交通基礎/衝擊波/解題

T問題

問題

一條道路上的流量為 $q_{1}=1800veh/hr/lane$，密度為 $k_{1}=14.4veh/km/lane$。為了減少高速公路上的一段路程上的超速行駛，一輛警車決定實施移動路障，並以限速行駛 ($v_{2}=88km/hr$) 行駛 10 公里。沒有人敢超車。警車加入後，排隊密度增加到 20 輛/公里/車道，流量下降。當警車駛離高速公路時，排隊中將有多少輛車（每車道）？

排隊需要多長時間才能消散？

例子

解題

步驟 0

求解未知數

原始速度

$v_{1}={\frac {q_{1}}{k_{1}}}={\frac {1800}{14.4}}=125km/h\,\!$

警車加入後流量

$q_{2}=k_{2}v_{2}=88*20=1760veh/h\,\!$

步驟 1

計算波速

$v_{w}={\frac {q_{2}-q_{1}}{k_{2}-k_{1}}}={\frac {1760-1800}{20-14.4}}=-7.14km/hr\,\!$

步驟 2

確定排隊的增長率（相對速度）

$v_{r2}=v_{2}-v_{w}=88-(-7.14)=95.1km/hr\,\!$

步驟 3

確定警車在高速公路上行駛的時間

$t=d/v=10km/88km/hr=0.11hr=6.8minutes\,\!$

步驟 4

計算排隊的長度（不是靜止的排隊）

$L=vt=95.1km/hr*0.11hr=10.46km\,\!$

步驟 5

排隊以每小時多少輛車的速度增長？

$\Delta {q}=q_{1}-k_{1}v_{w}=q_{2}-k_{2}v_{w}=1800-(14.4*-7.14)=1760-(20*-7.14)=1902veh/hr\,\!$

步驟 6

車隊中的車輛數量

$L_{p}k_{2}=10.46km*20veh/km=209.2vehicles\,\!$

或

$\Delta {q}t=1902veh/hr*0.11hr=209.2veh\,\!$

排隊需要多長時間才能消散？

(a) 警車離開後衝擊波會去哪裡？只是反轉一切嗎？

${{v}_{w}}={\frac {{{q}_{2}}-{{q}_{1}}}{{{k}_{2}}-{{k}_{1}}}}={\frac {1800-1760}{14.4-20}}=-7.14km/hr$

第二波永遠趕不上第一波。

(b) 將速度恢復到 125，保持密度在 20？$q_{2}=20*125=2500\,\!$

${{v}_{w}}={\frac {{{q}_{2}}-{{q}_{1}}}{{{k}_{2}}-{{k}_{1}}}}={\frac {2500-1760}{20-20}}=\infty km/hr$

第二波瞬時趕上第一波。

(c) 將速度恢復到 125，保持密度在 14.4 和 20 的中間？$q_{2}=20*125=2500\,\!$

${{v}_{w}}={\frac {{{q}_{2}}-{{q}_{1}}}{{{k}_{2}}-{{k}_{1}}}}={\frac {2150-1760}{17.2-20}}=139km/hr$

第二波迅速趕上第一波。

${\begin{aligned}&139*t=7.14*\left(.11+t\right)\\&\left(139-7.14\right)t=7.14*11\\&t=0.006h=.35\min =21\sec \\\end{aligned}}$

(d) 降低上游的 q 和 k 以減緩形成曲線的速度。

${{v}_{w}}={\frac {{{q}_{2}}-{{q}_{1}}}{{{k}_{2}}-{{k}_{1}}}}={\frac {1780-1760}{14.24-20}}=-3.47km/hr$

第二波最終追上了第一波。

(e) 如果$q_{upstream}$ 低於下游容量，波浪就會消散。

${{v}_{w}}={\frac {{{q}_{2}}-{{q}_{1}}}{{{k}_{2}}-{{k}_{1}}}}={\frac {1250-1760}{10-20}}=+51km/hr$

前進的波浪。