交通運輸基礎/排隊/解決方案3

T問題

問題

在這個問題中，我們將有容量的佇列的特性應用於高速公路匝道。請注意以下幾點

• 匝道可容納 15 輛車
• 車輛每 6 秒可以進入高速公路，每輛車
• 車輛每 8 秒到達匝道，每輛車

確定

(A) 5 輛車的機率

(B) 匝道滿負荷的百分比

(C) 高峰小時匝道上車輛的預期數量。

示例

解決方案

$\lambda ={\frac {3600}{8}}=450\,\!$

$\mu ={\frac {3600}{6}}=600\,\!$

$\rho ={\frac {\lambda }{\mu }}=0.75\,\!$

部分 A

5 輛車的機率

$P(n)={\frac {\left({1-\rho }\right)}{1-\rho ^{N+1}}}\left(\rho \right)^{n}={\frac {\left({1-0.75}\right)}{1-0.75^{16}}}\left({0.75}\right)^{5}=0.06=6\%\,\!$

部分 B

匝道滿負荷（即 15 輛車）的百分比

$P(n)={\frac {\left({1-\rho }\right)}{1-\rho ^{N+1}}}\left(\rho \right)^{n}={\frac {\left({1-0.75}\right)}{1-0.75^{16}}}\left({0.75}\right)^{15}=0.0033=0.33\%\,\!$

部分 C

高峰小時匝道上車輛的預期數量。

$E(n)={\frac {\left(\rho \right)}{\left({1-\rho }\right)^{}}}{\frac {1-\left({N+1}\right)\left(\rho \right)^{N}+N\rho ^{N+1}}{1-\rho ^{N+1}}}={\frac {\left({0.75}\right)}{\left({1-0.75}\right)^{}}}{\frac {1-\left({15+1}\right)\left(\rho \right)^{15}+15\rho ^{16}}{1-\rho ^{16}}}=2.81\approx 3\,\!$

結論，匝道足夠大，可以容納大多數佇列，雖然每小時有 12 秒，但會有一些匝道溢位。這是否可以接受是一個政策問題。