精算數學基礎/長期保險保障的保費和保單價值計算

學習目標

學員將能夠使用並解釋長期保險保障的保費和保單價值計算過程。

學習成果

學員將能夠

1. 識別與終身壽險、定期壽險和兩全壽險相關的未來損失隨機變數，以及與單人生存的定期年金和終身年金相關的未來損失隨機變數。
2. 根據等價原則、投資組合百分位數原則以及給定的預期利潤現值，計算第1點中所列保單的保費。
3. 計算並解釋第1點中所列保單的總保費、淨保費和修正淨保費保單價值。
4. 計算基礎假設（例如，死亡率和利率）變化的影響。
5. 應用以下方法對額外風險進行建模：年齡分級；死亡力恆定加成；死亡率恆定倍數。

簡介

精算師主要有兩個工作角色，即

• 定價（計算保費：保險產品的價格）和
• 估值或準備金（計算保單價值或準備金，這兩者實際上是一回事）

本章討論的兩個主要主題（保費和準備金（或保單價值））與這兩個工作角色直接相關。

保費

在上一章中，我們學習了保險和終身年金，以及它們的精算現值。現在，這些想法將被結合起來，在這裡計算保費。直觀上，似乎我們可以簡單地將保險/年金的精算現值設定為其價格，這需要被保險人/年金領取人在其簽發時支付。然而，在實踐中，產品是分期購買的，而不是僅僅在簽發時（時間0）一次性支付（如果是這種情況，我們將保費稱為在時間0支付的淨單一保費）。更具體地說，我們通常使用保費的年金來購買保險產品。

練習。事實上，時間0的淨單一保費是一種保費年金。這是什麼型別的年金？

解答

1年期預付年金。

現在，為了實際計算保費，我們需要有一些規則或原則來定義計算方法。否則，不同的人可能對如何計算保費有不同的意見。當然，在現實中，保險產品的保費不僅僅是由一個原則來計算的。計算過程比我們這裡討論的複雜得多，因為在實踐中有很多因素會影響保費，而且來自不同利益相關者的意見也需要考慮。因此，在實踐中設定“正確”的保費並非易事。因此，需要定價精算師來計算保費。

在說明計算保費的原則之前，讓我們定義一個術語，它是計算保費的基礎，即保險公司的損失。

定義。（保險公司的損失）在保單簽發時（時間0），保險公司的損失，表示為$L_{0}$，是支付利益的現值隨機變數（p.v.r.v.），減去收到的保費年金的p.v.r.v.。

備註。

• 除了利益和保費外，保險公司的損失還應考慮費用。但是，為了簡單起見，我們目前暫時忽略費用。在後面的章節中，我們將討論費用帶來的影響。

• 如果計算保費未考慮費用，則稱為淨保費。否則，稱為總保費。

從符號上，我們可以寫成$$L_{0}=Z-PY$$，其中$Z$是賠付的現值準備金，而$PY$是保費年金的現值準備金（$Y$是單位支付終身年金的現值準備金，$P$是終身年金中每次支付的保費金額）。然後，基於$L_{0}$，我們可以引入各種計算保費的原則。直觀地說，保險公司應該避免虧損，因此不希望$L_{0}$為正。這是以下原則的主要思想。

定義。（投資組合百分位數原則）投資組合百分位數原則建議，應設定保費金額，使得機率$\mathbb {P} (L_{0}>0)\leq \alpha$，其中$\alpha$是百分位數。

練習。從保險公司的角度來看，擁有較大的$\alpha$還是較小的$\alpha$更理想？簡要說明。

解答

擁有較小的$\alpha$更理想，因為擁有較小的$\alpha$意味著保險公司發生正損失的機率較小。

在投資組合百分位數原則中，即使發生正損失的機率非常小，損失的規模也沒有被考慮。例如，發生1萬億美元損失的機率為0.01，應該比發生100美元損失的機率為0.5更成問題，對吧？這表明，除了發生正損失的機率之外，損失的規模也很重要。當規模和機率都涉及時，您認為會怎樣呢？

定義。（等價原則）等價原則建議，應設定保費金額，使得$\mathbb {E} [L_{0}]=0$。

備註。

• 在某種意義上，這個定義類似於股票和債券的“公平價格”，價格的設定使得所有相關支付的現值之和為零。
• 根據這一原則，保費的精算現值（$\mathbb {E} [PY]$）與賠付的精算現值（$\mathbb {E} [Z]$）相同，因此保費（投保人的財務義務）和賠付（保險公司的財務義務）可以被認為是“等價的”。換句話說，保險公司在接受風險（允許購買）和不接受風險（不允許購買）之間應該是無差異的。

由於在等價原則下，保費的計算非常簡單，因此在以下內容中，除非另有說明，否則將使用它來計算保費。

正如我們之前提到的，這裡應用了與保險和終身年金相關的概念來計算保費。因此，在購買保險和終身年金的保費計算中，沒有太多“新”的概念。

完全連續保費

首先，讓我們考慮購買一份給付1的終身壽險的保費，該保費在死亡瞬間給付，簽發給年齡為$x$的人。除非另有說明，否則我們將假設保費將以與保險產品相同的繳費方式支付。在本例中，保費的繳費方式為連續支付，因為保險的給付是連續支付的。

因此，我們已經提到了如何確定繳費方式。那麼期限如何確定呢？當然，當被保險人/年金領取人死亡時，繳費必須停止（對已故人士繼續繳納保費毫無意義，對吧？）。但是，如果在保險產品的條款中有所規定，則繳費也可能在被保險人/年金領取人死亡之前停止。例如，對於終身壽險，保費可能僅在保單簽發後的前10年內支付。

在這種情況下，保險公司的損失為$$L_{0}=v^{T}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},\quad T>0$$，其中${\bar {P}}$是連續水平年度保費。根據等價原則，我們有$$\mathbb {E} [L_{0}]=0\implies {\bar {A}}_{x}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{x}=0\implies {\bar {P}}={\frac {{\bar {A}}_{x}}{{\bar {a}}_{x}}}.$$在這種情況下，保費${\bar {P}}$可以用${\bar {P}}({\bar {A}}_{x})$表示（該符號表示此保費對應於連續終身壽險）。

練習。用以下表示${\bar {P}}({\bar {A}}_{x})$

(a) 僅${\bar {A}}_{x}$；

(b) 僅${\bar {a}}_{x}$。

(提示：考慮${\bar {A}}_{x}$和${\bar {a}}_{x}$之間的關係。)

解答

(a) $${\bar {P}}({\bar {A}}_{x})={\frac {{\bar {A}}_{x}}{{\bar {a}}_{x}}}={\frac {\delta {\bar {A}}_{x}}{1-{\bar {A}}_{x}}}.$$ (b) $${\bar {P}}({\bar {A}}_{x})={\frac {{\bar {A}}_{x}}{{\bar {a}}_{x}}}={\frac {1-\delta {\bar {a}}_{x}}{{\bar {a}}_{x}}}.$$

示例。 一份終身壽險，保險金為10000，在死亡時刻支付，簽發給30歲的人。假設恆定利率為0.08，且人的死亡率服從德莫佛定律，其中$\omega =100$。支付連續的水平年保費${\bar {P}}$來購買這份保險。計算${\bar {P}}$。

解。在本例中，由於計算${\bar {A}}_{30}$比計算${\bar {a}}_{30}$更方便，我們將只計算${\bar {A}}_{30}$，然後將${\bar {a}}_{30}$與${\bar {A}}_{30}$關聯起來，用於計算${\bar {P}}$。

現在，我們有$${\bar {A}}_{x}=\int _{0}^{70}e^{-0.08t}\cdot {\frac {1}{100}}\,dt={\frac {1}{100(-0.08)}}\left[e^{-0.08t}\right]_{0}^{70}\approx 0.1245.$$ 因此，根據等價原理，我們有$${\bar {P}}={\frac {10000{\bar {A}}_{x}}{{\bar {a}}_{x}}}={\frac {10000\delta {\bar {A}}_{x}}{1-{\bar {A}}_{x}}}\approx {\frac {800(0.1245)}{1-0.1245}}\approx 113.803.$$

練習。假設德莫弗定律中的極限年齡增加到$\omega =120$。再次計算${\bar {P}}$。

解答

在這種情況下，我們有${\bar {A}}_{x}=\int _{0}^{90}e^{-0.08t}\cdot {\frac {1}{120}}\,dt={\frac {1}{120(-0.08)}}\left[e^{-0.08t}\right]_{0}^{90}\approx 0.1041$。因此，根據等價原理，我們有$${\bar {P}}\approx {\frac {800(0.1041)}{1-0.1041}}\approx 92.9457.$$

如果賠付金額增加100倍，保費${\bar {P}}$也會增加100倍嗎？

	是。
	否。

對於其他型別的保險產品，年保費${\bar {P}}$的公式類似。因此，其中一些總結在下表中。

總結

保險產品名稱	$Z$	$Y$	$L_{0}=Z-{\bar {P}}Y$	${\bar {P}}={\frac {\mathbb {E} [Z]}{\mathbb {E} [Y]}}$
終身壽險	$v^{T},\quad T\geq 0$	${\bar {a}}_{{\overline {T}}|},\quad T\geq 0$	$v^{T}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},\quad T\geq 0$	${\bar {P}}({\bar {A}}_{x})={\frac {{\bar {A}}_{x}}{{\bar {a}}_{x}}}$.
$n$年期定期壽險	${\begin{cases}v^{T},&T\leq n;\\0,&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq n;\\{\bar {a}}_{{\overline {n}}|},&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}v^{T}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq n;\\-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {n}}|},&T>n\end{cases}}$	${\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1})={\frac {{\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}}{{\bar {a}}_{x:{\overline {n}}|}}}$
$n$年期兩全保險	${\begin{cases}v^{T},&T\leq n;\\v^{n},&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq n;\\{\bar {a}}_{{\overline {n}}|},&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}v^{T}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq n;\\v^{n}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {n}}|},&T>n\end{cases}}$	${\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\frac {{\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}}{{\bar {a}}_{x:{\overline {n}}|}}}$
n年期純保險	${\begin{cases}0,&T\leq n;\\v^{n},&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq n;\\{\bar {a}}_{{\overline {n}}|},&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq n;\\v^{n}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {n}}|},&T>n\end{cases}}$	${\bar {P}}(A_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;1})={\frac {A_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;1}}{{\bar {a}}_{x:{\overline {n}}|}}}$ 或 ${\bar {P}}({}_{n}E_{x})={\frac {{}_{n}E_{x}}{{\bar {a}}_{x:{\overline {n}}|}}}$
h年繳費終身保險	$v^{T},\quad T\geq 0$	${\begin{cases}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq h;\\{\bar {a}}_{{\overline {h}}|},&T>h\end{cases}}$	${\begin{cases}v^{T}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq h;\\v^{T}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {h}}|},&T>h\end{cases}}$	$_{h}{\bar {P}}({\bar {A}}_{x})={\frac {{\bar {A}}_{x}}{{\bar {a}}_{x:{\overline {h}}|}}}$
$h$ 年繳付 $n$ 年期壽險（$h<n$）	${\begin{cases}v^{T},&T\leq h;\\v^{T},&h<T\leq n;\\0,&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq h;\\{\bar {a}}_{{\overline {h}}|},&h<T\leq n;\\{\bar {a}}_{{\overline {h}}|},&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}v^{T}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq h;\\v^{T}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {h}}|},&h<T\leq n;\\-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {h}}|},&T>n\end{cases}}$	$_{h}{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\frac {{\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}}{{\bar {a}}_{x:{\overline {h}}|}}}$
h年繳費 n年期兩全保險 ($h<n$)	${\begin{cases}v^{T},&T\leq h;\\v^{T},&h<T\leq n;\\v^{n},&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq h;\\{\bar {a}}_{{\overline {h}}|},&h<T\leq n;\\{\bar {a}}_{{\overline {h}}|},&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}v^{T}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq h;\\v^{T}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {h}}|},&h<T\leq n;\\v^{n}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {h}}|},&T>n\end{cases}}$	$_{h}{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\frac {{\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}}{{\bar {a}}_{x:{\overline {h}}|}}}$
n年延遲終身年金	${\begin{cases}0,&T\leq n;\\{\bar {a}}_{{\overline {T-n}}|},&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq n;\\{\bar {a}}_{{\overline {n}}|},&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq n;\\{\bar {a}}_{{\overline {T-n}}|}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {n}}|},&T>n\end{cases}}$	${\bar {P}}({}_{n|}{\bar {a}}_{x})={\frac {{}_{n|}{\bar {a}}_{x}}{{\bar {a}}_{x:{\overline {n}}|}}}={\frac {{}_{n}E_{x}{\bar {a}}_{x+n}}{{\bar {a}}_{x:{\overline {n}}|}}}$

備註。

• 對於 $h$ 年繳費的 $n$ 年期保險，我們有 $h<n$，因為保險公司通常只允許被保險人在保險期限內（$n$ 年）支付保費，並且被保險人通常不能使用 超過 $n$ 年來支付保費。
• 對於 $n$ 年延遲終身年金，保費的支付期限最長只能為 $n$ 年（延遲期）（當然，類似地，支付期限也可以只有，比如 $h<n$ 年），因為同時從終身年金領取款項並支付保費是沒有意義的。

完全離散保費

現在，讓我們考慮 離散 保險產品，其中保費也是離散地而不是連續地支付。但是，這裡的一個區別是保費的 支付方式 與保險產品的支付方式 不完全 相同。特別是，我們假設除非另有說明，否則保費總是在每年 年初 支付。因此，保費形成一個 期初年金。

首先，讓我們考慮終身壽險的例子，其給付為1，在死亡年份結束時支付。那麼，保險公司的損失為$$v^{K+1}-P{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|}$$，其中$P$ 是水平年度保費。根據等價原則，我們有$$\mathbb {E} [L_{0}]=0\implies A_{x}-P{\ddot {a}}_{x}=0\implies P={\frac {A_{x}}{{\ddot {a}}_{x}}}.$$在這種情況下，我們將保費$P$表示為$P_{x}$，其符號與$A_{x}$的符號“形式相同”。對於其他型別的保險產品，保費公式的推導方式類似。下面總結了一些公式。

總結

保險產品名稱	$Z$	$Y$	$L_{0}=Z-PY$	$P={\frac {\mathbb {E} [Z]}{\mathbb {E} [Y]}}$
終身壽險	$v^{K+1},\quad K=0,1,\dotsc$	${\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},\quad K=0,1,\dotsc$	$v^{K+1}-P{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},\quad K=0,1,\dotsc$	$P_{x}={\frac {A_{x}}{{\ddot {a}}_{x}}}$.
$n$年期定期壽險	${\begin{cases}v^{K+1},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\0,&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}v^{K+1}-P{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\-P{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	$P_{x:{\overline {n}}|}^{1}={\frac {A_{x:{\overline {n}}|}^{1}}{{\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|}}}$
$n$年期兩全保險	${\begin{cases}v^{K+1},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\v^{n},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}v^{K+1}-P{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\v^{n}-P{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	$P_{x:{\overline {n}}|}={\frac {A_{x:{\overline {n}}|}}{{\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|}}}$
n年期純保險	${\begin{cases}0,&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\v^{n},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}-P{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\v^{n}-P{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	$P_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;1}={\frac {A_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;1}}{{\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|}}}$
h年繳費終身保險	$v^{K+1},\quad K=0,1,\dotsc$	${\begin{cases}{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,h-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {h}}|},&K=h,h+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}v^{K+1}-P{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,h-1;\\v^{K+1}-P{\ddot {a}}_{{\overline {h}}|},&K=h,h+1,\dotsc \end{cases}}$	$_{h}P_{x}={\frac {A_{x}}{{\ddot {a}}_{x:{\overline {h}}|}}}$
$h$ 年繳付 $n$ 年期壽險（$h<n$）	${\begin{cases}v^{K+1},&K=0,1,\dotsc ,h-1;\\v^{K+1},&K=h,h+1,\dotsc ,n-1;\\0,&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,h-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {h}}|},&K=h,h+1,\dotsc ,n-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {h}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}v^{K+1}-P{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,h-1;\\v^{K+1}-P{\ddot {a}}_{{\overline {h}}|},&K=h,h+1,\dotsc ,n-1;\\-P{\ddot {a}}_{{\overline {h}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	$_{h}P_{x:{\overline {n}}|}={\frac {A_{x:{\overline {n}}|}^{1}}{{\ddot {a}}_{x:{\overline {h}}|}}}$
h年繳費 n年期兩全保險 ($h<n$)	${\begin{cases}v^{K+1},&K=0,1,\dotsc ,h-1;\\v^{K+1},&K=h,h+1,\dotsc ,n-1;\\v^{n},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,h-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {h}}|},&K=h,h+1,\dotsc ,n-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {h}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}v^{K+1}-P{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,h-1;\\v^{K+1}-P{\ddot {a}}_{{\overline {h}}|},&K=h,h+1,\dotsc ,n-1;\\v^{n}-P{\ddot {a}}_{{\overline {h}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	$_{h}P(A_{x:{\overline {n}}|})={\frac {A_{x:{\overline {n}}|}}{{\ddot {a}}_{x:{\overline {h}}|}}}$
n年延遲終身年金	${\begin{cases}0,&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {K+1-n}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}-P{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {K+1-n}}|}-P{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	$P({}_{n|}{\ddot {a}}_{x})={\frac {{}_{n}E_{x}{\ddot {a}}_{x+n}}{{\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|}}}$

m月繳付保費

當然，對於上一節中的保險產品，保費無需每年支付。通常，它們可以每保單年度支付$m$次。在這種情況下，我們可以類似地使用等價原理來確定每筆保費的金額。

首先考慮終身壽險，其保險金在死亡年份結束時支付。假設保費以$m$期分期付款，並在每個$m$期開始時支付。在這種情況下，保險人的損失為$$L_{0}=v^{K+1}-P^{(m)}{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|}^{(m)}$$，其中$P^{(m)}$是每年應付的水平年保費，以$m$期分期付款，即在每個$m$期開始時支付的實際保費金額為$P^{(m)}/m$。（這類似於利率的情況，其中$i^{(m)}$是名義年利率，而每個$m$期的實際利率為$i^{(m)}/m$。）根據等價原理，我們可以類似地得到$P^{(m)}={\frac {A_{x}}{{\ddot {a}}_{x}^{(m)}}}$。在這種情況下，我們將$P^{(m)}$表示為$P_{x}^{(m)}$。

以下是其他一些型別的離散保險產品的$P^{(m)}$公式的總結。

我們也可以將這個思路應用到死亡時支付的保險上。例如，當上述終身壽險改為連續支付時，我們有$$L_{0}=v^{T}-P^{(m)}{\ddot {a}}_{\overline {K+1}}^{(m)}.$$ 同樣，根據等價原理，我們有$P^{(m)}={\frac {{\bar {A}}_{x}}{{\ddot {a}}_{x}^{(m)}}}$。在這種情況下，我們將$P^{(m)}$記為$P^{(m)}({\bar {A}}_{x})$。以下是其他一些型別離散保險產品的$P^{(m)}$公式的總結。

當然，除了上述保險產品外，我們還可以將等價原理應用於計算福利變化的保險、其他型別的壽險年金等的保費。此外，保險產品可以是不規則的，保費支付也可以是不規則的。在這些情況下，沒有直接計算保費金額的“公式”。但是，我們始終可以使用等價原理進行計算。

積累型福利

在實踐中，除了保險產品的死亡保險金外，一些已支付的保費在發生死亡時可能會退還。特別是對於$n$年延遲終身壽險年金，如果被保險人在延遲期間死亡，則他將無法從壽險年金本身獲得任何收益。但是，當在延遲期間發生死亡時退還一些已支付的保費時，則被保險人至少會在延遲期間死亡時獲得一些收益。因此，這可能對被保險人更有利（但當然，作為交換，自然可以預期所需的保費會更高）。

對於保費的退還，根據條款的不同，退還金額可能考慮也可能不考慮利息影響。更具體地說，當在某個時間點$t$確定退還的保費金額時，我們可以使用在時間點$t$已支付保費的積累值（可能與用於計算精算現值的利率不同），或者簡單地使用零利率。

在下文中，我們將討論當保費每年（在每年的年初）支付時，這些福利的公式推導，並且退還將在死亡年份的年末進行。當保費連續支付或$m$-thly支付時，退還時間點不同，我們也可以推匯出類似的公式。

首先，讓我們建立一個特定$n$ 年期保險的模型，該保險簽發給年齡為 $x$ 的被保險人，其中保險金為 ${\ddot {s}}_{{\overline {k+1}}|j}$（按利率 $j$ 計算），在第 $k<n$ 年末支付（時間 $k+1$），如果死亡發生在第 $k$ 年（如果在 $n$ 年內未發生死亡，則不支付保險金），然後將此模型應用於保費退還。從圖形上看，情況如下所示。

   *-----*----------------------*
   |     |              |  die  |          ..
  "1"   "1"            "1"  |   v benefit: s k+1|j evaluated at interest rate j
---*-----*-----...------*-------*-----
   0     1     ...      k      k+1
"1": hypothetical "benefits" made at various time points (yet to be realized until death) (they may be interpreted as premiums paid in practice, and then they are not hypothetical in those cases)

現在，讓我們先考慮一些簡單的案例。

案例 1：利率 $j=0$。那麼，保險金為 ${\ddot {s}}_{{\overline {k+1}}|j}=\underbrace {1+1+\dotsb +1} _{k+1{\text{ times}}}=k+1$。

案例 2：利率 $j=i$（$i$ 是用於計算精算現值的利率）。那麼，保險金為 ${\ddot {s}}_{{\overline {k+1}}|j}={\ddot {s}}_{{\overline {k+1}}|i}$。

在案例 1 中，此保險的保費現值準備金的精算現值僅由 $(IA)_{x}$ 給出，方法是考慮 $(IA)_{x}$ 的定義。在案例 2 中，此保險的保費現值準備金的精算現值為 ${\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|i}-{}_{n}E_{x}{\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}$。案例 2 的公式將在本節後面證明。現在，讓我們在下面對這個公式進行直觀的解釋。

確實，當$j=i$時，特殊保險與$n$年期初年金（在最初的$n$年中，如果被保險人每年的年初仍然存活，則獲得1的支付）非常相似，因為在時間$k+1$的價值方面，當死亡發生在第$k+1$年時，特殊保險提供的利益的價值為${\ddot {s}}_{{\overline {k+1}}|i}$。

另一方面，對於$n$年期初年金（假設$k<n$），在時間$k+1$的利益價值也為${\ddot {s}}_{{\overline {k+1}}|i}$（將$k+1$個生存利益累積到時間$k+1$）。因此，特殊保險和期初年金的利益現值相同。但是，我們在過程中做了一個重要的假設：$k<n$，即死亡發生在第$n$年之前。但這不一定是這種情況。人的壽命可以至少持續$n$年，對吧？

因此，我們也需要考慮這種情況。在生存期至少為$n$年的情況下，預付年金提供${\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}$ 的給付，時間為$n$，但特殊保險不會提供任何給付。因此，我們需要從$n$年預付年金的現值${\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|i}$中減去${}_{n}E_{x}{\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}$（該“額外”給付的現值，透過精算折現到時間0獲得）以獲得該特殊保險的純保費儲備的現值。

Now, let us formally define the present value random variable involved in the model of the special insurance: $$Z={\begin{cases}v_{i}^{K+1}{\ddot {s}}_{{\overline {K+1}}|j},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\0,&K=n,n+1,\dotsc .\end{cases}}$$ After that, we can derive a formula for the APV: $${\begin{aligned}\mathbb {E} [Z]&=\sum _{k=0}^{n-1}v_{i}^{k+1}{\ddot {s}}_{{\overline {k+1}}|j}{}_{k}p_{x}{}q_{x+k}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}\left((1+i)^{-(k+1)}\cdot {\frac {(1+j)^{k+1}-1}{d_{j}}}{}{}_{k}p_{x}{}q_{x+k}\right)\\&={\frac {1}{d_{j}}}\sum _{k=0}^{n-1}\left[\left({\frac {1+i}{1+j}}\right)^{-(k+1)}{}{}_{k}p_{x}{}q_{x+k}-v_{i}^{k+1}{}_{k}p_{x}{}q_{x+k}\right]\\&={\frac {1}{d_{j}}}{\Bigg [}\sum _{k=0}^{n-1}{\bigg (}1+\underbrace {\frac {i-j}{1+j}} _{i_{*}}{\bigg )}^{-(k+1)}{}{}_{k}p_{x}{}q_{x+k}-\sum _{k=0}^{n-1}v_{i}^{k+1}{}{}_{k}p_{x}{}q_{x+k}{\Bigg ]}\\&={\frac {1}{d_{j}}}\left[\sum _{k=0}^{n-1}v_{*}^{k+1}{}{}_{k}p_{x}{}q_{x+k}-A_{x:{\overline {n}}|i}^{1}\right]\\&={\frac {1}{d_{j}}}\left[A_{x:{\overline {n}}|i_{*}}^{1}-A_{x:{\overline {n}}|i}^{1}\right].\\\end{aligned}}$$ where $d_{j}$ is the discount rate equivalent to the interest rate $j$, i.e., $d_{j}={\frac {j}{1+j}}$, $v_{*}={\frac {1}{1+i_{*}}}$, and $v_{i}={\frac {1}{1+i}}$ ($i_{*}$ and $i$ are added to the APV notations for insurances so that we can identify which interest rate we are using for evaluating the APV's), assuming $j\neq 0$.

備註。

• 當$j=0$時，此公式失效，因為當$j=0$時，$d_{j}=0$，導致公式給出的值為未定義。然而，正如我們在上面情況1中提到的，當$j=0$時，現值實際上為$(IA)_{x}$，透過考慮$(IA)_{x}$的定義。

透過此公式，我們可以證明上面情況2中的公式（現值為${\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|}-{}_{n}E_{x}{\ddot {s}}_{{\overline {n}}|}$）。

證明。 當 $j=i$，我們有 $i_{*}={\frac {i-j}{1+j}}=0$。因此，特殊保險的APV為（注意 $_{k}p_{x}{}q_{x+k}={}_{k|}q_{x}$) $${\frac {\sum _{k=0}^{n-1}{}_{k|}q_{x}-A_{x:{\overline {n}}|}^{1}}{d}}={\frac {{}_{n}q_{x}-A_{x:{\overline {n}}|}^{1}}{d}}={\frac {1{\color {blue}-{}_{n}p_{x}}-A_{x:{\overline {n}}|}{\color {blue}+v^{n}{}_{n}p_{x}}}{d}}={\frac {1-A_{x:{\overline {n}}|}}{d}}-{\color {blue}v^{n}{}_{n}p_{x}}\cdot {\frac {\color {blue}(1+i)^{n}-1}{d}}={\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|}-{}_{n}E_{x}{\ddot {s}}_{{\overline {n}}|}.$$

$\Box$

納入費用

之前，我們沒有考慮費用。在本節中，我們將討論將費用納入保費計算的情況。如前所述，這樣計算出的保費稱為純保費。為了計算純保費，我們需要將費用納入保險人的損失$L_{0}$中。由於費用由保險人支付，因此費用的現值應加到$L_{0}$中，也就是說，我們現在有$$L_{0}=Z+{\text{p.v.r.v. of expenses}}-PY.$$ 當我們使用等價原理時，我們有$$P\mathbb {E} [Y]=\mathbb {E} [Z]+\mathbb {E} [{\text{p.v.r.v. of expenses}}].$$ 費用可能產生於索賠給付成本、佣金等。

示例。

準備金（或保單價值）

在關於保費的部分，我們經常使用等價原理來計算保費，這需要保險人損失的期望值在保單簽發時（時間0）為零。但是，經過一段時間後，比如在時間$t$，這個期望值可能不再為零了，因為此時"$Z$"和"$Y$"與時間0時的"$Z$"和"$Y$"不同。特別地，時間$t$時的"$Z$"和"$Y$"考慮的是時間$t$之後的給付/賠付，而沒有考慮從時間$0$到時間$t$的給付/賠付。圖形上，它看起來像

 not considered       discount to time t ==> "Y at time t"
   <-------------> <-------->           
   P  P ...      P P P ...  P  benefit <-- discount to time t ==> "Z at time t"
---*---------------*-----------*-------
   0               t           die
   |--------------->        
    Assuming survival to time t

備註。

• 為了使時間為 $t$ 時的 "$Z$" 和 "$Y$" 有意義，投保人應該在時間 $t$ 時仍然存活。否則，保單在時間 $t$ 之前就已經結束，討論時間 $t$ 時的 "$Z$" 和 "$Y$" 就沒有意義了。

我們可能希望期望值在時間 $t$ 時仍然為零，並且為了使保險人的損失 在時間 $t$ 仍然具有零期望值（以便在此時點投保人和保險人的財務義務之間仍然存在等價關係），可能需要一個“平衡專案”。為了確定平衡專案應該是什麼，讓我們考慮以下兩種情況。

1. 保險人損失在時間 $t$ 的期望值為正。這意味著保險人預計保單會出現未來損失（因為未來支付的賠付金預計將大於未來收到的保費）。然後，保險人應該 準備 一定數量的資金，以便保險人能夠“應對”這些損失。
2. 另一方面，如果保險人損失在時間 $t$ 的期望值為負，則這意味著保險人預計保單會出現未來收益。因此，保險人可以為該保單擁有一個“負準備金”（假設），並且仍然能夠應對損失。

備註。

• 對於情況2，“負準備金”可以解釋為可以從保單中“提取”（假設）用於其他用途的一筆資金。

由此我們可以觀察到，在情況1中，保險人應該為該保單準備一定數量的準備金（保險人財務義務增加），而在情況2中，保險人可以假設從保單中提取一筆資金（保險人財務義務減少）。透過這些保險人財務義務的變化，投保人和保險人的財務義務之間仍然可以保持等價關係。

這些導致了以下定義。

定義。（預期淨損失）時間 $t$ 時的 預期淨損失，記為 $L_{t}^{n}$，是 未來 賠付金的現值隨機變數減去 未來 淨保費的現值隨機變數，當投保人在時間 $t$ 時仍然存活 時。

備註。

• 更準確地說，“未來”在這裡指的是“時間 $t$ 之後”。因此，一般來說，時間 $t$ 的支付/賠付不應該包含在預期淨損失中。但是，也存在例外情況（見下文）。

• 在 離散 情況下，時間 $t$ 正好 的支付/賠付 有時 被視為“未來”，並且也包含在預期淨損失中。
• 決策的慣例是，我們應該考慮支付/賠付與時間的哪一部分相關。

• 對於時間 $t$ 的死亡給付，它與時間 $t$ 之前（時間 $t$ 為該年的年末）一年內發生的死亡有關。因此，它不被視為“未來”。
• 對於時間 $t$ 的生存給付（也適用於連續情況），它與至少生存到時間 $t$ 之後的那一刻有關。因此，它被視為“未來”。
• 對於時間 $t$ 的年金給付,

• 如果它來自期初年金，則它與時間 $t$ 之後（時間 $t$ 為該年的年初）一年有關。因此，它被視為“未來”。
• 如果它來自期末年金，則它與時間 $t$ 之前（時間 $t$ 為該年的年末）一年有關。因此，它不被視為“未來”。

• 特別是，由於保費形式為期初年金，因此時間 $t$ 的保費被視為未來保費。

• 只有當被保險人在時間 $t$ 時仍然生存時，時間 $t$ 的預期淨損失才有定義，因為如果該人在時間 $t$ 或之前死亡，則意味著保單已終止，因此考慮預期淨損失毫無意義。
• 當我們將未來費用的現值準備金加到 $L_{t}^{n}$ 中，並同時將淨保費更改為總保費時，它就變成了預期總損失，記為 $L_{t}^{g}$。

• 我們目前將主要關注 $L_{t}^{n}$。 $L_{t}^{g}$ 的結果可以類似地獲得，我們稍後會考慮 $L_{t}^{g}$。

• 注意 $L_{0}^{n}$ 和 $L_{0}^{g}$ 本質上與 $L_{0}$ 分別不考慮費用和考慮費用時的結果相同。
• 對於離散情況，我們通常使用 $k$ 代替 $t$，並且在時間 $k$ 的預期淨損失僅在 $k$ 為非負整數時才定義，這對應於 $K_{x}$ 的支撐。

定義。（準備金）在時間 $t$ 的淨（總）保費準備金 是在時間 $t$ 的預期淨（總）損失的條件期望，前提是投保人在時間 $t$ 時仍然存活。

備註。

• 由於涉及預期淨（總）損失，因此此類準備金也稱為預期準備金。
• 當然，這只是根據等價原則對準備金的一種定義，還有許多其他替代（可能更復雜）的定義。
• “淨（總）保費”表示所涉及的保費（在損失中）是淨（總）保費。
• 由於我們將在後面重點關注淨損失，因此我們可能只使用“準備金”來表示“淨保費準備金”。

象徵性地，如果保單簽發給年齡為 $x$ 的人，則淨保費準備金為 $\mathbb {E} [L_{t}^{n}|T>t]$，而總保費準備金為 $\mathbb {E} [L_{t}^{g}|T>t]$（對於總損失），對於連續情況。（對於離散情況，我們使用“$L_{k}^{n}$” ($L_{k}^{g}$) 和“$K\geq k$”)

備註。

• 實際上，期望中的“$|T>t$” 並非必要，因為只有當 $T>t$ 時，未來淨損失才被定義，因此其支撐集本身就是 $\{T>t\}$。因此，新增此條件不會改變期望值，即 $\mathbb {E} [L_{t}^{n}]=\mathbb {E} [L_{t}^{n}|T>t]$。但是，我們仍然在期望中包含此條件，以更明確地表明我們正在考慮 $T>t$ 的情況，這在某些證明中非常有用（見下文）。

根據定義，要計算條件期望 $\mathbb {E} [L_{t}^{n}|T>t]$，我們需要考慮給定 $T>t$ 時 $L_{t}^{n}$ 的條件分佈。這似乎很複雜。但是，我們可以證明，給定 $T_{x}>t$ 時 $T_{x}-t$（$T_{x}-t$ 給出了相對於 $t$ 的未來生命期，這應該包含在 $L_{t}^{n}$ 中）的條件分佈，實際上與 $T_{x+t}$ 的無條件分佈相同。

證明。 考慮這兩個分佈的生存函式。首先，對於給定$T_{x}>t$時，$T_{x}-t$ 的條件分佈，$$\mathbb {P} (T_{x}-t>s|T_{x}>t)={\frac {\mathbb {P} (T_{x}>s+t)}{\mathbb {P} (T_{x}>t)}}={\frac {\mathbb {P} (T_{0}>x+s+t|T_{0}>x)}{\mathbb {P} (T_{0}>x+t|T_{0}>x)}}={\frac {\mathbb {P} (T_{0}>x+s+t)/\mathbb {P} (T_{0}>x)}{\mathbb {P} (T_{0}>x+t)/\mathbb {P} (T_{0}>x)}}={\frac {\mathbb {P} (T_{0}>x+s+t)}{\mathbb {P} (T_{0}>x+t)}}.$$ 另一方面，對於$T_{x+t}$ 的無條件分佈，$$\mathbb {P} (T_{x+t}>s')=\mathbb {P} (T_{0}>x+s'+t|T_{0}>x+t)={\frac {\mathbb {P} (T_{0}>x+s'+t)}{\mathbb {P} (T_{0}>x+t)}}.$$ 這些表明這兩個分佈的生存函式相同（前提是所有相關的條件機率都是定義的）。因此，這兩個分佈是相同的。

$\Box$

這個結果為我們提供了一種替代且通常更方便的方法來計算條件期望$\mathbb {E} [L_{t}^{n}|T_{x}>t]$

1. 將所有 "$T_{x}-t$" 替換為 "$T_{x+t}$"，並去除條件 "$T_{x}>t$"
2. 計算無條件期望，由於涉及的分佈相同，因此它等於條件期望的值

請注意，我們也可以類似地將其應用於離散情況，其中$K_{x}$ 涉及其中，因為 $K_{x}$ 僅定義為 $\lfloor T_{x}\rfloor$，並且我們可以對計算有一個類似的替代方法。

完全連續準備金

首先，讓我們考慮具有單位給付的終身壽險，這是最簡單的情況。在這種情況下，我們有 $$L_{t}^{n}=v^{T-t}-\underbrace {{\bar {P}}({\bar {A}}_{x})} _{\text{notation}}{\bar {a}}_{{\overline {T-t}}|}.$$ 為了理解這一點，讓我們考慮以下圖表。

        v^{T-t}
           <--------1 future benefit
---*-------*--------*---
   0       t        T
           ^       (die)
   Pa_{T-t}|
           |--------|
               P       future premiums

然後，準備金，記為 $_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})$（“$V$”對應於“保單價值”中的“v”），根據定義是 $\mathbb {E} [L_{t}^{n}|T>t]$。

練習。證明 $_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})={\bar {A}}_{x+t}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\bar {a}}_{x+t}$。（提示：您可以使用替代方法計算條件期望，並寫出 $T_{x}$ 而不是 $T$ 以明確涉及的年齡）

解答

證明。 使用備選方法，我們有 $$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})=\mathbb {E} [L_{t}^{n}|T>t]=\mathbb {E} [v^{\color {blue}T_{x}-t}-{\bar {P}}({\bar {A}}-x){\bar {a}}_{\overline {{\color {blue}T_{x}-t}|}}{\color {blue}|T>t}]=\mathbb {E} [v^{\color {blue}T_{x+t}}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\bar {a}}_{{\overline {\color {blue}T_{x+t}}}|}]=\mathbb {E} [v^{\color {blue}T_{x+t}}]-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x})\mathbb {E} [{\bar {a}}_{{\overline {\color {blue}T_{x+t}}}|}]={\bar {A}}_{x+t}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\bar {a}}_{x+t}.$$

$\Box$

例。 給定恆定的死亡力 $\mu =0.06$ 和恆定的利率力 $\delta =0.04$，計算 $_{10}{\bar {V}}({\bar {A}}_{30})$。

解。首先，我們有 ${\bar {a}}_{x}={\frac {1}{0.06+0.04}}=10$ 和 ${\bar {A}}_{x}={\frac {0.06}{0.06+0.04}}=0.6$。因此， $$_{10}{\bar {V}}({\bar {A}}_{30})={\bar {A}}_{30+10}-{\frac {{\bar {A}}_{30}}{{\bar {a}}_{30}}}\cdot {\bar {a}}_{30+10}=0.6-{\frac {0.6}{10}}(10)=0.$$

練習。 從上面的例子中，我們可以看到準備金以某種方式為零。這僅僅是巧合嗎？在本練習中，你需要確定這一點。證明或證偽（透過舉反例） 在給定恆定死亡力$\mu$和恆定利率力$\delta$的情況下，$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})=0$是否總是成立。

解答

證明。 給定恆定死亡力$\mu$和利率力$\delta$，我們有$$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})={\bar {A}}_{x+t}-{\frac {{\bar {A}}_{x}}{{\bar {a}}_{x}}}\cdot {\bar {a}}_{x+t}={\frac {\mu }{\mu +\delta }}-{\frac {\mu /(\mu +\delta )}{1/(\mu +\delta )}}\cdot {\frac {1}{\mu +\delta }}={\frac {\mu }{\mu +\delta }}-{\frac {\mu }{\mu +\delta }}=0.$$

$\Box$

例子。 假設死亡率遵循de Moivre定律，其中$\omega =100$，並且恆定利率力為4%。計算$_{20}{\bar {V}}({\bar {A}}_{30})$。

解答。首先，我們有

• ${\bar {A}}_{30}={\frac {1}{70}}\int _{0}^{70}e^{-0.04t}\,dt={\frac {1}{70(-0.04)}}[e^{-0.04t}]_{0}^{70}\approx 0.3354$.
• ${\bar {A}}_{50}={\frac {1}{50}}\int _{0}^{50}e^{-0.04t}\,dt={\frac {1}{50(-0.04)}}[e^{-0.04t}]_{0}^{50}\approx 0.4323$.
• ${\bar {a}}_{30}={\frac {1-{\bar {A}}_{30}}{0.04}}\approx 16.615$
• ${\bar {a}}_{50}={\frac {1-{\bar {A}}_{50}}{0.04}}\approx 14.193$

因此，$$_{20}{\bar {V}}({\bar {A}}_{30})={\bar {A}}_{50}-{\frac {{\bar {A}}_{30}}{{\bar {a}}_{30}}}\cdot {\bar {a}}_{50}\approx 0.1458.$$

現在，讓我們考慮期限為$n$年的單位給付定期壽險。在這種情況下，預期淨損失是不同的。

當$t<n$時，$$L_{t}^{n}={\begin{cases}v^{T-t}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}){\bar {a}}_{{\overline {T-t}}|},&0<T-t<n-t;\\-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}){\bar {a}}_{{\overline {T-t}}|},&T-t\geq n-t.\end{cases}}$$當$t=n$時，由於沒有未來的保費或給付，所以$L_{t}^{n}=0$。

當$t>n$時，保險已經結束，因此不再有意義考慮其準備金。（事實上，如果我們遵循我們的定義，對於其他期限有限的保險產品，在時間點$t$之後將不再有保費或給付，則該時間點的準備金必須為零。因此，考慮此類準備金是沒有意義的[2]。）

然後，儲備，表示為$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1})$，是$$\mathbb {E} [L_{t}^{n}|T>t]={\begin{cases}{\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}^{1}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}){\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|},&t<n;\\0,&t=n.\end{cases}}$$（透過考慮替代方法）

對於具有單位給付的$n$年期繳款終身壽險，預期淨損失再次不同。

當$t<n$時，$$L_{t}^{n}={\begin{cases}v^{T-t}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}){\bar {a}}_{{\overline {T-t}}|},&0<T-t<n-t;\\{\color {darkgreen}v^{n-t}}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}){\bar {a}}_{{\overline {T-t}}|},&T-t\geq n-t.\end{cases}}$$ 當$t=n$時，我們有$L_{t}^{n}=1$（在時間$n$僅有一項給付，即單位生存保險金。因此，其價值恰好為1）。然後，儲備，記為$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})$，是$$\mathbb {E} [L_{t}^{n}|T>t]={\begin{cases}{\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|},&t<n;\\1,&t=n.\end{cases}}$$（再次考慮備選方法）

總之，以上保單以及其他一些保單（具有單位保險金）的儲備如下表所示。

總結

保險產品名稱	t 時刻的淨保費儲備$t$
終身壽險	$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})={\bar {A}}_{x+t}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\bar {a}}_{x+t}$
$n$年期定期壽險	$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1})={\begin{cases}{\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}^{1}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}){\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|},&t<n;\\0,&t=n.\end{cases}}$
$n$年期兩全保險	$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\begin{cases}{\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|},&t<n;\\1,&t=n.\end{cases}}$
h年繳費終身保險	$_{t}^{h}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})={\begin{cases}{\bar {A}}_{x+t}-{}_{h}{\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\bar {a}}_{x+t:{\overline {h-t}}|},&t<h;\\{\bar {A}}_{x+t},&t\geq h.\end{cases}}$
$h$ 年繳付 $n$ 年期壽險（$h<n$）
h年繳費 n年期兩全保險 ($h<n$)
n年期純保險	$_{t}{\bar {V}}({}_{n}E_{x})={\begin{cases}{}_{n-t}E_{x+t}-{\bar {P}}({}_{n}E_{x}){\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|},&t<n;\\1,&t=n.\end{cases}}$
n年延遲終身年金	$_{t}{\bar {V}}({}_{n|}{\bar {a}}_{x})={\begin{cases}{}_{n-t|}{\bar {a}}_{x+t}-{\bar {P}}({}_{n|}{\bar {a}}_{x}){\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|},&t\leq n;\\{\bar {a}}_{x+t},&t>n.\end{cases}}$

示例。艾米，30歲，購買一份20年期（連續）兩全保險。已知

• ${\bar {A}}_{30:{\overline {20}}|}=0.2$
• ${\bar {A}}_{30:{\overline {5}}|}^{1}=0.1$
• $_{5}E_{30}=0.3$
• $\delta =0.02$

計算保險在5時刻的保單價值。

解答。讓我們畫一個圖來更清楚地理解情況

      policy value?
          |
          v
---*------*--------------------*----
  30     35                   50

5時刻的保單價值為 ${\bar {A}}_{35:{\overline {15|}}}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{30:{\overline {20}}|}){\bar {a}}_{35:{\overline {15}}|}$。讓我們逐一計算相關的項。

• ${\bar {P}}({\bar {A}}_{30:{\overline {20}}|})={\frac {{\bar {A}}_{30:{\overline {20}}|}}{{\bar {a}}_{30:{\overline {20}}|}}}={\frac {0.2}{(1-0.2)/0.02}}=0.005$
  .

根據遞推關係，我們有$${\bar {A}}_{30:{\overline {20}}|}={\bar {A}}_{30:{\overline {5}}|}^{1}+{}_{5}E_{30}{\bar {A}}_{35:{\overline {15}}|}\implies 0.2=0.1+0.3({\bar {A}}_{35:{\overline {15}}|})\implies {\bar {A}}_{35:{\overline {15}}|}\approx 0.333.$$ 因此，$${\bar {a}}_{35:{\overline {15}}|}={\frac {1-0.333}{0.02}}\approx 33.33.$$。因此，所需的保單價值約為0.166。

練習。 假設該終身壽險的給付僅持續前五年。再次計算第5年的保單價值。

解答

第5年的保單價值為${\bar {A}}_{35:{\overline {15}}|}={\bar {A}}_{35:{\overline {15}}|}\approx 0.333$。

示例。 鮑勃，18歲，購買一份50年延遲的終身年金，以每年100000元的連續方式支付，用於退休。假設恆定的死亡力為0.05，恆定的利率為5%。計算該年金在40歲時的準備金。

解答。準備金為$100000{}_{10|}{\bar {a}}_{58}-100000{\bar {P}}(_{50|}{\bar {a}}_{18}){\bar {a}}_{58:{\overline {10}}|}$。讓我們逐一計算這些項。

• $_{10|}{\bar {a}}_{58}={}_{10}E_{58}{\bar {a}}_{68}=e^{-0.1(10)}\cdot {\frac {1}{0.1}}\approx 3.67879$
• ${\bar {P}}({}_{50|}{\bar {a}}_{18})={\frac {{}_{50}E_{18}{\bar {a}}_{68}}{{\bar {a}}_{18:{\overline {50}}|}}}={\frac {e^{-0.1(50)}\cdot {\frac {1}{0.1}}}{\int _{0}^{50}e^{-0.1t}\,dt}}\approx {\frac {0.067379}{(e^{-0.1(50)}-1)/(-0.1)}}\approx 0.0067837$
• ${\bar {a}}_{58:{\overline {10}}|}=\int _{0}^{10}e^{-0.1t}\,dt={\frac {e^{-0.1(10)}-1}{-0.1}}\approx 6.3212$

因此，準備金為 $100000(3.67879-0.0067837(6.3212))\approx 363590.8876$。

練習。 在時間 50 時，準備金是多少？

解答

準備金為 $100000{\bar {a}}_{68}={\frac {100000}{0.1}}=1000000$。

假設死亡力常數增加到 0.07。再次計算此年金在時間 40 時的準備金。

解答

在這種情況下，我們有

• $_{10|}{\bar {a}}_{58}={}_{10}E_{58}{\bar {a}}_{68}=e^{-0.12(10)}\cdot {\frac {1}{0.12}}\approx 2.50995$
• ${\bar {P}}({}_{50|}{\bar {a}}_{18})={\frac {{}_{50}E_{18}{\bar {a}}_{68}}{{\bar {a}}_{18:{\overline {50}}|}}}={\frac {e^{-0.12(50)}\cdot {\frac {1}{0.12}}}{(e^{-0.12(50)}-1)/(-0.12)}}\approx 0.17256$
• ${\bar {a}}_{58:{\overline {10}}|}=\int _{0}^{10}e^{-0.1t}\,dt={\frac {e^{-0.12(10)}-1}{-0.12}}\approx 5.82338$

因此，準備金為 $100000(2.50995-0.17256(5.82338))\approx 150506.75$，這小於上面例子中的準備金。這很直觀，因為死亡率的增加意味著鮑勃更有可能早逝，因此未來的利益應該更小。

練習。（保費差公式）證明 $_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\big (}{\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|})-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\big )}{\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}$，其中 $t<n$。（“${\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|})-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})$”是保費差，因此得名）

解答

證明。 首先，我們有 $$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}.$$ 因此，只需證明 ${\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}={\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}){\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}$，但這直接由等價原理得出。因此，證明完畢。

$\Box$

練習。 （繳清保險公式）證明 $_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})=\left(1-{\frac {{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})}{{\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|})}}\right){\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}$，其中 $t<n$。（“${\frac {{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})}{{\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|})}}$” 是僅由未來保費資助的未來給付的金額。因此，從給付中減去它得到一種保險，稱為繳清保險，它是如果保單持有人在時間 $t$ 停止繳納保費，保險的“剩餘部分”。)

解答

證明。 首先，我們有 $$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}.$$ 因此，只需證明 ${\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}={\frac {{\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}}{{\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|})}}$。但這直接由等價原理得出。

$\Box$

保費差額和繳清保險公式也可以類似地推廣到其他型別的保單。然而，我們很少直接使用這些公式進行實際計算，因為這些公式可以透過一步推匯出來，因此我們沒有必要使用這些公式。

回想一下，在金融數學中，要確定某個時間點的貸款未償餘額，我們有預期法 和 回顧法。實際上，準備金的定義是預期的。我們能否使用回顧法計算準備金？實際上，存在用於計算保費的回顧公式，如下面的練習所示。

練習。 透過遞推關係，我們有 $${\begin{aligned}{\bar {A}}_{x+s:{\overline {n-s}}|}&={\bar {A}}_{x+s:{\overline {t}}|}^{1}+{}_{t}E_{x+s}\;{\bar {A}}_{x+s+t:{\overline {n-s-t}}|},{\text{ and }}\\{\bar {a}}_{x+s:{\overline {n-s}}|}&={\bar {a}}_{x+s:{\overline {t}}|}+{}_{t}E_{x+s}\;{\bar {a}}_{x+s+t:{\overline {n-s-t}}|}.\\\end{aligned}}$$（$n-s-t>0$，並且$n-s>0$）

(a) 證明 $_{s}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})+{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x+s:{\overline {t}}|}={\bar {A}}_{x+s:{\overline {t}}|}^{\;\;1}+{}_{t}E_{x+s}\;_{s+t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})$（對於滿足上述約束的每個 $n,s,t$）。

公式 (a) 的解釋是，左邊是保險人資源（保單初始準備金加上未來保費）的現值，右邊是保險人義務（未來給付加上保單的最終準備金）的現值。這也是準備金的遞迴關係。

(b) 使用公式 (a) 或其他方法，證明回顧公式： $$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\frac {1}{{}_{t}E_{x}}}{\big (}{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x:{\overline {t}}|}-{\bar {A}}_{x:{\overline {t}}|}^{1}{\big )}.$$（提示：您可以使用 $s$ 的適當值，在 (a) 中將“初始準備金”設定為零。）

這表明，時間 $t$ 時的（預期）準備金等於過去已收保費的現值（未履行義務）減去過去已支付給付的現值（已履行義務），在本例中稱為回顧準備金。實際上，這種等式也適用於其他型別的保單，我們將在稍後證明這一點。

解答

(a)

Proof. First, we have by definition $$_{s}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\bar {A}}_{x+s:{\overline {n-s}}|}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x+s:{\overline {n-s}}|}.$$ Applying the recursion relations, we then get $${\begin{aligned}&&_{s}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})&={\bar {A}}_{x+s:{\overline {t}}|}^{\;\;1}+{}_{t}E_{x+s}\;{\bar {A}}_{x+s+t:{\overline {n-s-t}}|}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})\left({\bar {a}}_{x+s:{\overline {t}}|}+{}_{t}E_{x+s}\;{\bar {a}}_{x+s+t:{\overline {n-s-t}}|}\right)\\&\Rightarrow &_{s}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})+{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x+s:{\overline {t}}|}&={\bar {A}}_{x+s:{\overline {t}}|}^{\;\;1}+{}_{t}E_{x+s}\left({\bar {A}}_{x+{\color {blue}s+t}:{\overline {n-({\color {blue}s+t})}}|}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x+{\color {blue}s+t}:{\overline {n-({\color {blue}s+t})}}|}\right)\\&\Rightarrow &_{s}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})+{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x+s:{\overline {t}}|}&={\bar {A}}_{x+s:{\overline {t}}|}^{\;\;1}+{}_{t}E_{x+s}\;_{\color {blue}s+t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}),\end{aligned}}$$ as desired.

$\Box$

(b)

證明。 在公式(a)中令$s=0$，並觀察到根據等價原理，$_{0}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})=0$，我們有$$_{0}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})+{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x+0:{\overline {t}}|}={\bar {A}}_{x+0:{\overline {t}}|}^{\;\;1}+{}_{t}E_{x+0}\;_{0+t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})\implies {\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x:{\overline {t}}|}={\bar {A}}_{x:{\overline {t}}|}^{1}+{}_{t}E_{x}\;_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})\implies _{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\frac {1}{{}_{t}E_{x}}}{\big (}{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x:{\overline {t}}|}-{\bar {A}}_{x:{\overline {t}}|}^{1}{\big )}.$$

$\Box$

備註。

• 表示式${\frac {{\bar {A}}_{x:{\overline {t}}|}^{1}}{{}_{t}E_{x}}}$被稱為保費積累成本，並用${}_{t}{\bar {k}}_{x}$表示。使用此符號，我們可以將回顧公式改寫為

$$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\frac {1}{{}_{t}E_{x}}}{\big (}{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x:{\overline {t}}|}{\big )}-{}_{t}{\bar {k}}_{x}$$

• 實際上，由於${\bar {s}}_{x:{\overline {t}}|}={\frac {{\bar {a}}_{x:{\overline {t}}|}}{{}_{t}E_{x}}}$，我們可以進一步將公式改寫為

$$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {s}}_{x:{\overline {t}}|}-{}_{t}{\bar {k}}_{x}.$$

• 在離散情況下，${\frac {A_{x:{\overline {t}}|}^{1}}{{}_{t}E_{x}}}$也被稱為保費積累成本，並用${}_{t}k_{x}$表示。

實際上，在這些條件下，預期準備金和回顧準備金的相等性也適用於其他型別的保單。

命題.（預期準備金與回顧準備金的相等性）在以下條件下

1. 保費根據等價原理確定
2. 計算預期準備金、回顧準備金和保費時使用相同的依據（利率、死亡率和費用），

在時間$t$，預期（總保費）準備金和回顧（總保費）準備金（已收保費的現值減去已支付賠付和費用的現值）相等。

證明。 令 $L_{0,t}$ 為從時間 0 到 $t$ 的利益和支出現值準備金之和，減去從時間 0 到 $t$ 的未來保費現值準備金。 那麼，回顧準備金在符號上表示為 $${\frac {-\mathbb {E} [L_{0,t}]}{{}_{t}E_{x}}}.$$ 此外，保險人在保單簽發時的損失為 $$L_{0}=L_{0,t}+v^{t}L_{t}^{g}\mathbf {1} \{T_{x}>t\}.$$ 等式成立是因為所有三個隨機變數都使用相同的基準（$L_{0}$ 的基準與保費的基準相同，因為它們透過等價原理相關）。

然後，根據等價原理，我們有$${\begin{aligned}&&\mathbb {E} [L_{0}]&=0\\&\Rightarrow &\mathbb {E} [L_{0,t}]+v^{t}\mathbb {E} [L_{t}^{g}\mathbf {1} \{T_{x}>t\}]&=0\\&\Rightarrow &\mathbb {E} [L_{0,t}]&=-v^{t}\mathbb {E} [L_{t}^{g}\mathbf {1} \{T_{x}>t\}]\\&\Rightarrow &\mathbb {E} [L_{0,t}]&=-v^{t}\mathbb {P} (T_{x}>t)\mathbb {E} [L_{t}^{g}|T_{x}>t]&({\text{result in probability}})\\&\Rightarrow &\mathbb {E} [L_{0,t}]&=-\underbrace {v^{t}{}_{t}p_{x}} _{{}_{t}E_{x}}\mathbb {E} [L_{t}^{g}|T_{x}>t]\\&\Rightarrow &\underbrace {\frac {-\mathbb {E} [L_{0,t}]}{{}_{t}E_{x}}} _{\text{retrospective}}&=\underbrace {\mathbb {E} [L_{t}^{g}|T_{x}>t]} _{\text{prospective}}.\\\end{aligned}}$$

$\Box$

備註。

• 在實踐中，這些條件不太可能得到滿足。例如，在時間$t$，保險公司可能透過承保等方式獲得了關於保單持有人的一些更新資訊，因此會更新保單持有人的死亡率基礎。在這種情況下，寫$L_{0}=L_{0,t}+v^{t}L_{t}^{g}\mathbf {1} \{T_{x}>t\}$ 是錯誤的，因為$L_{0}$ 是根據時間 0 的基礎確定的，而$L_{t}^{g}$ 是根據時間$t$ 的更新基礎確定的。

• 利率基礎和費用基礎也可能隨時間變化。

• 此外，即使在相同的時間點，由於實踐中的監管規定，用於保費的基礎也可能與用於準備金的基礎不同。
• 但是，在我們這裡的假設下，除非另有說明，否則條件都得到滿足。
• 注意，這個等式對保單本身沒有要求。因此，它適用於連續和離散情況。

示例。 假設

• $_{t}{\bar {k}}_{x}=0.2$;
• $_{t}E_{x}=0.5$;
• ${\bar {A}}_{x+t}=0.6$;
• 利息力為常數，$\delta$。

計算$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})$，使用 (a) 預期方法；(b) 回顧公式。

解答.

(a) First, we have $$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})={\bar {A}}_{x+t}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\bar {a}}_{x+t}={\bar {A}}_{x+t}-{\frac {{\bar {P}}({\bar {A}}_{x})}{\delta }}(1-{\bar {A}}_{x+t}).$$ Since ${\bar {A}}_{x+t}$ is given, it remains to calculate ${\frac {{\bar {P}}({\bar {A}}_{x})}{\delta }}$: $${\frac {{\bar {P}}({\bar {A}}_{x})}{\delta }}={\frac {{\bar {A}}_{x}}{{\bar {a}}_{x}\delta }}={\frac {{\bar {A}}_{x}}{1-{\bar {A}}_{x}}}.$$ Thus, it now remains to calculate ${\bar {A}}_{x}$. Using $_{t}{\bar {k}}_{x}$, we have ${\bar {A}}_{x:{\overline {t}}|}^{1}={}_{t}E_{x}\;_{t}{\bar {k}}_{x}=0.5(0.2)=0.1$. Then, by recursion relation, $${\bar {A}}_{x}={\bar {A}}_{x:{\overline {t}}|}^{1}+{}_{t}E_{x}{\bar {A}}_{x+t}=0.1+(0.5)(0.6)=0.4.$$ It follows that $$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})=0.6-{\frac {0.4}{1-0.4}}(1-0.6)\approx 0.333.$$

(b) 使用回顧公式，我們有$$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})={\frac {1}{{}_{t}E_{x}}}({\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\bar {a}}_{x:{\overline {t}}|})-{}_{t}{\bar {k}}_{x}={\frac {1}{{}_{t}E_{x}}}\left({\bar {P}}({\bar {A}}_{x})\cdot {\frac {1-{\bar {A}}_{x:{\overline {t}}|}}{\delta }}\right)-{}_{t}{\bar {k}}_{x}$$ 從 (a) 中，我們有

• ${\bar {A}}_{x}=0.4$
• ${\frac {{\bar {P}}({\bar {A}}_{x})}{\delta }}={\frac {0.4}{1-0.4}}$

此外，${\bar {A}}_{x:{\overline {t}}|}={\bar {A}}_{x:{\overline {t}}|}^{\;\;1}+{}_{t}E_{x}=0.1+0.5=0.6$。因此，我們有$$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})={\frac {1}{0.5}}\left({\frac {0.4}{1-0.4}}\cdot (1-0.6)\right)-0.2\approx 0.333.$$

備註。

• 請注意，回顧準備金（(b) 的答案）與預期準備金（(a) 的答案）相同。這是預期的，因為它們的相等條件在本例中得到滿足。

練習。假設利息力為常數$\delta$，

(a) 使用“${\bar {a}}$”表示$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})$；

(b) 使用“${\bar {A}}$”表示$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})$；

(c) 使用“${\bar {P}}$”和“$\delta$”表示$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})$；

解答

(a) $$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})={\bar {A}}_{x+t}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\bar {a}}_{x+t}=1-\delta {\bar {a}}_{x+t}-{\frac {1-\delta {\bar {a}}_{x}}{{\bar {a}}_{x}}}\cdot {\bar {a}}_{x+t}.=1-\delta {\bar {a}}_{x+t}-{\frac {{\bar {a}}_{x+t}}{{\bar {a}}_{x}}}+\delta {\bar {a}}_{x+t}=1-{\frac {{\bar {a}}_{x+t}}{{\bar {a}}_{x}}}.$$ (b) $$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x}){\overset {\;(a)\;}{=}}1-{\frac {{\bar {a}}_{x+t}}{{\bar {a}}_{x}}}.=1-{\frac {1-{\bar {A}}_{x+t}}{1-{\bar {A}}_{x}}}={\frac {1-{\bar {A}}_{x}-1+{\bar {A}}_{x+t}}{1-{\bar {A}}_{x}}}={\frac {{\bar {A}}_{x+t}-{\bar {A}}_{x}}{1-{\bar {A}}_{x}}}.$$ (c) First, $$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})={\bar {A}}_{x+t}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\bar {a}}_{x+t}={\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t}){\bar {a}}_{x+t}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\bar {a}}_{x+t}={\big (}{\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t})-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\big )}{\bar {a}}_{x+t}.$$ By equivalence principle, we have $${\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t})={\frac {1-\delta {\bar {a}}_{x+t}}{{\bar {a}}_{x+t}}}\implies {\frac {1}{{\bar {a}}_{x+t}}}-\delta ={\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t})\implies {\bar {a}}_{x+t}={\frac {1}{{\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t})+\delta }}.$$ It follows that $$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})={\frac {{\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t})-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x})}{{\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t})+\delta }}.$$

完全離散準備金

類似於連續準備金的情況，我們通常使用“替代方法”來計算離散準備金（即$\mathbb {E} [L_{k}^{n}|K_{x}\geq k]$）：在給定$K_{x}\geq k$的條件下，$K_{x}-k$的條件分佈與$K_{x+k}$（$k$是非負整數）的無條件分佈相同。

證明。 考慮這兩個分佈的生存函式。首先，對於給定$K_{x}\geq k$時，$K_{x}-k$ 的條件分佈，$$\mathbb {P} (K_{x}-k\geq m|K_{x}\geq k)={\frac {\mathbb {P} (K_{x}\geq k+m)}{\mathbb {P} (K_{x}\geq k)}}={\frac {\mathbb {P} (T_{x}\geq \lfloor k+m\rfloor )}{\mathbb {P} (T_{x}\geq \lfloor k\rfloor )}}={\frac {\mathbb {P} (T_{x}\geq k+m)}{\mathbb {P} (T_{x}\geq k)}}.$$（$m$ 和 $k$ 為整數）。對於$K_{x+k}$ 的無條件分佈，$$\mathbb {P} (K_{x+k}\geq m')=\mathbb {P} (T_{x+k}\geq \lfloor m'\rfloor )=\mathbb {P} (T_{x+k}\geq m')=\mathbb {P} (T_{x}\geq k+m'|T_{x}\geq k)={\frac {\mathbb {P} (T_{x}\geq k+m')}{\mathbb {P} (T_{x}\geq k)}}.$$（$m'$ 和 $k$ 為整數）。這些表明這兩個分佈是相同的。

$\Box$

類似地，這個結果為我們提供了一種替代且通常更方便的方法來計算條件期望$\mathbb {E} [L_{k}^{n}|K_{x}\geq k]$

1. 將所有“$K_{x}-k$”替換為“$K_{x+k}$”，並刪除條件“$K_{x}\geq k$”。
2. 計算無條件期望，由於涉及的分佈相同，因此它等於條件期望的值

首先考慮終身壽險。我們有$$L_{k}^{n}=v^{K-k+1}-P_{x}{\ddot {a}}_{{\overline {K-k+1}}|}.$$ 因此，儲備金，記為$_{k}V_{x}$，為$$\mathbb {E} [L_{k}^{n}|K_{x}\geq k]=\mathbb {E} [v^{{\color {blue}K_{x}-k}+1}-P_{x}{\ddot {a}}_{{\overline {{\color {blue}K_{x}-k}+1}}|}{\color {blue}|K_{x}\geq k}]=\mathbb {E} [v^{K_{x+k}+1}]-P_{x}\mathbb {E} [{\ddot {a}}_{{\overline {K_{x+k}+1}}|}]=A_{x+k}-P_{x}{\ddot {a}}_{x+k}.$$

練習。證明$\operatorname {Var} (L_{k}^{n}|K_{x}\geq k)=\left(1+{\frac {P_{x}}{d}}\right)^{2}{\big (}{}^{2}A_{x+k}-(A_{x+k})^{2}{\big )}$。（提示：注意$^{2}A_{x+k}-(A_{x+k})^{2}$是單位給付、簽發給$(x+k)$的離散終身壽險的現值隨機變數的方差）。

解答

證明。 首先，我們有 $$L_{k}^{n}=v^{K-k+1}-P_{x}{\ddot {a}}_{{\overline {K-k+1}}|}=v^{K-k+1}-P_{x}\left({\frac {1-v^{K-k+1}}{d}}\right)=\left(1+{\frac {P_{x}}{d}}\right)v^{K-k+1}-{\frac {P_{x}}{d}}.$$ 因此， $$\operatorname {Var} (L_{k}^{n}|K_{x}\geq k)=\left(1+{\frac {P_{x}}{d}}\right)^{2}\operatorname {Var} (v^{K_{x}-k+1}|K_{x}\geq k)=\left(1+{\frac {P_{x}}{d}}\right)^{2}\operatorname {Var} (v^{K_{x+k}+1})=\left(1+{\frac {P_{x}}{d}}\right)^{2}{\big (}{}^{2}A_{x+k}-(A_{x+k})^{2}{\big )}$$

$\Box$

我們可以為其他型別的保單制定公式，下面表格總結了準備金的公式。

總結

保險產品名稱	第 $k$ 時刻的淨保費準備金
終身壽險	$_{k}V_{x}=A_{x+k}-P_{x}{\ddot {a}}_{x+k}$
$n$年期定期壽險	${\displaystyle _{k}V_{x:{\overline {n}}|}^{1}={\begin{cases}A_{x+k:{\overline {n-k}}|}^{1}-P(A_{x:{\overline {n}}|}^{1}){\ddot {a}}_{x+k:{\overline {n-k}}|},&k$
$n$年期兩全保險	$_{k}V_{x:{\overline {n}}|}={\begin{cases}A_{x+k:{\overline {n-k}}|}-P(A_{x:{\overline {n}}|}){\ddot {a}}_{x+k:{\overline {n-k}}|},&k<n;\\1,&k=n.\end{cases}}$
h年繳費終身保險	$_{k}^{h}V_{x}={\begin{cases}A_{x+k}-{}_{h}P(A_{x}){\ddot {a}}_{x+k:{\overline {h-k}}|},&k<h;\\A_{x+k},&k\geq h.\end{cases}}$
$h$ 年繳付 $n$ 年期壽險（$h<n$）	$_{k}^{h}V_{x:{\overline {n}}|}^{1}={\begin{cases}A_{x+k:{\overline {n-k}}|}^{1}-{}_{h}P(A_{x:{\overline {n}}|}^{1}){\ddot {a}}_{x+k:{\overline {h-k}}|},&k<h;\\A_{x+k:{\overline {n-k}}|}^{1},&h\leq k<n;\\0,&k=n.\end{cases}}$
h年繳費 n年期兩全保險 ($h<n$)	$_{k}^{h}V_{x:{\overline {n}}|}={\begin{cases}A_{x+k:{\overline {n-k}}|}-{}_{h}P(A_{x:{\overline {n}}|}){\ddot {a}}_{x+k:{\overline {h-k}}|},&k<h;\\A_{x+k:{\overline {n-k}}|},&h\leq k<n;\\1,&k=n.\end{cases}}$
n年期純保險	$_{k}V_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;1}={\begin{cases}{}_{n-k}E_{x+k}-P({}_{n}E_{x}){\ddot {a}}_{x+k:{\overline {n-k}}|},&k<n;\\1,&k=n.\end{cases}}$
n年延遲終身年金	$_{k}V({}_{n|}{\ddot {a}}_{x})={\begin{cases}{}_{n-k|}{\ddot {a}}_{x+k}-P({}_{n|}{\ddot {a}}_{x}){\ddot {a}}_{x+t:{\overline {n-k}}|},&k\leq n;\\{\ddot {a}}_{x+k},&k>n.\end{cases}}$

備註。

• 對於$n$ 年期定期壽險，在時間 $n$ 的淨保費準備金為 0，因為沒有未來的保費或給付（最後一筆保費在時間 $n-1$ 支付），並且由於條件是生存 $n$ 年，所以沒有死亡給付。
• 對於$n$ 年期兩全保險，在時間 $n$ 只有生存給付 1。

例： 對於一份給定年齡為 30 歲的人的離散終身壽險，已知

• $i=0.06$
• $A_{[30]}=0.07316$
• $A_{[40]}=0.12296$
• $A_{30}=0.07328$
• $A_{40}=0.12313$
• 選擇期為 2 年

計算選擇年齡為 30 歲時，保險在第 10 年的保單價值 $_{10}V_{[30]}$。

解法。首先，我們有 $d={\frac {i}{1+i}}={\frac {0.06}{1.06}}\approx 0.0566$。因此，保單價值為 $$A_{[30]+10}-P_{[30]}{\ddot {a}}_{[30]+10}=A_{40}-{\frac {A_{[30]}}{{\ddot {a}}_{[30]}}}\cdot {\ddot {a}}_{40}=0.12313-{\frac {0.07316}{(1-0.07316)/0.0566}}\cdot {\frac {1-0.12313}{0.0566}}\approx 0.053914.$$

練習。 計算無優選時的保單價值，即 $_{10}V_{30}$.

解答

保單價值為 $$A_{40}-{\frac {A_{30}}{{\ddot {a}}_{30}}}\cdot {\ddot {a}}_{40}=0.12313-{\frac {0.07328}{(1-0.07328)/0.0566}}\cdot {\frac {1-0.12313}{0.0566}}\approx 0.05379.$$

示例。 寫出35年期兩全保險在30歲投保時，第20年的（a）預計；（b）回顧淨保費準備金的表示式。

解答.

(a) $A_{50:{\overline {15}}|}-P_{30:{\overline {35}}|}{\ddot {a}}_{50:{\overline {15}}|}$.

(b) ${\frac {1}{{}_{20}E_{30}}}(P_{30:{\overline {35}}|}{\ddot {a}}_{30:{\overline {20}}|})-{}_{20}k_{30}$.

備註。

• $_{20}k_{30}={\frac {A_{30:{\overline {20}}|}^{1}}{{}_{20}E_{30}}}$ 是保險的累積成本。

• 表示式 (b) 也可以寫成$P_{30:{\overline {35}}|}{\ddot {s}}_{30:{\overline {20}}|}-{}_{20}k_{30}$，因為${\ddot {s}}_{30:{\overline {20}}|}={\frac {{\ddot {a}}_{30:{\overline {20}}|}}{{}_{20}E_{30}}}$。

我們也可以類似地推匯出離散年金保險的保費差公式和繳清保險公式。

練習.（保費差公式）證明$_{k}V_{x:{\overline {n}}|}=(P_{x+k:{\overline {n-k}}|}-P_{x:{\overline {n}}|}){\ddot {a}}_{x+k:{\overline {n-k}}|}$，其中$k<n$。

解答

證明. 首先，$$_{k}V_{x:{\overline {n}}|}=A_{x+k:{\overline {n-k}}|}-P_{x:n|}{\ddot {a}}_{x+k:{\overline {n-k}}|}.$$然後，結果由等價原理得出：$A_{x+k:{\overline {n-k}}|}=P_{x+k:{\overline {n-k}}|}{\ddot {a}}_{x+k:{\overline {n-k}}|}$。

$\Box$

練習.（繳清保險公式）證明$_{k}V_{x:{\overline {n}}|}=\left(1-{\frac {P_{x:{\overline {n}}|}}{P_{x+k:{\overline {n-k}}|}}}\right)A_{x+k:{\overline {n-k}}|}$，其中$k<n$。

解答

證明。 首先，$$_{k}V_{x:{\overline {n}}|}=A_{x+k:{\overline {n-k}}|}-P_{x:{\overline {n}}|}{\ddot {a}}_{x+k:{\overline {n-k}}|}.$$然後，結果由等價原理得出：${\ddot {a}}_{x+k:{\overline {n-k}}|}={\frac {A_{x+k:{\overline {n-k}}|}}{P_{x+k:{\overline {n-k}}|}}}$。

$\Box$

我們可以為離散保險開發一個遞迴關係。

命題。 令$P_{t}$ 為在時間 $t$ 支付的保費，$b_{t}$ 為如果死亡發生在第 $t$ 年在時間 $t$ 支付的死亡給付，並且 $_{k}V$ 為在時間 $k$ 的離散保險的淨保費保單價值。那麼，我們有$$_{k}V=vp_{x+k}\;_{k+1}V+vq_{x+k}b_{k+1}-P_{k}.$$

備註。

• 此處的遞迴公式是向後的，即它用 $_{k+1}V$ 表示 $_{k}V$。但有時需要向前遞迴，因此向前遞迴公式更方便。我們可以將上述公式改寫為向前遞迴公式。

$$_{k+1}V={\frac {_{k}V+P_{k}-vq_{x+k}b_{k+1}}{vp_{x+k}}}.$$

證明。 將時間$k$時的預期淨損失$L_{k}^{n}$分成兩部分（即$L_{k}^{n}$是這兩部分的和）

1. 時間$k+1$的給付現值準備金儲備減去時間$k$的保費現值準備金儲備（記為$A$）
2. 時間$k+2,k+3,\dotsc$的給付現值準備金儲備減去時間$k+1,k+2,\dotsc$的保費現值準備金儲備（記為$B$）

Thus, we have $$L_{k}^{n}=A+B.$$ Taking expectation, we have $$_{k}V=\mathbb {E} [A]+\mathbb {E} [B].$$ First, $\mathbb {E} [A]=vq_{x+k}b_{k+1}-P_{k}$. Second, to be more explicit about the condition incorporated in $L_{k}^{n}$, we can write $\mathbb {E} [B|K_{x}\geq k]$ in place of $\mathbb {E} [B]$: $${\begin{aligned}\mathbb {E} [B|K_{x}\geq k]&={\frac {\mathbb {E} [B\mathbf {1} \{K_{x}\geq k\}]}{\mathbb {P} (K_{x}\geq k)}}\\&={\frac {\mathbb {E} [B\mathbf {1} \{K_{x}\geq k+1\}]}{\mathbb {P} (K_{x}\geq k)}}&({\text{the first term in }}B{\text{ is at time }}k+1,{\text{so the change does not affect the expectation}})\\&={\frac {\mathbb {E} [B\mathbf {1} \{K_{x}\geq k+1\}]}{\mathbb {P} (K_{x}\geq k+1)}}\cdot {\frac {\mathbb {P} (K_{x}\geq k+1)}{\mathbb {P} (K_{x}\geq k)}}\\&=\mathbb {E} [B|K_{x}\geq k+1]\cdot \mathbb {P} (K_{x}\geq k+1|K_{x}\geq k)\\&=p_{x+k}\mathbb {E} [B|K_{x}\geq k+1]\\&=p_{x+k}\mathbb {E} [vL_{k+1}^{n}|K_{x}\geq k+1]\\&=vp_{x+k}\mathbb {E} [L_{k+1}^{n}|K_{x}\geq k+1]\\&=vp_{x+k}\;_{k+1}V.\\\end{aligned}}$$ The result follows.

$\Box$

為了更直觀地解釋證明，請考慮以下圖表

                                                                       
                                                                            *
                  |-------------------- ...                                  \
                  |         b ... b ...                                       \
                  |P_{k+1}  P ... P ...     <==== covered by _{k+1} V          *    covered by _k V
                  |------------------- ....                                   /
    P_k          b_{k+1} <=== not covered by _{k+1}V                         *
    _k V        _{k+1} V                                                     
-----*------------*----------------------
     k           k+1                   time

• 考慮時間$k$的保單價值：$_{k}V$。它是未來給付的現值準備金儲備減去未來保費的現值準備金儲備。
• 我們可以將未來給付和未來保費分成兩部分

1. 時間$k+1$的給付和時間$k$的保費
2. 時間$k+2,k+3,\dotsc$的給付和時間$k+1,k+2,\dotsc$的保費

• 對於第二部分，它們包含在時間$k+1$的保單價值$_{k+1}V$中。但當然，時間$k+1$的保單價值給出了時間$k+1$的價值，而不是時間$k$的價值（這是我們想要的）。因此，我們需要將$_{k+1}V$按精算折現回時間$k$（乘以$vp_{x}$）。
• 為了合併第一部分，我們在時間$k+1$新增死亡給付的淨現值($vb_{k+1}q_{x+k}$)，然後減去時間$k$的保費($P_{k}$）。

示例。 向年齡為$x$的人壽保險簽發一份1,000,000的定期終身壽險，保費在保單簽發後的前20年年初支付。已知

• $i=0.05$
• 第18年的保單價值為$_{18}V=351200$。
• $q_{x+18}=0.012$
• $q_{x+19}=0.014$
• $q_{x+20}=0.016$
• 年保費為22100。

計算第21年的保單價值，$_{21}V$。

解答。根據遞推關係，我們有$${\begin{aligned}&&_{19}V&={\frac {351200+22100-(1.05)^{-1}(0.012)(1000000)}{(1.05)^{-1}(1-0.012)}}\approx 384579.96\\&\Rightarrow &_{20}V&\approx {\frac {384579.96+22100-(1.05)^{-1}(0.014)(1000000)}{(1.05)^{-1}(1-0.014)}}\approx 418878.25\\&\Rightarrow &_{21}V&\approx {\frac {418878.25+22100-(1.05)^{-1}(0.016)(1000000)}{(1.05)^{-1}(1-0.016)}}\approx 454295.90.\\\end{aligned}}$$

示例。 向30歲的人壽保險簽發一份20年期定期兩全保險，死亡給付為1000，生存給付為5000。已知

• $i=0.04$

• $q_{48}=0.009$
• $q_{49}=0.01$
• 保費在每年的年初支付，金額為$250+k$，時間為$k$。

計算第18年的保單價值，$_{18}V$。

解。首先，注意第20年的保單價值僅僅是生存給付的金額，即$_{20}V=5000$。然後，我們可以使用逆向遞推計算$_{18}V$：$${\begin{aligned}&&_{19}V&=(1.04)^{-1}(1-0.01)(5000)+(1.04)^{-1}(0.01)(1000)-(250+19)\approx 4500.231\\&\Rightarrow &_{18}V&\approx (1.04)^{-1}(1-0.009)(4500.231)+(1.04)^{-1}(0.009)(1000)-(250+18)\approx 4028.855.\end{aligned}}$$

練習。 假設進一步給出

• $q_{30}=0.0063$
• $q_{31}=0.0066$

計算第2年的保單價值，$_{2}V$。

解答

首先，根據等價原則，第0年的保單價值為零，即$_{0}V=0$。因此，我們可以使用前向遞推計算$_{2}V$：$${\begin{aligned}&&_{1}V&={\frac {0+250-(1.04)^{-1}(0.0063)(1000)}{1.04^{-1}(1-0.0063)}}\approx 255.308\\&\Rightarrow &_{2}V&\approx {\frac {255.308+251-(1.04)^{-1}(0.0066)(1000)}{1.04^{-1}(1-0.0066)}}\approx 523.415.\end{aligned}}$$