一般工程學導論/誤差分析/統計分析

有兩種方法可以測量某事物

測量一次值，最大值和最小值（參見測量誤差）
多次測量值並使用統計方法計算最大值和最小值

隨機誤差假設

在以下兩種情況下，多次測量某事物以減少隨機誤差是合適的

在專案開始時，結果非常混亂，無法判斷是改善、保持不變還是惡化。
在專案結束時，試圖提高準確性，可以清楚地看到不確定性的影響。

高年級和研究生課程側重於如何在專案結束時使用統計學。這裡旨在介紹在專案開始時使用的統計學。

平均概念

眾數 -- 序列 1,1,2,4,7 的眾數是 1。它出現的頻率最高... 不受極值的影響
中位數 -- 列出所有資料，中間數字是中位數，不受極值的影響
平均數 -- 序列的平均數，平均值 1,1,2,4,7 是 3。... 受極值的影響

離群值

離群值是極值。它們會扭曲平均值的計算。沒有關於什麼構成離群值的嚴格數學定義。確定觀察值是否為離群值最終是一個主觀練習。超過三個標準差的離群值需要合理化。合理化可能導致這些測量結果被丟棄。

均值計算

算術平均數 是“標準”平均數，通常簡稱為“平均數”。

{\bar {x}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{x_{i}}

例如，五個值的算術平均數：4, 36, 45, 50, 75 是

{\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.

正態分佈

實驗中的觀測誤差通常假設服從正態分佈，不確定性的傳播是使用這個假設計算的。

如果資料是真正隨機的，那麼當 X 的值為 0 或 μ = 0 且標準差或 σ² = 1 時，它就是右側圖形中的紅線。

觀測誤差可能是由於人為錯誤，導致化學物質混合量略有不同；或者使用物理裝置，例如會根據刻度線頭部隨機位置提供不同值的尺子；或者在不同的時間和風力條件下從數字溫度計記錄相同數字。

顯然，大多數事物不是隨機的，但它們足夠隨機，以至於這是一個對誤差的良好、一級近似。它是理解誤差和不確定性計算的良好起點。

標準差

看看兩個飛鏢遊戲的結果。它們的平均值都相同（板子的中心）。但很明顯，一個飛鏢遊戲比另一個更接近中心。我們如何量化這一點？標準差 (σ) 量化了這一點。

這裡的目標是提供標準差的直觀定義。因此，讓我們從觀察兩個數字序列開始

1,1,2,4,7
2,2,3,3,5

兩者都具有 ${\bar {x}}=3$ 。顯然，第二個序列更接近平均值。第一個的偏差必須大於第二個的偏差。但是，將與中位數的偏差相加並找到該平均值並不奏效

$1/5*\sum _{k=1}^{5}({\bar {x}}-x_{i})=1/5*((1-3)+(1-3)+(2-3)+(4-3)+(7-3))=0$ $1/5*\sum _{k=1}^{5}({\bar {x}}-x_{i})=1/5*((2-3)+(2-3)+(3-3)+(3-3)+(5-3))=0$

這兩個序列與平均值的偏差都是 0。這是行不通的，因為負數抵消了正數。那麼如何將負數變成正數呢？將其平方然後開平方。或者取絕對值

$1/5*\sum _{k=1}^{5}|({\bar {x}}-x_{i})|=1/5*(|1-3|+|1-3|+|2-3|+|4-3|+|7-3|)=10/5=2$

$1/5*\sum _{k=1}^{5}|({\bar {x}}-x_{i})|=1/5*(|2-3|+|2-3|+|3-3|+|3-3|+|5-3|)=4/5=0.8$

現在我們可以看到成功了。第一個序列 1,1,2,4,7 的平均偏差比第二個序列 2,2,3,3,5 大。一般來說，平均偏差可以寫成

{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|{\bar {x}}-x_{i}|.

"標準差" 應該改為 "均方根偏差"。它用平方代替了絕對值符號，然後對平方值和樣本數量都開平方。這使得 "標準差" 變大（2 變為 2.1，0.8 變為 1.2）。這傾向於強調微小的差異，並且比 "平均偏差" 更受歡迎。

{\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}({\bar {x}}-x_{i})^{2}}}.

這種技術（強調微小的差異）的問題是，它只在對地球上所有事物進行取樣時或實驗無限次進行時才有效。導致貝塞爾校正的問題是

{\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}({\bar {x}}-x_{i})^{2}}}.

上面的公式通常在電子表格和計算機代數軟體中使用，因為大多數情況下工程師和科學家是在對可能性樣本進行統計，而不是對所有可能性進行統計。

解釋標準差

在大多數情況下，較小的標準差或誤差是好的。以下是一些以使偏差變大為目標的案例

寓言（每個人都聽相同的東西，但解釋不同）
吉他失真
將訊號移到通道（像吉他一樣失真，然後濾除除一小部分之外的所有內容，然後放大到通道）
重新平衡 B 樹（將資料分散，以便可以快速新增新資料）
反應中存在多個平衡點，而不是一個平衡點