})\mathbb {P} ({\color {purple}C}|{\color {blue}A})=\mathbb {P} ({\color {blue}A}\cap {\color {purple}C}|{\color {darkorange}B})$。

• 當您嘗試證明這個等式時，您可以觀察到這等價於上述證明中的$\underbrace {\frac {S_{0}(x+t+u)}{S_{0}(x)}} _{\mathbb {P} ({\color {blue}A}\cap {\color {purple}C}|{\color {darkorange}B})}=\underbrace {\frac {S_{0}(x+t+u)}{\color {darkgreen}S_{0}(x+t)}} _{\mathbb {P} ({\color {purple}C}|{\color {blue}A})}\underbrace {\frac {\color {darkgreen}S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}} _{\mathbb {P} ({\color {blue}A}|{\color {darkorange}B})}$。

• 類似地，為了簡便起見，我們將$_{t|1}q_{x}$表示為$_{t|}q_{x}$。

示例. 已知新生兒的生存函式為$S_{0}(t)=e^{-t},\quad t\geq 0$。

(a) 計算$_{3|}q_{2}$。

(b) 計算$_{2|}q_{3}$。

(c) (a) 和 (b) 中的答案是否相同？

解答

(a) $_{3|}q_{2}={}_{3}p_{2}(q_{5})={\frac {e^{-5}}{e^{-2}}}\left(1-{\frac {e^{-6}}{e^{-5}}}\right)={\frac {e^{-5}}{e^{-2}}}-{\frac {e^{-6}}{e^{-2}}}$

(b) $_{2|}q_{3}={}_{2}p_{3}(q_{5})={\frac {e^{-5}}{e^{-3}}}\left(1-{\frac {e^{-6}}{e^{-5}}}\right)={\frac {e^{-5}}{e^{-3}}}-{\frac {e^{-6}}{e^{-3}}}$

(c) 它們不相同。

練習。

1 以下哪個/哪些表示式表示$(5)$在10歲到12歲之間死亡的機率？

	$_{7}p_{5}-{}_{5}p_{5}$
	$_{5}p_{5}-{}_{7}p_{5}$
	$_{5}q_{5}-{}_{7}q_{5}$
	$_{7}q_{5}-{}_{5}q_{5}$
	$_{10|12}q_{5}$

2 以下哪個/哪些表示式表示$(5)$在10歲到12歲之間存活的機率？

	$_{7}p_{5}$
	$_{5}p_{5}-{}_{7}q_{5}$
	$_{7}p_{5}-{}_{5}q_{5}$
	$_{7}p_{5}+{}_{5}q_{5}$
	$1-{}_{10|12}q_{5}$

年齡為x的生存體的**截止未來生存期**

**截止未來生存期**與前面章節中的未來生存期類似，只是它是**離散的**。

定義。（截止未來生存期）年齡為$(x)$的生存體的**截止未來生存期**，記為$K_{x}$，是$\lfloor T_{x}\rfloor$，即$T_{x}$的**向下取整函式**。

備註.

• 因此，$K_{x}$的支援集是所有非負整數的集合。

類似地，我們希望像$T_{x}$的情況一樣，完全確定$K_{x}$的分佈。我們可以使用累積分佈函式或機率質量函式（pmf）來實現。其pmf由以下命題給出。

命題。（$K_{x}$的pmf）$K_{x}$的pmf為$_{k|}q_{x}={}_{k}p_{x}(q_{x+k})$。

證明。$K_{x}$的pmf為$${\begin{aligned}\mathbb {P} (K_{x}=k)&=\mathbb {P} (k\leq T_{x}<k+1)\\&=\mathbb {P} (k<T_{x}<k+1)&{\text{since }}T_{x}{\text{ is continuous}}\\&={}_{k|}q_{x}&{\text{ by definition}}\\&={}_{k}p_{x}(q_{x+k})&{\text{by proposition}}.\\\end{aligned}}$$

$\Box$

命題.（$K_{x}$ 的累積分佈函式）$K_{x}$ 的累積分佈函式為 $\mathbb {P} (K_{x}\leq k)={}_{k+1}q_{x}$。

證明. $K_{x}$ 的累積分佈函式為 $${\begin{aligned}\mathbb {P} (K_{x}\leq k)&=\sum _{j=0}^{k}{}_{j|}q_{x}\\&={}_{0|}q_{x}+{}_{1|}q_{x}+\dotsb +{}_{k|}q_{x}\\&=\mathbb {P} ((x){\text{ dies between ages }}0{\text{ and }}1)+\mathbb {P} ((x){\text{ dies between ages }}1{\text{ and }}2)+\dotsb +\mathbb {P} ((x){\text{ dies between ages }}k{\text{ and }}k+1)\\&=\mathbb {P} ((x){\text{ dies between ages }}0{\text{ and }}k+1)\\&=\mathbb {P} ((x){\text{ dies within }}k+1{\text{ years}})\\&={}_{k+1}q_{x}.\end{aligned}}$$

$\Box$

示例. 已知新生兒的生存函式為 $S_{0}(t)={\frac {100-t}{100}},\quad 0\leq t\leq 100$。

(a) 透過考慮 $T_{20}$，計算 $(20)$ 在 10 年內死亡的機率。

(b) 透過考慮 $K_{20}$，計算 $(20)$ 在 10 年內死亡的機率。

(c) (a) 中的機率和 (b) 中的機率哪個更大？

解答

(a) 機率為 $\mathbb {P} (T_{20}\leq 10)={}_{10}q_{20}=1-{\frac {S_{0}(30)}{S_{0}(20)}}=1-{\frac {0.7}{0.8}}=0.125$。

(b) 機率為 $\mathbb {P} (K_{20}\leq 10)={}_{11}q_{20}=1-{\frac {S_{0}(31)}{S_{0}(20)}}=1-{\frac {0.69}{0.8}}=0.1375$

(c) (b) 中的機率較大。

練習。

1 下列哪一項（或哪些項）是 $K_{x}$ 的生存函式？

	$_{k+1}p_{x}$
	$_{k+1}q_{x}$
	$_{k}p_{x}$
	$_{k}q_{x}$

2 考慮 $K_{20}$，計算 $(20)$ 生存 20 年的機率。

	0.65
	0.7375
	0.75
	0.9875

生命表

在生命表中，$q_{x}$ 和其他函式的不同（整數）年齡 $x$ 的值都被製成表格。假定這些值基於前面章節中討論的生存分佈。在本節中，我們將討論生命表中出現的更多函式。

在前面的章節中，我們討論了一個人的死亡時間隨機變數，這裡我們將考慮多個人。假設有$\ell _{0}$個新生兒。令指標函式$$\mathbf {1} _{j}(x)={\begin{cases}1,&{\text{if life }}j{\text{ survives to age }}x;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$$ 此外，令${\mathcal {L}}(x)$ 為所有此類指標函式$\mathbf {1} _{j}(x)$ 的和，即${\mathcal {L}}(x)=\sum _{j=1}^{\ell _{0}}\mathbf {1} _{j}(x)$。我們可以將${\mathcal {L}}(x)$ 解釋為這 $\ell _{0}$ 個新生兒中，活到$x$ 歲的人數。

我們用$\ell _{x}$ 表示${\mathcal {L}}(x)$ 的期望值。

命題. $\ell _{x}=\ell _{0}S_{0}(x)$.

證明。 由於 $\mathbb {E} [\mathbf {1} _{j}(x)]=1\cdot \mathbb {P} ({\text{life }}j{\text{ survives to age }}x)+0\cdot \mathbb {P} ({\text{life }}j{\text{ does not survive to age }}x)=\mathbb {P} ({\text{life }}j{\text{ survives to age }}x)=S_{0}(x)$（對於每個生命 $j$ 都成立，因為假設不同生命的未來壽命的生存分佈相同）， $\ell _{x}$ 等於 $\mathbb {E} [{\mathcal {L}}(x)]=\mathbb {E} \left[\sum _{j=1}^{\ell _{0}}\mathbf {1} _{j}(x)\right]=\sum _{j=1}^{\ell _{0}}\mathbb {E} [\mathbf {1} _{j}(x)]=\sum _{j=1}^{\ell _{0}}\underbrace {S_{0}(x)} _{{\text{constant with respect to }}j}=\ell _{0}S_{0}(x)$。

$\Box$

作為推論，$\ell '_{x}=(\ell _{0}S_{0}(x))'=\ell _{0}S'_{0}(x)$（$\ell _{0}$相對於$x$是常數）。此外，${\frac {-\ell '_{x}}{\ell _{x}}}={\frac {-\ell _{0}S'_{0}(x)}{\ell _{0}S_{0}(x)}}={\frac {-S'_{0}(x)}{S_{0}(x)}}=\mu _{x}$。此外，我們可以使用$\ell _{x}$來計算機率，例如$_{t}p_{x}$和$_{t}q_{x}$，如下所示：$_{t}p_{x}={\frac {S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}}={\frac {\ell _{0}S_{0}(x+t)}{\ell _{0}S_{0}(x)}}={\frac {\ell _{x+t}}{\ell _{x}}}$，因此$_{t}q_{x}=1-{}_{t}p_{x}=1-{\frac {\ell _{x+t}}{\ell _{x}}}$。在後面涉及生命表中選擇年齡（選擇表）的部分，我們將使用這些公式根據這樣的生命表計算這些機率，以納入選擇的影響。

我們已經討論了達到$x$年齡的生存者人數，接下來我們將討論“相反的事情”，即達到$x$年齡的死亡人數（即0歲到$x$歲之間），或者更一般地，在$x$歲和$x+n$歲之間。

我們將此類死亡人數的期望值表示為$_{n}d_{x}$。

命題. $_{n}d_{x}=\ell _{x}-\ell _{x+n}$。

證明. 我們可以類似地為該情境定義另一個指示函式（如果生命$j$在$x$歲和$x+n$歲之間死亡，則值為 1，否則為 0）。然後，每個指示函式的期望值等於新生兒在$x$歲和$x+n$歲之間死亡的機率，即$S_{0}(x)-S_{0}(x+n)$。與上述類似的推理，我們有$_{n}d_{x}=\ell _{0}(S_{0}(x)-S_{0}(x+n))=\ell _{0}S_{0}(x)-\ell _{0}S_{0}(x+n)=\ell _{x}-\ell _{x+n}$。

$\Box$

備註. 類似地，為了簡單起見，我們將$_{1}d_{x}$寫為$d_{x}$。

除了與人數的生存者和死亡人數的期望值相關的生命表函式$\ell _{x}$和$_{n}d_{x}$外，我們還將討論另外兩個生命表函式，它們與壽命的期望值相關。

示例. 假設$\ell _{0}=1000$，新生兒的生存函式為$S_{0}(x)=1-{\frac {x}{80}},\quad 0\leq x\leq 80$。

(a) 什麼是 $\ell _{80}$？

(b) 什麼是 $_{50}d_{30}$ 和 $_{50}d_{20}$？它們相等嗎？

解答

(a) $\ell _{80}=\ell _{0}S_{0}(80)=1000(0)=0$。（也就是說，預期存活到80歲的數量為0。）

(b) $_{50}d_{30}=\ell _{30}-\ell _{80}=1000(1-30/80)-0=625$ 和 $_{50}d_{20}=\ell _{20}-\ell _{70}=1000(1-20/80)-1000(1-70/80)=625$。它們相等。

備註.

• 對於 (b)，確實，$_{50}d_{x}=625$ 對於每個 $x\in [0,30]$ 都成立，因為 $_{50}d_{x}=1000(1-x/80)-1000(1-(50+x)/80)=1000(50/80)=625$ 對於每個 $x\in [0,30]$ 都成立。

練習。 給定 $\ell _{x}=100-x,\quad 0\leq x\leq 100$。

1 什麼是 $_{10}p_{30}$？

	0.143
	0.333
	0.667
	0.857

2 計算 (i) $_{25}d_{30}$；(ii) $_{25}d_{80}$。

	(i) 25; (ii) 20
	(i) 20; (ii) 20
	(i) 20; (ii) 25
	(i) 25; (ii) 25

3. (a) 計算${}_{n}q_{x}$ 在本例中 ($0\leq n\leq 100-x$)。(b) 因此，證明$\ell _{x}{}_{n}q_{x}={}_{n}d_{x}$ 在所有情況下都成立。(c) 直接利用(b)，證明$\ell _{x}{}_{n}p_{x}=\ell _{x+n}$ 在所有情況下都成立。

解答

(a) $${}_{n}q_{x}=1-{\frac {S_{0}(x+n)}{S_{0}(x)}}=1-{\frac {\ell _{0}S_{0}(x+n)}{\ell _{0}S_{0}(x)}}=1-{\frac {\ell _{x+n}}{\ell _{x}}}=1-{\frac {100-x-n}{100-x}}.$$

(b)

證明. 從(a)中，我們可以觀察到${}_{n}q_{x}=1-{\frac {\ell _{x+n}}{\ell _{x}}}$ 在所有情況下都成立。因此，$\ell _{x}{}_{n}q_{x}=\ell _{x}\left(1-{\frac {\ell _{x+n}}{\ell _{x}}}\right)=\ell _{x}-\ell _{x+n}={}_{n}d_{x}$，其中最後一個等式來自先前的命題。

$\Box$

(c)

證明. 從(b)中，我們有$$\ell _{x}{}_{n}q_{x}={}_{n}d_{x}\implies \ell _{x}(1-{}_{n}p_{x})=\ell _{x}-\ell _{x+n}\implies -\ell _{x}{}_{n}p_{x}=-\ell _{x+n}\implies \ell _{x}{}_{n}p_{x}=\ell _{x+n}.$$

$\Box$

生存期望有兩種型別：一種是離散的，另一種是連續的，它們分別稱為**殘存期生存期望**和**完整期生存期望**。

定義.（完全期望壽命）$(x)$ 的完全期望壽命，記為 ${\overset {\circ }{e}}_{x}$，是 $\mathbb {E} [T_{x}]$。

定義.（截短期望壽命）$(x)$ 的截短期望壽命，記為 $e_{x}$，是 $\mathbb {E} [K_{x}]$。

命題. ${\overset {\circ }{e}}_{x}=\int _{0}^{\infty }{}_{t}p_{x}\,dt$。

證明。 我們將使用分部積分法。$${\overset {\circ }{e}}_{x}=\mathbb {E} [T_{x}]=\int _{0}^{\infty }tf_{x}(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }t\,d(F_{x}(t))=\int _{0}^{\infty }t\,d(_{t}q_{x})=\int _{0}^{\infty }t\,d(1-{}_{t}p_{x})=\int _{0}^{\infty }t\,d(-{}_{t}p_{x})=[t(-{}_{t}p_{x})]_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }-{}_{t}p_{x}\,dt=\lim _{t\to \infty }(-t\;_{t}p_{x})+\int _{0}^{\infty }{}_{t}p_{x}\,dt$$ 現在，只需證明 $\lim _{t\to \infty }(-t\;_{t}p_{x})=0$，這是正確的，因為 $-t\to -\infty$ 且 $_{t}p_{x}=S_{x}(t)\to 0$ 當 $t\to \infty$ 時，因此該極限要麼等於 $-\infty$，要麼等於 0。但是，由於期望值存在（即不趨於無窮大，否則預期壽命就沒有意義），因此該極限不能等於 $-\infty$，因此該極限為 0。

$\Box$

備註.

• 使用類似的證明，我們也可以證明$\mathbb {E} [T_{x}^{2}]{\overset {\text{ def }}{=}}\int _{0}^{\infty }t^{2}f_{x}(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }{}_{t}p_{x}\,d({\color {darkgreen}t^{2}})={\color {darkgreen}2}\int _{0}^{\infty }{\color {darkgreen}t}\;_{t}p_{x}\,dt$。
• 因此，方差$\operatorname {Var} (T_{x})=2\int _{0}^{\infty }t\;_{t}p_{x}\,dt-({\overset {\circ }{e}}_{x})^{2}$。

命題. $e_{x}=\sum _{k=1}^{\infty }{}_{k}p_{x}$。

證明. 前面的關於${\overset {\circ }{e}}_{x}$的命題在證明中使用了分部積分，我們可以類似地使用求和分部（可以理解為分部積分的離散模擬）進行證明。然而，有一種更簡單的方法來證明這個命題，其中求和被適當地“分割”：$${\begin{aligned}e_{x}&=\mathbb {E} [K_{x}]\\&=\sum _{k=0}^{\infty }k{}_{k}p_{x}q_{x+k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }k({}_{k}p_{x}-{}_{k+1}p_{x})\\&=\sum _{k={\color {darkgreen}1}}^{\infty }k{}_{k}p_{x}-\sum _{k=0}^{\infty }k{}_{k+1}p_{x}&(k{}_{k}p_{x}=0{\text{ when }}k=0)\\&=\sum _{k={\color {darkgreen}1}}^{\infty }k{}_{k}p_{x}-\sum _{k'=1}^{\infty }(k'-1){}_{k'}p_{x}&(k'=k+1)\\&=\underbrace {\sum _{k={\color {darkgreen}1}}^{\infty }k{}_{k}p_{x}-\sum _{k'=1}^{\infty }k'{}_{k'}p_{x}} _{=0}+\sum _{k'=1}^{\infty }{}_{k'}p_{x}&({\text{the first two sums represent the same thing}})\\&=\sum _{k'=1}^{\infty }{}_{k'}p_{x}.\end{aligned}}$$我們可以觀察到這個求和和命題中的求和表示相同的事物，因此結果成立。

使用求和分部進行證明

本證明的思路與關於${\overset {\circ }{e}}_{x}$命題的證明類似，不同之處在於分部積分被替換為分部求和（可以將其理解為分部積分的“離散版本”）。分部求和的證明此處省略。具體步驟如下：首先，定義前向差分$\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$用於分部求和（這類似於積分中的$dx$）。然後，$${\begin{aligned}e_{x}&=\mathbb {E} [K_{x}]\\&=\sum _{k=0}^{\infty }k({}_{k}p_{x})(q_{x+k})\\&=\sum _{k=0}^{\infty }k({}_{k}p_{x}-{}_{k+1}p_{x})\\&=\sum _{k=0}^{\infty }k\Delta (-{}_{k}p_{x})\\&=[k(-{}_{k}p_{x})]_{0}^{\infty }-\sum _{k=0}^{\infty }-{}_{\color {darkgreen}k+1}p_{x}\underbrace {\Delta (k)} _{=k+1-k=1}&{\text{by summation by parts formula}}\\&=\lim _{k\to \infty }(-k\;_{k}p_{x})+\sum _{\color {darkgreen}k=1}^{\infty }{}_{\color {darkgreen}k}p_{x}.\end{aligned}}$$ 特別地，我們有$_{k}p_{x}(q_{x+k})={\frac {S_{0}(x+k)}{S_{0}(x)}}\left(1-{\frac {S_{0}(x+k+1)}{S_{0}(x+k)}}\right)={\frac {S_{0}(x+k)}{S_{0}(x)}}-{\frac {S_{0}(x+k+1)}{S_{0}(x)}}={}_{k}p_{x}-{}_{k+1}p_{x}$。

再次，證明$\lim _{k\to \infty }(-k\;_{k}p_{x})=0$ 足夠，而這同樣成立的原因是：期望值$\mathbb {E} [K_{x}]$ 的存在。

$\Box$

備註.

• 利用類似的證明，我們也可以證明$\mathbb {E} [K_{x}^{2}]=\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}\Delta (-{}_{k}p_{x})=\underbrace {[k^{2}(-{}_{k}p_{x})]_{0}^{\infty }} _{=0}-\sum _{k=0}^{\infty }{}_{k+1}p_{x}\underbrace {\Delta ({\color {darkgreen}k^{2}})} _{=k^{2}+2k+1-k^{2}=2k+1}=\sum _{k=0}^{\infty }({\color {darkgreen}2k+1}){}_{k+1}p_{x}=\sum _{\color {darkgreen}k=1}^{\infty }({\color {darkgreen}2k-1}){}_{k}p_{x}$（分部求和法）。
• 因此，方差$\operatorname {Var} (K_{x})=\left(\sum _{k=1}^{\infty }(2k-1){}_{k}p_{x}\right)-(e_{x})^{2}$。

練習。 使用“和式拆分”方法證明$\mathbb {E} [K_{x}^{2}]=\sum _{k=1}^{\infty }(2k-1){}_{k}p_{x}$。

解答

證明。 $${\begin{aligned}\mathbb {E} [K_{x}^{2}]&=\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}{}_{k}p_{x}q_{x+k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}({}_{k}p_{x}-{}_{k+1}p_{x})\\&=\sum _{k={\color {darkgreen}1}}^{\infty }k^{2}{}_{k}p_{x}-\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}{}_{k+1}p_{x}&(k^{2}{}_{k}p_{x}{\text{ when }}k=0)\\&=\sum _{k={\color {darkgreen}1}}^{\infty }k^{2}{}_{k}p_{x}-\sum _{k'=1}^{\infty }(k'-1)^{2}{}_{k'}p_{x}&(k'=k+1)\\&=\underbrace {\sum _{k={\color {darkgreen}1}}^{\infty }k^{2}{}_{k}p_{x}-\sum _{k'=1}^{\infty }k'^{2}{}_{k'}p_{x}} _{=0}+\sum _{k'=1}^{\infty }(2k'-1){}_{k'}p_{x}&(-(k'-1)^{2}=-k'+2k'-1)\\&=\sum _{k'=1}^{\infty }(2k'-1){}_{k'}p_{x}.\end{aligned}}$$

$\Box$

以下是 ${\overset {\circ }{e}}_{x}$ 和 $e_{x}$ 的遞推關係，當我們想要找到 $(x)$ 的完全/截短餘命時，這些關係式很有用，前提是已知其他年齡（例如 $x+1$ 和 $x+2$）的餘命。

我們將以命題的形式陳述這些遞推關係，然後對其進行形式化證明。在證明之後，我們將嘗試對 $e_{x}$ 的遞推關係給出一些直觀的解釋。

命題。 $e_{x}=p_{x}(1+e_{x+1})$.

證明。 $$e_{x}=\sum _{k=1}^{\infty }{}_{k}p_{x}=p_{x}+\sum _{k=2}^{\infty }{}_{k}p_{x}=p_{x}+\sum _{k=2}^{\infty }p_{x}{}_{k-1}p_{x+1}=p_{x}+p_{x}\sum _{k=1}^{\infty }{}_{k}p_{x+1}=p_{x}(1+e_{x+1}).$$ 特別地，我們有 $_{k}p_{x}={\frac {S_{0}(x+k)}{S_{0}(x)}}={\frac {S_{0}(x+1)}{S_{0}(x)}}\cdot {\frac {S_{0}(x+k)}{S_{0}(x+1)}}=p_{x}\;_{k-1}p_{x+1}$.

$\Box$

對這個遞迴關係的一個直觀解釋如下

• 對於左側，$e_{x}$ 是 $(x)$ 的截尾期望壽命；

• 對於右側，$e_{x+1}$ 是 $(x+1)$ 的剩餘期望壽命，我們想要將其“轉換”為 $(x)$ 的期望壽命。第一步是加上 1，因為這是相對於 $(x+1)$ 的期望壽命，但我們想要從 $(x)$ 的角度來看待期望壽命，它比前者年輕 1 歲。但僅僅這一步還不夠，因為“$e_{x+1}$” 假設生命已經存活了 $x+1$ 年，但對於 $e_{x}$，生命僅被假定存活了 $x$ 年。因此，我們還需要乘以 $(x)$ 存活一年的機率，$p_{x}$，以“到達” $e_{x+1}$。

• 現在，“從 $x+1$ 歲開始的期望壽命” 是透過 $e_{x+1}$ 來計算的。那麼“從 $x$ 歲到 $x+1$ 歲的期望壽命” 呢？實際上，當生命在 $x$ 歲和 $x+1$ 歲之間死亡時，$K=0$。這意味著這種“期望壽命”為零。

命題. ${\overset {\circ }{e}}_{x}=\int _{0}^{1}{}_{t}p_{x}\,dt+p_{x}{\overset {\circ }{e}}_{x+1}$.

證明. $${\begin{aligned}{\overset {\circ }{e}}_{x}&=\int _{0}^{\infty }{}_{t}p_{x}\,dt\\&=\int _{0}^{1}{}_{t}p_{x}\,dt+\int _{1}^{\infty }{}_{t}p_{x}\,dt\\&=\int _{0}^{1}{}_{t}p_{x}\,dt+p_{x}\int _{1}^{\infty }{}_{t-1}p_{x+1}\,dt\\&=\int _{0}^{1}{}_{t}p_{x}\,dt+p_{x}\int _{\color {darkgreen}0}^{\infty }{}_{\color {darkgreen}u}p_{x+1}\,d{\color {darkgreen}u}&(u=t-1)\\&=\int _{0}^{1}{}_{t}p_{x}\,dt+p_{x}{\overset {\circ }{e}}_{x+1}.\\\end{aligned}}$$

$\Box$

示例。 已知 $S_{0}(x)={\frac {50-x}{50}},\quad 0\leq x\leq 50$，則有 ${\overset {\circ }{e}}_{x}=\int _{0}^{\infty }{}_{t}p_{x}\,dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}}\,dt=\int _{0}^{50-x}{\frac {(50-x-t)/50}{(50-x)/50}}\,dt=\int _{0}^{50-x}{\frac {50-x-t}{50-x}}\,dt=\int _{0}^{50-x}\left(1-{\frac {t}{50-x}}\right)\,dt=\left[t-{\frac {t^{2}}{100-2x}}\right]_{0}^{50-x}=\left(50-x-{\frac {(50-x)^{2}}{2(50-x)}}\right)={\frac {50-x}{2}}$。特別地，$S_{0}(x+t)$ 當 $0\leq x+t\leq 50$ 時取非零值，$S_{0}(x)$ 當 $0\leq x\leq 50$ 時取非零值。此外，$_{t}p_{x}={\frac {S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}}$ 僅當 $t\geq 0$ 時成立。由此可知，$x$ 和 $t$ 的界限由 $0\leq x\leq 50-t$ 和 $0\leq t\leq 50-x$ 給出。

練習。 已知 $S_{0}(x)=1-{\frac {x}{5}},\quad 0\leq x\leq 5$。

1 計算${\overset {\circ }{e}}_{3}$。

	0.5
	0.75
	1
	1.25
	1.5

2 計算$e_{3}$。

	0.5
	0.75
	1
	1.25
	1.5

先前，我們已經討論了連續隨機變數$T_{x}$和離散隨機變數$K_{x}$。生命表可以確定$K_{x}$的分佈，因為對於不同的整數$x$，$q_{x}$的值可以從生命表中獲得。然而，生命表不足以確定$T_{x}$的分佈，因為當$x$不是整數時，我們不知道$q_{x}$的值。因此，為了使用生命表指定$T_{x}$的分佈，我們需要對分段（非整數）年齡做出一些假設。

定義。 （死亡均勻分佈）死亡均勻分佈假設假設$$S_{0}(x+t)=(1-t)S_{0}(x)+tS_{0}(x+1),\quad 0\leq t\leq 1.$$

定義。 （死亡力恆定）死亡力恆定假設假設$$\ln S_{0}(x+t)=(1-t)\ln S_{0}(x)+t\ln S_{0}(x+1),\quad 0\leq t\leq 1.$$

該方程也可以表示為$S_{0}(x+t)=[S_{0}(x)]^{1-t}[S_{0}(x+1)]^{t},\quad 0\leq t\leq 1$。

定義。 （Balducci假設）Balducci假設假設$${\frac {1}{S_{0}(x+t)}}={\frac {1-t}{S_{0}(x)}}+{\frac {t}{S_{0}(x+1)}},\quad 0\leq t\leq 1.$$

備註.

• 它也稱為雙曲線假設。

Assumptions for fractional ages

備註.

• [編輯 | 編輯原始碼]

在UDD假設下，我們對與死亡率相關的各種機率有一些“良好”且簡單的表示式。我們可以透過用假設中提到的等式的右邊替換$S_{0}(x+t)$來獲得這些表示式。

示例. 在UDD假設下，當$0\leq t\leq 1$時，$$_{t}q_{x}=1-{\frac {S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}}=1-{\frac {(1-t)S_{0}(x)+tS_{0}(x+1)}{S_{0}(x)}}=1-(1-t)-t(p_{x})=t-t(p_{x})=t(1-p_{x})=t(q_{x}).$$

練習. 證明在UDD假設下，當$0\leq t\leq 1$時，$\mu _{x+t}={\frac {q_{x}}{1-t(q_{x})}}$。

答案

在UDD假設下，當$0\leq t\leq 1$，$$\mu _{x+t}=-{\frac {{\frac {\partial }{\partial t}}[S_{0}(x+t)]}{S_{0}(x+t)}}=-{\frac {-S_{0}(x)+S_{0}(x+1)}{S_{0}(x+t)}}={\frac {S_{0}(x)-S_{0}(x+1)}{S_{0}(x+t)}}={\frac {{\big (}S_{0}(x)-S_{0}(x+1){\big )}/S_{0}(x)}{{\big (}S_{0}(x+t){\big )}/S_{0}(x)}}={\frac {q_{x}}{1-{}_{t}q_{x}}}={\frac {q_{x}}{1-t(q_{x})}}$$ 特別地，我們對$t$而不是$x$求導，因為只有$t$是變化的，而$x$應該固定在一個選定的整數上。此外，我們在前面的例子中使用了結果：$_{t}q_{x}=t(q_{x})$作為最後一步。

對於前面提到的三種假設，每種假設都有一個特別“簡潔”和簡單的結果，在實踐中，我們可以使用這些“簡潔”的結果進行計算，而不是應用定義。UDD假設的“簡潔”結果在前面的例子中提到：當$0\leq t\leq 1$，${}_{t}q_{x}=t(q_{x})$。其他兩種假設的“簡潔”結果如下所示

定理。（常力假設下的顯著性質）在常力假設下，$_{t}p_{x}=p_{x}^{t},\quad 0\leq t\leq 1$。

證明。 $$_{t}p_{x}={\frac {S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}}={\frac {[S_{0}(x)]^{1-t}[S_{0}(x+1)]^{t}}{S_{0}(x)}}={\frac {[S_{0}(x+1)]^{t}}{[S_{0}(x)]^{t}}}=\left({\frac {S_{0}(x+1)}{S_{0}(x)}}\right)^{t}=p_{x}^{t}.$$

$\Box$

定理。 (巴爾杜奇假設下的顯著性質) 在巴爾杜奇假設下， $_{1-t}q_{x+t}=(1-t)q_{x},\quad 0\leq t\leq 1$。

證明。 $$_{1-t}q_{x+t}=1-{\frac {S_{0}(x+1)}{S_{0}(x+t)}}=1-S_{0}(x+1)\left({\frac {1-t}{S_{0}(x)}}+{\frac {t}{S_{0}(x+1)}}\right)=1-(1-t){\frac {S_{0}(x+1)}{S_{0}(x)}}-t=1-t-(1-t)p_{x}=(1-t)(1-p_{x})=(1-t)q_{x}.$$

$\Box$

在UDD假設下，一個有趣的結論與兩個隨機變數的獨立性有關。

為了簡化符號，從現在開始，我們令 $T=T_{x}$ 和 $K=K_{x}$，除非另有說明。

定義一個連續隨機變數 $S$ 為 $T=K+S,\quad S\in (0,1)$。也就是說，$S$ 是表示 $(x)$ 死亡年份中度過的時間的 年分數 的隨機變數。例如，如果 $S=0.5$，那麼 $(x)$ 在死亡年份中生存了半年。

然後，$K$ 和 $S$ 在 UDD 假設下是獨立的。這是因為在 UDD 假設下，$$\mathbb {P} (K=k{\text{ and }}S\leq s)=\mathbb {P} (k\leq T\leq k+s)={}_{k}p_{x}{}_{s}q_{x+k}={}_{k}p_{x}\cdot s\cdot q_{x+k}=(_{k|}q_{x})\cdot s=\mathbb {P} (K=k)\mathbb {P} (S\leq s)$$。此外，我們可以觀察到 $S$ 的累積分佈函式為 $\mathbb {P} (S\leq s)=s={\frac {s-0}{1-0}}$，這是區間 $(0,1)$ 上均勻分佈的累積分佈函式。這意味著在 UDD 假設下，$S$ 服從區間 $(0,1)$ 上的均勻分佈。因此，$\mathbb {E} [S]={\frac {1}{2}}$ 且 $\operatorname {Var} (S)={\frac {1}{12}}$。這產生了在 UDD 假設下的結果。

• ${\overset {\circ }{e}}_{x}=\mathbb {E} [T]=\mathbb {E} [K+S]=\mathbb {E} [K]+\mathbb {E} [S]=e_{x}+{\frac {1}{2}}$.
• $\operatorname {Var} (T)=\operatorname {Var} (T){\overset {\text{ independence }}{=}}\operatorname {Var} (K)+\operatorname {Var} (S)=\left(\sum _{k=1}^{\infty }(2k-1){}_{k}p_{x}\right)-(e_{x})^{2}+{\frac {1}{12}}$.

這兩個結果為我們提供了一種計算$T$的均值和方差的替代方法，其中計算中僅使用了離散的內容。但是，我們需要注意的是，這些結果是在UDD假設下成立的，因此在沒有UDD假設的情況下，我們不能使用這些結果。

練習。（之前練習回顧）在之前的練習中，我們被要求計算給定$S_{0}(x)=1-{\frac {x}{5}},\quad 0\leq x\leq 5$時的${\overset {\circ }{e}}_{3}$和$e_{3}$。以下問題是對此練習的一些進一步問題。

(a) 證明該生存函式滿足UDD假設。

(b) 驗證${\overset {\circ }{e}}_{3}=e_{3}+0.5$。

解答

(a)

證明。因為當$t\in [0,1]$時，$$S_{0}(x+t)=1-{\frac {x+t}{5}},$$並且$$(1-t)S_{0}(x)+tS_{0}(x+1)=(1-t)\left(1-{\frac {x}{5}}\right)+t\left(1-{\frac {x+1}{5}}\right)=1-{\frac {x}{5}}-t+{\frac {tx}{5}}+t-{\frac {tx}{5}}-{\frac {t}{5}}=1-{\frac {x+t}{5}},$$根據定義，該生存函式滿足UDD假設。

$\Box$

(b) 從之前的練習中，我們有${\overset {\circ }{e}}_{3}=1$ 和 $e_{3}=0.5$。因此，${\overset {\circ }{e}}_{3}=e_{3}+0.5$。

死亡力模型

在本節中，我們將介紹一些簡單的死亡力模型（即死亡率的一些特定分佈）。這些模型中的一些可能適用於模擬人類在某些年齡段的死亡率，但人們普遍認為，這些模型中沒有一個適用於模擬人類在所有年齡段的死亡率。

事實上，如果我們想使用某種機率分佈來模擬人類的死亡率，我們可能需要使用混合分佈，因為人類在不同年齡段的死亡率分佈方式不同，因此應該在不同的年齡段使用不同的分佈。為了選擇某些年齡段的合適分佈，我們可以根據實際的人類死亡率資料研究相應經驗分佈的形狀，並據此選擇合適的分佈。例如，如果死亡率在某些年齡段呈指數增長，那麼我們可以選擇一個死亡力也呈指數增長的分佈。

在實踐中，為了計算與人類死亡率相關的機率，我們通常使用生命表進行計算。保險公司通常都是這樣做的。每個保險公司都有自己的生命表，該生命表基於其客戶（可能是其客戶）的死亡率資料。由於這種生命表是使用基於過去經驗的實際人類死亡率資料構建的，因此生命表通常被認為位元定分佈更準確。

然而，擁有一個死亡力模型可以簡化與死亡率相關的機率的計算。

定義。（棣莫弗死亡力模型）棣莫弗死亡力模型的死亡力為$\mu _{x}={\frac {1}{\omega -x}}$，生存分佈為$S_{0}(x)=1-{\frac {x}{\omega }}$，其中$0\leq x<\omega$（$\omega$稱為極限年齡，即人類必須在此年齡之前（嚴格意義上）死亡）。

備註.

• 這是我們討論的模型中最簡單的模型。
• 事實上，在這個模型中，死亡率遵循均勻分佈，區間為$[0,\omega )$，因為累積分佈函式為${\frac {x}{\omega }},\quad 0\leq x<\omega$，這與區間$[0,\omega )$上均勻分佈的累積分佈函式完全相同。

• 因此，機率密度函式為$f_{0}(x)={\frac {1}{\omega }},\quad 0\leq x<\omega$。

練習。 驗證如果死亡力為 $\mu _{x}={\frac {1}{\omega -x}}$ ($0\leq x<\omega$), 則生存分佈 $S_{0}(x)=1-{\frac {x}{\omega }}$ ($0\leq x<\omega$).

解答

當 $\mu _{x}={\frac {1}{\omega -x}}$ 其中 $0\leq x<\omega$ 時，我們有 $$S_{0}(x)=\exp \left(-\int _{0}^{x}\mu _{t}\,dt\right)=\exp \left(-\int _{0}^{x}{\frac {1}{\omega -t}}\,dt\right)=\exp \left([\ln |\omega -t|]_{0}^{x}\right)=\exp(\underbrace {\ln(\omega -x)} _{\omega -x>0}-\ln \omega )=\exp \left(\ln \left({\frac {\omega -x}{\omega }}\right)\right)=1-{\frac {x}{\omega }}.$$

示例。 證明在德·莫弗死亡率定律下， ${}_{t}p_{x}=S_{x}(t)=1-{\frac {t}{\omega -x}}$（其中 $0\leq x<\omega$), 並在 $t$ 上設定一定的界限。

證明。 在德莫弗死亡率法則下，我們有 $$S_{x}(t)={\frac {S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}}={\frac {1-{\frac {x+t}{\omega }}}{1-{\frac {x}{\omega }}}}={\frac {(\omega -x-t)/\omega }{(\omega -x)/\omega }}=1-{\frac {t}{\omega -x}}$$，其中 $t$ 有一定的範圍。

$\Box$

練習。

1. 因此，證明在德莫弗死亡率法則下 $q_{x}=\mu _{x}$。

解答

證明。 根據上述，我們有 $p_{x}=1-{\frac {1}{\omega -x}}$，在德莫弗死亡率法則下。由此可得 $$q_{x}={\frac {1}{\omega -x}}=\mu _{x}.$$。

$\Box$

2. 上述示例中 $x$ 的範圍是什麼？

解答

$t$ 的範圍由 $0\leq t<\omega -x$ 給出，因為對於 $S_{0}(x+t)$，範圍是 $0\leq x+t<\omega \implies -x\leq t<\omega -x$。但由於 $t$ 代表時間，所以 $t\geq 0$。因此，$t$ 的範圍由 $0\leq t<\omega -x$ 給出。

3. 考慮到上述示例，$T_{x}$ 服從什麼分佈？

解答

從上面的例子中，累積分佈函式 $F_{x}(t)={\frac {t}{\omega -x}},\quad 0\leq t<\omega -x$。因此，$T_{x}$ 服從區間 $[0,\omega -x)$ 上的均勻分佈。

備註.

• 由此可見，當年齡 $x$ 增加時，分佈型別 不變（仍然是均勻分佈），但支撐集的右端點減小。

4. 因此，證明 ${\overset {\circ }{e}}_{x}={\frac {\omega -x}{2}}$。

解答

證明。 由於 $T_{x}$ 服從區間 $[0,\omega -x)$ 上的均勻分佈，因此，其均值 $${\overset {\circ }{e}}_{x}=\mathbb {E} [T_{x}]={\frac {\omega -x}{2}}.$$。

$\Box$

定義。 （Gompertz死亡力定律）Gompertz死亡力定律 的死亡力為 $\mu _{x}=Bc^{x}$，生存分佈為 $S_{0}(x)=\exp \left(-{\frac {B}{\ln c}}(c^{x}-1)\right)$，其中 $B>0,c>1$ 且 $x\geq 0$。

定義。 （Makeham死亡力定律）Makeham死亡力定律 的死亡力為 $\mu _{x}=A+Bc^{x}$，生存分佈為 $S_{0}(x)=\exp \left(-Ax-{\frac {B}{\ln C}}(c^{x}-1)\right)$，其中 $B>0,A\geq -B,c>1$ 且 $x\geq 0$。

備註.

• Makeham死亡力定律是Gompertz死亡力定律的推廣，因為當 $A=0$ 時，這兩個定律完全相同。

定義.（威布林死亡率定律）威布林死亡率定律的力死亡率為$\mu _{x}=kx^{n}$，生存分佈為$S_{0}(x)=\exp \left(-{\frac {kx^{n+1}}{n+1}}\right)$，其中$k\geq 0,n>-1$ 且 $x\geq 0$。

選擇與最終表

當一個人購買保險公司提供的壽險保單時，他需要向保險公司提供一些個人資訊，例如一些關於其健康狀況的資訊。為了決定是否應該向該人出售保單，保險公司會透過承保流程獲取該人提供的資訊。對於承保，承保人會檢查資訊以檢視為該人投保的風險是否合適。

如果沒有承保，人們很可能只會在他們認為自己很快就會去世時（例如，他們患有非常嚴重的疾病）才會購買壽險保單，這樣他們很可能會提前提出索賠。在這種情況下，保險公司可能需要支付大量資金並在短時間內遭受巨大損失，然後破產。這說明了承保的必要性。

基本上，標題部分中的“選擇”源於承保流程，當我們說一個人在$x$歲時被“選擇”時，他是在$x$歲時進行了承保（因此，瞭解有關該個體的最新資訊）。由於在該個人進行承保（或選擇）時，有一些關於該個人的新資訊，因此我們預計他的生存分佈會有一些更新，因此他與死亡率相關的機率也會發生變化。因此，我們需要根據選擇年齡在精算符號中進行一些更改。

在這種精算符號中，我們通常在選擇年齡周圍加上方括號，並且下標中的數字相應地發生變化。例如，如果選擇年齡為 25，則$q_{25}$變為$q_{[25]}$；如果選擇年齡為 12，則$q_{[12]+13}$。

由於當一個人很久以前就進行了承保時，從他進行承保到現在的這段時間裡，他的健康狀況可能會更差（例如，變老並患有一些新的疾病），因此我們直觀地預計，從$x$歲的人進行承保的時間過去的時間越長，該人在未來一年中死亡的可能性就越大。也就是說，$q_{[0]+x}>q_{[1]+x}>\dotsb >q_{[x-1]+1}>q_{[x]}$ 。

選擇年齡對生存分佈的影響，隨著從選擇時間過去的時間推移可能會減弱。超過一定的時間段，比如$r$年，在相同已生存年齡（即選擇年齡加上從選擇到現在過去的時間）但不同選擇年齡下的$q$將非常接近。換句話說，$q_{[x-j]+r+j}\approx q_{[x]+r},\quad 0\leq j\leq x$（對$j$的條件是為了確保左側的選擇年齡$x-j\geq 0$）。這樣的$r$年被稱為選擇期。因為上述$q$將非常接近，所有這些$q$將只寫成$q_{x+r}$，不帶任何方括號（因為選擇的效應基本上“消失了”，所以方括號也消失了）。例如，如果選擇期為2年，則$q_{[10]+2}$和$q_{[5]+7}$都將簡單地寫成$q_{12}$。但是，我們不會將$q_{[15]+1}$和$q_{[16]}$寫成$q_{16}$，因為這兩個$q$由於選擇的影響仍然“相當大”，所以是“相當不同的”。

以下是與生命表相關的一些術語。

• 一個總生命表是一個生命表，其中函式僅針對已生存年齡給出。
• 一個選擇生命表是一個生命表，其中某些函式涉及選擇年齡。
• 一個最終生命表通常作為最後一列附加到選擇生命表中，以反映選擇生命表的設定。以這種方式組合選擇生命表和最終生命表被稱為選擇與最終生命表。

例如，選擇與最終生命表（選擇期為2年）的摘錄可能如下所示

選擇期為2年的選擇與最終生命表

選擇年齡，$x$	$q_{[x]}$	$q_{[x]+1}$	${\cancel {q_{[x]+2}}}q_{x+2}$
0	$q_{[0]}$	$q_{[0]+1}$	$q_{2}$
1	$q_{[1]}$	$q_{[1]+1}$	$q_{3}$
2	$q_{[2]}$	$q_{[2]+1}$	$q_{4}$
...	...	...	...

最後一列是最終表格。我們可以觀察到，對於$q_{x+3},q_{x+4}$等，我們不需要額外的列，因為我們已經可以在“$q_{x+2}$”值的不同行（具有不同的$x$）中獲得這些值。

給定一個選擇與最終表，我們可以基於它進行各種計算。

示例。 給定一個（假設的）選擇與最終生命表的一部分，選擇期為 4 年：$${\begin{array}{ccccccc}x&\ell _{[x]}&\ell _{[x]+1}&\ell _{[x]+2}&\ell _{[x]+3}&\ell _{x+4}\\\hline 13&9910&9905&9890&9855&9800\\14&9820&9800&9790&9750&9730\\15&9750&9700&9685&9650&9620\\\end{array}}$$ 然後，$p_{[13]}={\frac {\ell _{[13]+1}}{\ell _{[13]}}}\approx 0.999495$，$_{2}q_{[14]}=1-{\frac {\ell _{[14]+2}}{\ell _{[14]}}}=1-{\frac {9790}{9820}}\approx 0.010183$，以及$_{6}p_{[13]}={\frac {\ell _{19}}{\ell _{[13]}}}={\frac {9620}{9910}}\approx 0.9707$ （因為選擇期為 4 年）。

練習。

以下哪個（或哪些）機率**無法**從上述選擇與最終生命表中計算得出？

	$_{4}q_{[12]}$
	$_{5}p_{[14]}$
	$p_{[15]}$
	$_{2|3}q_{[15]}$