交通基礎/坡度/解決方案

問題

問題

據估計，環法腳踏車賽冠軍可以產生 510 瓦的持續功率，而健康的年輕男性（HYHM）可以產生約 310 瓦的功率。腳踏車冠軍和 HYHM 將要參加一場比賽（騎腳踏車）上坡，坡度為 6%，長度為 5 英里，山頂的海拔高度為 5000 英尺。兩個騎手/腳踏車組合的重量均為 170 磅，正面面積為 0.4 $m^{2}$，阻力系數為 0.9（這些值是騎車者處於蹲伏賽車姿勢時的典型值）。兩輛腳踏車的滾動阻力系數均為 0.01。假設 $\rho$ 為 1.0567 kg/立方米。請記住，功率等於力和速度的乘積。(1) 誰先到達山頂？(2) 輸家到達山頂需要多長時間？

示例

解決方案

獲勝者顯然是環法腳踏車賽冠軍，因為除功率外，兩人之間的一切都相等。由於冠軍的功率更大，他自然會獲勝。

我們需要找到每個車手的最大穩態速度，才能計算到達時間的差異。在穩態速度下，我們必須有

$F_{t}=R_{a}+R_{rl}+R_{g}\,\!$

其中

• $F_{t}\,\!$ = 牽引力
• $m\,\!$ = 車輛質量
• $a\,\!$ = 加速度
• $R_{a}\,\!$ = 空氣阻力
• $R_{rl}\,\!$ = 滾動阻力
• $R_{g}\,\!$ = 坡度阻力

我們還知道

• $\rho \,\!$ = 1.0567 kg/立方米
• $W\,\!$ = 756 N
• $f_{rl}\,\!$ = 0.01
• $G\,\!$ = 0.06
• $A\,\!$ = 0.4 $m^{2}$
• $C_{D}\,\!$ = 0.9

為了估算可用的牽引力，我們可以使用功率定義為功對時間的變化率，P = FV，得到

$F={\frac {P}{v}}\,\!$

將單個公式的組成部分代入通用公式，得到

${\frac {P}{v}}={\frac {\rho }{2}}AC_{D}V^{2}+f_{rl}W+WG\,\!$

如果我們計算滾動阻力和坡度阻力，得到

$R_{rl}=f_{rl}W=0.01(756)=7.56\ N\,\!$

$R_{g}=WG=756(0.06)=45.36\ N\,\!$

它們加起來總共是 52.92 N。

空氣阻力可以被發現為

$R_{a}={\frac {1.0567}{2}}(0.4)(0.9)v^{2}=0.19v^{2}\,\!$

將所有內容代入通用公式，最終結果是以下公式

$v={\frac {P}{[0.19v^{2}+52.92]}}\,\!$

這個問題可以迭代地解決（為 v 設定預設值，然後透過迭代計算）或以圖形方式解決。無論哪種方式，當為環法腳踏車賽冠軍代入 510 瓦時，產生的速度為 7.88 米/秒。類似地，當為 HYHM 代入 310 瓦時，產生的速度為 5.32 米/秒。

這座山長五英里，換算成公里為 8.123 公里，即 8,123 米。冠軍將花費 1030 秒（或 17.1 分鐘）來完成這段路線，而 HYHM 將花費 1527 秒（或 25.4 分鐘）。產生的差異為 8.3 分鐘。