運輸基礎/路徑選擇/解答

問題

問題

假設從起點“o”到終點“r”的流量為六（6）個單位。在時間函式中，每條路徑ab上的流量用Qab表示。應用沃德羅普網路均衡原理（使用者在所有使用路徑上使出行時間相等）。

A. 網路A中，每條鏈路的流量和出行時間是多少？（完成下表）

鏈路屬性

鏈路	鏈路效能函式	流量	時間
o-p	$C_{op}=5*Q_{op}$
p-r	$C_{pr}=25+Q_{pr}$
o-q	$C_{oq}=20+2*Q_{oq}$
q-r	$C_{qr}=5*Q_{qr}$

B. 系統最優分配是什麼？

C. 無政府狀態的價格是多少？

示例

解答

部分A

每條鏈路的流量和出行時間是多少？完成網路A的下表。

鏈路屬性

鏈路	鏈路效能函式	流量	時間
o-p	$C_{op}=5*Q_{op}$
p-r	$C_{pr}=25+Q_{pr}$
o-q	$C_{oq}=20+2*Q_{oq}$
q-r	$C_{qr}=5*Q_{qr}$

這四條鏈路實際上是兩條鏈路O-P-R和O-Q-R，因為根據流量守恆定律，Qop = Qpr和Qoq = Qqr。

鏈路屬性

鏈路	鏈路效能函式	流量	時間
o-p-r	$C_{opr}=25+6*Q_{opr}$
o-q-r	$C_{oqr}=20+7*Q_{oqr}$

根據沃德羅普均衡原理，每條使用路徑上的出行時間（成本）必須相等。因此$C_{opr}=C_{oqr}$.

或

$25+6*Q_{opr}=20+7*Q_{oqr}$

$5+6*Q_{opr}=7*Q_{oqr}$

$Q_{oqr}=5/7+6*Q_{opr}/7$

根據流量守恆原理

$Q_{oqr}+Q_{opr}=6$

$Q_{opr}=6-Q_{oqr}$

透過代入

$Q_{oqr}=5/7+6/7(6-Q_{oqr})=41/7-6*Q_{oqr}/7$

$13*Qoqr=41$

$Q_{oqr}=41/13=3.15$

$Q_{opr}=2.84$

檢驗

$42.01=25+6(2.84)$

$42.05=20+7(3.15)$

檢驗（在舍入誤差範圍內）

鏈路屬性

鏈路	鏈路效能函式	流量	時間
o-p-r	$C_{opr}=25+6*Q_{opr}$	2.84	42.01
o-q-r	$C_{oqr}=20+7*Q_{oq}$	3.15	42.01

或者擴充套件回原始表格

鏈路屬性

鏈路	鏈路效能函式	流量	時間
o-p	$C_{op}=5*Q_{op}$	2.84	14.2
p-r	$C_{pr}=25+Q_{pr}$	2.84	27.84
o-q	$C_{oq}=20+2*Q_{oq}$	3.15	26.3
q-r	$C_{qr}=5*Q_{qr}$	3.15	15.75

使用者均衡：總延誤 = 42.01 * 6 = 252.06

B部分

什麼是系統最優分配？

流量守恆

$Q_{opr}+Q_{oqr}=6\,\!$

$TotalDelay=Q_{opr}(25+6*Q_{opr})+Q_{oqr}(20+7*Q_{oqr})\,\!$

$25Q_{opr}+6Q_{opr}^{2}+(6-Q_{opr})(20+7(6-Q_{opr}))\,\!$

$25Q_{opr}+6Q_{opr}^{2}+(6-Q_{opr})(62-7Q_{opr}))\,\!$

$25Q_{opr}+6Q_{opr}^{2}+372-62Q_{opr}-42Q_{opr}+7Q_{opr}^{2}\,\!$

$13Q_{opr}^{2}-79Q_{opr}+372\,\!$

解析解需要最小化總延誤

$\delta C/\delta Q=26Q_{opr}-79=0\,\!$

$Q_{opr}=79/26=3.04\,\!$

$Q_{oqr}=6-Q_{opr}=2.96\,\!$

我們可以計算每條路徑上的SO行程時間

$C_{opr,SO}=25+6*3.04=43.24\,\!$

$C_{oqr,SO}=20+7*2.96=40.72\,\!$

注意，與使用者均衡解不同，$C_{opr,SO}>C_{oqr,SO}\,\!$

總延誤 = 3.04(25+ 6*3.04) + 2.96(20+7*2.96) = 131.45+120.53= 251.98

注意：也可以使用諸如“求解器”演算法之類的軟體來找到此解決方案。

C部分

無政府狀態價格是多少？

使用者均衡：總延誤 = 252.06 系統最優：總延誤 = 251.98

無政府狀態價格 = 252.06/251.98 = 1.0003 < 4/3