普通力學/偏導數

現在我們將暫時離開物理，討論偏導數的主題。關於此主題的更多資訊可以在微積分/偏微分方程部分中找到，位於微積分書籍中。

偏導數

在一維中，函式f(x)的斜率由一個數字df/dx描述。

在更高維度中，斜率取決於方向。例如，如果f=x+2y，沿x方向移動一個單位會使f增加1，因此在x方向上的斜率為1，但沿y方向移動一個單位會使f增加2，因此在y方向上的斜率為2。

事實證明，我們可以用n個數字來描述n維空間中的斜率，即f的偏導數。

為了計算它們，我們對一個座標進行微分，同時保持所有其他座標不變。它們用∂而不是d來表示。例如

$f(x+dx,y,z)=f(x,y,z)+{\frac {\partial f}{\partial x}}dx\quad (1)$

注意，這幾乎與普通導數的定義相同。

如果我們在每個方向上移動一小段距離，我們可以將三個類似於1的方程組合起來得到

$df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}dz$

在小位移後，f的變化是位移與一個特殊向量的點積

$\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)\cdot \left(dx,dy,dz\right)=\operatorname {grad} f=\nabla f$

這個向量稱為f的梯度。它指向最陡峭斜率的方向。我們將經常使用這個向量。

偏導數 #2

另一種方法來處理多變數函式的微分可以在費曼物理學講義第2卷中找到。它是這樣的

微分運算元定義如下：$df=f(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)-f(x,y,z)\,\!$ 在 $\Delta x,\Delta y,\Delta z\to 0$ 的極限中。加減一些項，我們得到

$df=(f(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)-f(x,y+\Delta y,z+\Delta z))+(f(x,y+\Delta y,z+\Delta z)-f(x,y,z+\Delta z))+(f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z))\,\!$

這也可以寫成

$df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}dz$

其他符號

為簡潔起見，我們經常使用各種標準縮寫，這樣我們就可以將大部分公式寫在一行上。這可以讓我們更容易地看到重要的細節。

我們可以用下標來縮寫偏微分，例如

$D_{x}h(x,y)={\frac {\partial h}{\partial x}}\quad D_{x}D_{y}h=D_{y}D_{x}h$

或者

$\partial _{x}h={\frac {\partial h}{\partial x}}$

通常，為了使公式更簡潔，我們將下標放在函式本身。

$D_{x}h=h_{x}\quad h_{xy}=h_{yx}$

更多資訊

請參閱偏微分方程部分中的微積分書瞭解更多資訊。