一般幾何/流形

定義 (流形):

設 $(C,G)$ 是一個 站點，設 $D$ 是 $C$ 的子範疇。型別為 $D$ 的流形由上述站點 $(C,G)$ 以及一類 $(\varphi _{\alpha }:U_{\alpha }\to X_{\alpha })_{\alpha }$ 的 $C$ 同構組成，其中 $U_{\alpha }$ 在 $G$ 中是開集，而 $X_{\alpha }$ 是 $D$ 的物件，使得

1. 對於所有 $U\in \operatorname {Obj} (C)$，存在一個 $\iota _{i}:U_{i}\to U$ 的 $U$ 覆蓋，使得對於每個 $i$，存在一個 $\alpha$ 滿足 $U_{i}=U_{\alpha }$，並且
2. 只要 $U,V,W\in \operatorname {Obj} C$ 使得 $\iota _{1}:U\to W$ 和 $\iota _{2}:V\to W$ 構成一個覆蓋，並且 $\varphi :U\to X$ 和 $\psi :V\to Y$ 屬於類 $(\varphi _{\alpha }:U_{\alpha }\to X_{\alpha })_{\alpha }$，對映 $\varphi \upharpoonright (U\times _{W}V)$ 和 $\psi \upharpoonright (U\times _{W}V)$ 由拉回的泛性質保證的同構對映到它們各自的像，並且 $(\psi \upharpoonright (U\times _{W}V))\circ (\varphi \upharpoonright (U\times _{W}V))^{-1}$ 是 $D$ 的態射。

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命題（基本歸納引理）:

令 $P(M,A)$ 是一個邏輯命題，其引數為一個拓撲流形 $M$ 和一個閉子集 $A\subseteq M$。假設以下為真

1. 只要 $B\subseteq V_{\alpha }$ 是緊緻凸集，其中 $\phi _{\alpha }:U_{\alpha }\to V_{\alpha }$ 是 $M$ 上的座標圖，那麼 $P(M,\phi _{\alpha }^{-1}(B))$ 為真
2. 只要 $P(M,A),P(M,B)$ 和 $P(M,A\cap B)$ 為真，則 $P(M,A\cup B)$ 為真
3. 只要 $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \cdots$ 是 $M$ 的緊緻子集的降序鏈，$P(M,A_{j})$ 對所有 $j\in \mathbb {N}$ 為真，則 $P\left(M,\bigcap _{j\in \mathbb {N} }A_{j}\right)$ 為真
4. 只要 $P(M,A\cap {\overline {W}})$ 對所有相對緊緻的開放集 $W\subseteq M$ 為真，則 $P(M,A)$ 為真

然後對所有閉集 $A\subseteq M$，$P(M,A)$ 為真。

證明： 首先，我們用關於 $k$ 的歸納法證明，對於所有型別為 $A_{j}=\phi _{\alpha }^{-1}(B_{j})$ 的集合（對於某些緊凸 $B_{j}$ ($j\in \{1,\ldots ,k\}$)），命題 $P(M,A_{1}\cup \cdots \cup A_{k})$ 為真。我們用關於 $k$ 的歸納法進行證明。對於 $k=1$，該命題由第一個假設推出。現在假設 $P(M,A_{1}\cup \cdots \cup A_{k-1})$ 為真。注意，根據第一個假設，$P(M,A_{k})$ 也為真。並且

$(A_{1}\cup \cdots \cup A_{k-1})\cap A_{k}=(A_{1}\cap A_{k})\cup \cdots \cup (A_{k-1}\cap A_{k})$,

以及 $A_{j}\cap A_{k}=\phi _{\alpha }^{-1}(B_{j}\cap B_{k})$，其中 $B_{j}\cap B_{k}$ 是緊凸的，因為它是 兩個緊集 的交集。因此，由於集合 $A_{1}\cap A_{k},\ldots ,A_{1}\cap A_{k-1}$ 只有 $k-1$ 個，透過關於 $k$ 的歸納法，我們也可以得出結論，$P(M,(A_{1}\cup \cdots \cup A_{k-1})\cap A_{k})$ 成立。根據 2.，我們得出結論，$P(M,A_{1}\cup \cdots \cup A_{k})$。

現在，我們證明 $P(M,A)$ 在任何時候 $A$ 是 $\phi _{\alpha }^{-1}(B)$ 型別集合的緊緻子集時為真，其中 $B$ 是緊緻凸的。實際上，對於每個 $m\in \mathbb {N}$，用邊長為 $2/2^{m}$ 的所有立方體覆蓋 $\phi _{\alpha }(A)$，這些立方體的中心位於與它相交的 $(1/2^{m})\mathbb {Z} ^{n}$ 的點上。然後設定

$A_{m}:=\bigcup _{j=1}^{k_{m}}B_{j,m}$，因此 $A=\bigcap _{m\in \mathbb {N} }A_{m}$。

根據第二個假設，$P(M,A_{m})$ 對每個 $m\in \mathbb {N}$ 成立，因此根據第三個假設，$P(M,A)$ 成立。

現在，我們用關於 $k$ 的歸納法證明，只要 $A_{1},\ldots ,A_{k}$ 是型別為 $\phi _{\alpha }^{-1}(B)$ ($B$ 是緊緻凸集) 的緊緻子集，則 $P(M,A_{1}\cup \cdots \cup A_{k})$ 成立。對於 $k=1$，這是由我們剛剛證明的結論得出的。對於歸納步驟，假設 $P(M,A_{1}\cup \cdots \cup A_{k-1})$ 成立。注意到，根據我們剛剛證明的結論，$P(M,A_{k})$ 也成立。然後我們有

$(A_{1}\cup \cdots \cup A_{k-1})\cap A_{k}=(A_{1}\cup A_{k})\cup \cdots \cup (A_{k-1}\cap A_{k})$,

並且由於 $A_{j}\cap A_{k}$ 是 $A_{j}$ 的緊緻子集，根據我們剛剛證明的結論，$P(M,A_{j}\cap A_{k})$ 成立，因此，根據歸納法，$P(M,(A_{1}\cup A_{k})\cup \cdots \cup (A_{k-1}\cap A_{k})$ 成立。因此，根據 2，我們得到 $P(M,A_{1}\cup \cdots \cup A_{k})$ 為真。

現在我們準備證明當 $A$ 是緊緻時，$P(M,A)$ 是成立的。實際上，設 $A\subseteq M$ 是緊緻的。那麼用集合 $\phi _{\alpha }^{-1}(B_{\alpha })$ 來覆蓋 $A$，其中 $\phi _{\alpha }$ 是某些圖表，而 $B_{\alpha }$ 是緊緻且凸的。由於 $A$ 的緊緻性，我們可以提取一個有限的子覆蓋 $\phi _{\alpha _{1}}^{-1}(B_{\alpha _{1}})=:A_{1},\ldots ,A_{n}:=\phi _{\alpha _{n}}^{-1}(B_{\alpha _{n}})$。透過與 $A$ 相交併保留緊緻性（因為兩個緊緻集的交集是緊緻的），我們可以假設 $A_{1},\ldots ,A_{n}$ 包含在 $A$ 中，特別是

$A=\bigcup _{j=1}^{n}A_{j}$.

因此，根據上一步，$P(M,A)$ 成立。

最後，令 $A$ 為 $M$ 中的任意閉集，並令 $W\subseteq M$ 為一個相對緊緻的開集。那麼 $P(M,A\cap {\overline {W}})$ 成立，因為 $A\cap {\overline {W}}$ 是 緊緻集的閉子集，因此是緊緻的。因此，根據第四個假設，$P(M,A)$ 成立。 $\Box$

定義（向量叢）:

令 $R$ 為一個拓撲環，並令 $M$ 為一個流形。一個 $n$ 維$R$-向量叢 在 $M$ 上是一個流形 $E$ ，以及一個流形態射 $\pi :E\to M$ ，使得

1. 對於每個 $x\in M$ ，集合 $E_{x}:=\pi ^{-1}(x)$ （稱為 $x$ 的纖維），是一個在 $R$ 上的有限維拓撲向量空間。
2. 對於每個 $x\in M$，存在一個 $U$ 的鄰域 $x$，一個 $n\in \mathbb {N}$ 和一個對映 $\Psi :\pi ^{-1}(U)\to U\times R^{n}$，它是一個纖維式的 TVS 同構，使得該圖

   

   是可交換的。