一般力學/速度相關力

我們已經看到，形式為

$H={\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }{2m}}+V(\mathbf {r} )$

的哈密頓量描述了在保守力作用下的運動，但這不是最一般的哈密頓量形式。

在幾何光學極限下，許多波可以用另一種簡單的形式描述

$H=f(|\mathbf {p} |)$

如果我們考慮哈密頓量的其他形式會發生什麼？

假設我們有

$H={\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }{2m}}+\mathbf {p} \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} )$

點積項是我們可以新增到動能中最簡單的標量，它依賴於動量。我們將會看到它類似於勢能。

使用哈密頓方程，我們可以立即寫出運動方程。

${\begin{matrix}{\dot {x}}_{i}&=&{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}&=&{\frac {p_{i}}{m}}+A_{i}\\{\dot {p}}_{i}&=&-{\frac {\partial H}{\partial x_{i}}}&=&-p_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}\end{matrix}}$

注意我們在這裡使用的是求和約定。

現在我們有了運動方程，我們需要弄清楚它們的含義。

我們首先注意到動量不再是mv。從勢場A有一個額外的貢獻。我們可以將此視為一種勢動量，類似於勢能。

作用在粒子上的力為

$F_{i}=m{\ddot {x}}_{i}={\dot {p}}_{i}+m{\frac {d}{dt}}A_{i}(\mathbf {r} )$

使用鏈式法則，並將dp/dt用第二個運動方程替換，我們得到

$F_{i}=-p_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}+m{\dot {x}}_{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}$

使用第一個方程，這變成

$F_{i}=m{\dot {x}}_{j}\left({\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+mA_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}$

括號中的項可以識別為我們在叉積中看到的型別。經過一些操作，使用克羅內克函式和交替符號，我們可以寫成

${\begin{matrix}F_{i}&=&{\dot {x}}_{j}\left(\delta _{il}\delta _{jk}-\delta _{ik}\delta _{jl}\right){\frac {\partial A_{l}}{\partial x_{k}}}&+&mA_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}\\&=&{\dot {x}}_{j}\epsilon _{nij}\epsilon _{nlk}{\frac {\partial A_{l}}{\partial x_{k}}}&+&mA_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}\\&=&-\epsilon _{ijn}{\dot {x}}_{j}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)_{n}&+&mA_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}\\&=&-\epsilon _{ijn}{\dot {x}}_{j}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)_{n}&+&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}A_{j}A_{j}\end{matrix}}$

所以，將最後一行寫成向量方程，

$\mathbf {F} =-m\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )+{\frac {1}{2}}m\nabla A^{2}$

這種勢產生的力有一個垂直於它的旋度和速度的分量，還有一個是標量梯度的分量。

如果我們在哈密頓量中新增一個精心選擇的勢能，我們可以消除這個第二項。

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+\mathbf {p} \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} )+{\frac {1}{2}}mA^{2}\qquad \mathbf {F} =-m\mathbf {v} \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)$

這個哈密頓量可以簡化為

$H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} +m\mathbf {A} \right)^{2}$

其中括號內的項是 *m**v*，寫成動量的函式。

對哈密頓量進行這種簡單的修改，我們得到了一個垂直於速度的力，就像磁力一樣。因為力與速度垂直，所以力所做的功始終為零。

我們可以使用勢場來描述依賴於速度的力，前提是這些力不做功。

這些表示式中 **A** 的係數是任意的。改變它僅僅相當於用不同的單位測量 **A**，所以我們同樣可以寫成

$H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} +\alpha \mathbf {A} \right)^{2}\qquad \mathbf {F} =-\alpha \mathbf {v} \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)$

當 α=m 時，A 的單位為速度，這在某些情況下可能很方便，但我們也可以使用任何其他適合我們目的的 α 常數。當我們學習相對論時，我們將使用 α=-1。

請注意，力僅取決於 A 的旋度，而不是 A 本身。這意味著我們可以將任何旋度為零的函式加到 A 上，而不會改變任何東西，就像我們可以將一個常數加到勢能一樣。

此外，向量微積分的一個標準結果是，任何向量場都是兩個分量的和，一個旋度為零，另一個散度為零。由於旋度為零的分量不影響總力，我們可以要求它為零；即我們可以要求 A 的散度為零。

$\nabla \cdot \mathbf {A} =0$

這被稱為 *規範* 條件。就目前而言，可以認為它定義了積分常數的特別自然的數值。