交通運輸基礎/目的地選擇/背景

歷史

多年來，建模者使用了幾種不同的出行分配公式。第一個是 Fratar 或增長模型（它沒有區分出行目的）。這種結構根據增長將基年出行表推斷到未來，但沒有考慮由於供應增加或出行模式和擁堵變化導致的空間可達性變化。

接下來開發的模型是引力模型和介入機會模型。最常用的公式仍然是引力模型。

在研究馬里蘭州巴爾的摩的交通流量時，艾倫·弗爾希斯開發了一個數學公式來根據土地利用預測交通模式。該公式已成為世界各地眾多交通和公共工程專案設計的基礎。他寫了“交通運動的一般理論”（Voorhees，1956），將引力模型應用於出行分配，將出行生成的出行轉化為一個矩陣，識別從每個起點到每個終點的出行數量，然後可以將其載入到網路上。

對 1960 年代幾種模型形式的評估得出結論：“引力模型和介入機會模型在模擬 1948 年和 1955 年華盛頓特區的出行分配方面證明了大約相等的可靠性和效用”（Heanue 和 Pyers 1966）。Fratar 模型在經歷土地利用變化的區域顯示出弱點。由於模型之間的比較表明，兩者都可以同樣好地進行校準以匹配觀察到的條件，因此，由於計算簡便，引力模型比介入機會模型更廣泛地傳播。惠特克和韋斯特（1968）討論了介入機會模型的一些理論問題，涉及它無法解釋區域內所有出行生成的問題，這使得校準更加困難，儘管瑞特（1967）開發了一些處理這些限制的技術。

隨著 logit 和其他離散選擇技術的開發，人們嘗試了新的、人口統計學上分解的出行需求方法。透過在確定出行機率時包含行程時間以外的變數，預計將更好地預測出行行為。威爾遜（1967）證明了 logit 模型和引力模型與統計力學中使用的形式基本相同，即熵最大化模型。這些模型的應用在概念上有所不同，因為引力模型使用行程時間阻抗（可能按社會經濟變數分層）來確定出行機率，而離散選擇方法將這些變數引入效用或阻抗函式。離散選擇模型需要更多資訊進行估計，以及更多的計算時間。

Ben-Akiva 和 Lerman（1985）開發了使用 logit 公式的組合目的地選擇和出行方式選擇模型，適用於工作出行和非工作出行。由於計算強度，這些公式往往將交通區域彙總成較大的區域或環形區域進行估計。在當前應用中，一些模型（例如波特蘭市使用的交通規劃模型）使用 logit 公式進行目的地選擇。艾倫（1984）在確定出行分配的綜合阻抗時使用了基於 logit 的出行方式選擇模型中的效用。但是，這種使用出行方式選擇對數和的方法意味著目的地選擇取決於與出行方式選擇相同的變數。萊文森和庫馬爾（1995）將出行方式選擇機率作為權重因子，併為工作出行和非工作出行目的的每種出行方式開發了特定的阻抗函式或“f 曲線”。

數學

在交通規劃過程的這一階段，區域交換分析的資訊被組織在一個起點-終點表中。左側列出了每個區域產生的出行。在頂部列出了區域，並且對於每個區域，我們列出了它的吸引力。該表為n x n，其中n = 區域數。

我們表格中的每個單元格都應該包含從區域i到區域j的出行數量。我們還沒有這些單元格內的數字，儘管我們有行和列總數。以這種方式組織資料後，我們的任務是填寫以t=1到t=n為頭的表格的單元格。

實際上，從家庭訪談出行調查資料和吸引力分析中，我們獲得了t = 1的單元格資訊。資料是樣本，因此我們將樣本推廣到總體。區域交換分析中使用的技術探討了適合t = 1資料的經驗規則。然後使用該規則生成t = 2、t = 3、t = 4等的單元格資料，直到t = n。

開發的第一個對區域交換進行建模的技術涉及一個類似於以下模型的模型

$T_{ij}=T_{i}{\frac {T_{j}f\left({C_{ij}}\right)K_{ij}}{\sum _{j=1}^{n}{T_{j}f\left({C_{ij}}\right)K_{ij}}}}$

其中

$T_{ij}$ : 從 i 到 j 的出行。
$T_{i}$ : 從 i 出行，根據我們的出行生成分析
$T_{j}$ : 吸引到 j 的出行，根據我們的出行生成分析
$f(C_{ij})$ : 行程成本摩擦因子，例如 = $C_{ij}^{b}$
$K_{ij}$ : 校準引數

區域 i 產生 $T_{i}$ 次出行；有多少次出行會去往區域 j？這取決於區域 j 相對於所有地點的吸引力；吸引力會受到區域距離區域 i 的距離的影響。我們計算 j 與所有地點相比的比例，並將其乘以 $T_{i}$ 。

該規則通常採用重力形式

$T_{ij}=a{\frac {P_{i}P_{j}}{C_{ij}^{b}}}$

其中

$P_{i};P_{j}$ : 區域 i 和 j 的人口
$a;b$ : 引數

但在區域交換模式中，我們使用與出行起點相關聯的數字 ( $T_{i}$ ) 和出行目的地相關聯的數字 ( $T_{j}$ )，而不是人口。

存在許多模型形式，因為我們可以使用權重和特殊的校準引數，例如，可以寫成

$T_{ij}=a{\frac {T_{i}^{c}T_{j}^{d}}{C_{ij}^{b}}}$

或 $T_{ij}={\frac {cT_{i}dT_{j}}{C_{ij}^{b}}}$

其中

a, b, c, d 是引數
$C_{ij}$ : 出行成本（例如距離、金錢、時間）
$T_{j}$ : 入境出行，目的地
$T_{i}$ : 出境出行，起點

熵分析

威爾遜 (1970) 為我們提供了另一種思考區域交換問題的方法。本節介紹威爾遜的方法，以瞭解核心思想。首先，考慮一些出行，其中我們有七個人從起點區域通勤到目的地區域的七個工作崗位。這種出行的配置將是

**表：出行配置**
區域	1	2	3
1	2	1	1
2	0	2	1

$w\left({T_{ij}}\right)={\frac {7!}{2!1!1!0!2!1!}}=1260$

其中 $0!=1$

這種配置可以有 1,260 種不同的方式。我們已經計算了這種出行配置可能發生的次數，為了解釋計算過程，讓我們回顧一下在基礎統計學中經常提到的拋硬幣實驗。一個有兩面的硬幣可以出現的方式是 2n，其中 n 是拋硬幣的次數。如果我們拋一次硬幣，它可以出現正面或反面，2*1 = 2。如果我們拋兩次硬幣，它可以出現 HH、HT、TH 或 TT，共有 4 種方式，並且 2*2 = 4。為了回答關於，比如說，四枚硬幣都出現正面的具體問題，我們計算 4!/4!0! =1 。兩個正面和兩個反面將是 4!/2!2! = 6。我們正在解決以下方程

$w={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{n}{n_{i}!}}}$

一個重要的點是，隨著n變大，我們的分佈變得越來越尖峰，認為最可能的狀態變得越來越合理。

然而，最可能狀態的概念並非來自這種思考；它來自統計力學，這是一個威爾遜非常熟悉，而交通規劃師不太熟悉的領域。統計力學的結果是，下降序列是最可能的。想想教室裡燈光對教室裡空氣的影響。如果影響導致上升序列，許多原子和分子會受到很大影響，而只有少數會受到一點影響。下降序列將有許多不受影響或不受太大影響，只有少數受到很大影響。我們可以取一定水平的能量，並計算上升和下降序列的激發水平。使用上面的公式，我們可以計算特定序列發生的次數，然後得出結論，下降序列占主導地位。

這或多或少是玻爾茲曼定律，

$p_{j}=p_{0}e^{\beta e_{j}}$

也就是說，任何特定激發水平 j 上的粒子，將是基態粒子 $p_{0}$ 、激發水平 $e_{j}$ 和引數 $beta$ 的負指數函式，該引數是系統中粒子可用（平均）能量的函式。

上面兩段內容與吉布斯提出的集合計算方法有關，這是一個遠遠超出本筆記範圍的主題。

回到我們的 O-D 矩陣，請注意，我們沒有使用像 O-D 調查和我們之前關於出行產生的工作那樣多的資訊。對於之前使用的 O-D 矩陣中的相同出行模式，我們將有行和列總數，即

**表：帶有行和列總數的說明性 O-D 矩陣**
	區域	1	2	3
區域	T_i \T_j	2	3	2
1	4	2	1	1
2	3	0	2	1

考慮這四個人可能出行的方式，4!/2!1!1! = 12；考慮三個人，3!/0!2!1! = 3。所有出行可以以 12*3 = 36 種方式組合。因此，可以看出，可能的出行配置受到列和行總數的很大限制。

我們將這一點與之前使用矩陣的工作以及最可能狀態的概念結合起來，可以說我們想要

$\max w\left({T_{ij}}\right)={\frac {T!}{\prod _{ij}{Tij!}}}$

受以下約束

$\sum _{j}{T_{ij}=T_{i}};\sum _{i}{T_{ij}=T_{j}}$

其中： $T=\sum _{j}{\sum _{i}{T_{ij}}}=\sum _{i}{T_{i}}=\sum _{j}{T_{j}}$

而這就是我們在上面已經解決的問題。

威爾遜增加了另一個考慮因素；他將系統限制在可用能量（即資金）的範圍內，我們有額外的約束，

$\sum _{i}{\sum _{j}{T_{ij}C_{ij}=C}}$

其中 C 是可用資源的數量，而 $C_{ij}$ 是從 i 到 j 的出行成本。

到目前為止的討論包含了威爾遜工作中的核心思想，但我們還沒有到讀者能夠認出威爾遜提出的模型的地方。

首先，使用拉格朗日乘子寫出要最大化的函式，我們得到

${\frac {T!}{\prod _{ij}{Tij!}}}+\sum _{i}{\lambda _{i}\left({T_{i}-\sum _{j}{T_{ij}}}\right)}+\sum _{j}{\lambda _{j}\left({T_{j}-\sum _{i}{T_{ij}}}\right)+\beta \left({C-\sum _{i}{\sum _{j}{T_{ij}C_{ij}}}}\right)}$

其中 $\lambda _{i},\lambda _{j},and\beta$ 是拉格朗日乘子， $beta$ 具有能量意義。

其次，最大化自然對數 (ln) 比 w(Tij) 更方便，因為我們可以使用斯特林公式。

$\ln N!\approx N\ln N-N$

所以 ${\frac {\partial \ln N!}{\partial N}}\approx \ln N$

第三，求最大值，我們得到

${\frac {\partial T}{\partial T_{ij}}}=-\ln T_{ij}-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}=0$

其解為

$\ln T_{ij}=-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}$

$T_{ij}=e^{-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}$

最後，將此 $T_{i}j$ 的值代入約束方程，我們得到： $\sum _{j}{e^{-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}=0\sum _{i}{e^{-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}=0$

並且，將常數倍數移出求和符號之外

$e^{-\lambda _{j}}={\frac {T_{i}}{\sum _{j}{e^{-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}}};e^{-\lambda _{i}}={\frac {T_{j}}{\sum _{i}{e^{-\lambda _{i}-\beta C_{ij}}}}}$

設 ${\frac {e^{-\lambda _{j}}}{T_{i}}}=A_{i};{\frac {e^{-\lambda _{i}}}{T_{j}}}=B_{j}$

我們得到

$T_{ij}=A_{i}B_{j}T_{i}T_{j}e^{-\beta C_{ij}}$

這意味著最可能的出行分佈具有重力模型的形式， $T_{ij}$ 與出行起點和終點成正比。 $A_{i}$ ， $B_{j}$ 和 $\beta$ 確保滿足約束條件。

現在談到計算，我們遇到了一個大問題。首先，我們不知道C的值，之前我們說過它與可用資金有關，是一個成本約束。因此，我們必須將 $\beta$ 設定為不同的值，然後找到 $A_{i}$ 和 $B_{j}$ 的最佳值集。我們知道 $beta$ 的含義—— $\beta$ 的值越大，平均旅行距離的成本越低。（比較前面提到的玻爾茲曼定律中的 $\beta$ 。）其次， $\beta _{i}$ 和 $\beta _{j}$ 相互依賴。因此，對於 $\beta$ 的每個值，我們必須使用迭代解。有一些計算機程式可以做到這一點。

威爾遜的方法已被應用於勞瑞模型。

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