一般拓撲/連通空間

定義（連通性）:

設 $X$ 是一個拓撲空間。 $X$ 被稱為 **連通** 當且僅當只要 $U,V\subseteq X$ 是兩個真開子集，使得 $U\cup V=X$，則 $U\cap V\neq \emptyset$。拓撲空間的子集 $S\subseteq X$ 被稱為 **連通** 當且僅當它關於子空間拓撲是連通的。

命題（連通性的特徵）:

設 $X$ 是一個拓撲空間。以下是等價的

1. $X$ 是連通的
2. 只要 $\emptyset \subsetneq A,B\subsetneq X$ 是閉集，使得 $A\cup B=X$，則 $A\cap B\neq \emptyset$
3. $\emptyset$ 和 $X$ 是 $X$ 的唯一既是開集又是閉集的子集

證明： 如果$X$ 是連通的，假設 $A,B\subseteq X$ 是閉集，使得 $A\cup B=X$。令 $U:=X\setminus A$ 和 $V=X\setminus B$。那麼 $U\cap V=X\setminus (A\cup B)=\emptyset$，因此我們發現 $y\in X\setminus (U\cup V)=A\cap B$。然後假設 $S\subseteq X$ 是閉開集（即開集且閉集），並且 $S\notin \{\emptyset ,X\}$。那麼 $X=S\setminus (X\setminus S)$ 是兩個非平凡閉集的不交併，矛盾。最後，如果 $X=U\cup V$ 並且 $V\cap U=\emptyset$，那麼 $U$ 和 $V$ 都是閉開集。$\Box$

例如（實數軸上的兩個不交開球是不連通的）:

考慮 $\mathbb {R}$ 的子空間 $(0,1)\cup (2,3)$，配備子空間拓撲。它是一個不連通空間的例子。

命題（連通空間的連續像仍然是連通的）:

設 $f:X\to Y$ 是一個連續函式，並假設 $X$ 是連通的。那麼 $f(X)$ 相對於其子空間拓撲（由 $Y$ 誘導）是連通的。

Proof: Suppose that $U$ and $V$ are two open subsets of $f(X)$ such that $U\cup V=f(X)$ and $U\cap V=\emptyset$. By definition of the subspace topology, write $U=O\cap f(X)$ and $V=W\cap f(X)$, where $O,W$ are open in $Y$. Since $f$ is continuous, $f^{-1}(O)$ and $f^{-1}(W)$ are open in $X$. Further, $f^{-1}(O)\cap f^{-1}(W)=f^{-1}(O\cap W)=\emptyset$, since any element in $f^{-1}(O\cap W)$ would be mapped to $O\cap W\cap f(X)$. Finally, every element in $X$ is either mapped to $O$ or to $W$, so that $f^{-1}(O)\cup f^{-1}(W)=X$, and $X$ is not connected, a contradiction. $\Box$

示例（閉合單位區間是連通的）:

設 $X=[0,1]$ 帶有由 $\mathbb {R}$ 上的歐幾里得拓撲誘導的拓撲。那麼 $X$ 是連通的。

Proof: Let $U,V$ be two open subsets of $[0,1]$ so that $U\cap V=\emptyset$ and $U\cup V=X$. Suppose by renaming $U,V$ if necessary that $0\in U$. $V$ has an infimum, say $\eta \in \mathbb {R}$. Since $0\in U$, pick by openness of $U$ an $\epsilon >0$ such that $B_{\epsilon }(0)\subseteq U$. Then $B_{\epsilon }(0)\cap V=\emptyset$, so that $\eta >0$. Suppose that $\eta \in V$. Then $B_{\epsilon }(\eta )\subseteq V$ for some $\epsilon >0$, so that in particular $\eta -\epsilon /2\in V$, a contradiction to $\eta =\inf V$. Hence $\eta \in U$, but then pick $\epsilon >0$ so that $B_{\epsilon }(\eta )\subseteq U$ and obtain that $\inf V\geq \eta +\epsilon /2$, a contradiction. $\Box$

定義（連通分量）:

設 $X$ 是一個拓撲空間，設 $x\in X$。所有滿足以下條件的 $y\in X$ 的集合：存在一個連通的集合 $S\subseteq X$，且 $x,y\in S$，被稱為 $x$ 的**連通分量**。

命題（拓撲空間分解成連通分量）:

設 $X$ 是一個拓撲空間。那麼

$X=\bigcup _{\alpha \in A}X_{\alpha }$,

其中並集是不交的，並且每個 $X_{\alpha }$ 是其每個點的連通分量。

Proof: We prove that being contained within a common connected set is an equivalence relation, thereby proving that $X$ is partitioned into the equivalence classes with respect to that relation, thereby proving the claim. Indeed, it is certainly reflexive and symmetric. To prove it transitive, let $x,y\in S$ and $y,z\in T$, where $S$ and $T$ are connected. We claim that $S\cup T$ is connected; once this is proven, $x$ and $z$ will lie in a common connected set ($T\cup S$). Hence, let $U\cup V=S\cup T$, where $U,V$ are open with respect to the subspace topology on $S\cup T$, that is, $U=O\cap (S\cup T)$, $V=W\cap (S\cup T)$ for suitable $W,O$ that are open in $X$. Since $S$ is connected, $S\cap O=S$ or $S\cap W=S$ since $(S\cap O)\cup (S\cap W)=S$ and $(S\cap O)\cup (S\cap W)\subseteq U\cap V=\emptyset$. Suppose, by renaming $O$, $W$ if necessary, that $S\cap O=S$, that is, $S\subseteq O$. Note that by a similar argument, $T\cap O=T$ or $T\cap W=T$, but $T\cap W=T$ is impossible, since then $y\in W\cap O\cap (S\cup T)=U\cap V$. Hence, $T\cap O=T$ and $S\cup T\subseteq O$, so that $U=S\cup T$, and $S\cup T$ is connected. $\Box$

定義（路徑）:

設 $X$ 是一個拓撲空間。**路徑**是一個連續函式 $\gamma :[a,b]\to X$，其中 $a\leq b$。

定義（路徑的連線）:

設 $\gamma :[a,b]\to X$ 和 $\rho :[c,d]\to X$ 是兩條路徑，使得 $\gamma (b)=\rho (c)$。那麼 $\gamma$ 和 $\rho$ 的 **連線** 被定義為路徑

$\gamma *\rho :[0,1]\to X,\gamma *\rho (t):={\begin{cases}\gamma (2tb+(1-2t)a)&t\leq {\frac {1}{2}}\\\rho \left(2\left(t-{\frac {1}{2}}\right)d+2(1-t)c\right)\$t\geq {\frac {1}{2}}\end{cases}}$.

命題（路徑的連線是連續的）:

設 $\gamma :[a,b]\to X$ 和 $\rho :[c,d]\to X$ 是兩條路徑。那麼 $\gamma *\rho$ 是連續的。

證明： 我們有

$\gamma *\rho |_{\left[0,{\frac {1}{2}}\right]}(t)=\gamma (2tb+(1-2t)a)$ 和 $\gamma *\rho |_{\left[{\frac {1,2}{,}}1\right]}(t)=\rho \left(2\left(t-{\frac {1}{2}}\right)d+2(1-t)c\right)$，

兩者都是連續的。我們得出結論，因為當限制在一個覆蓋空間的兩個閉合子集時連續的函式是連續的。$\Box$

定義（路徑連通性）:

設 $X$ 是一個拓撲空間。 $X$ 稱為路徑連通當且僅當對於任何兩點 $x,y\in X$，存在一條路徑 $\gamma :[a,b]\to X$ 使得 $\gamma (a)=x$ 且 $\gamma (b)=y$。 一個子集 $S\subseteq X$ 稱為路徑連通當且僅當，裝備其子空間拓撲，它是一個路徑連通的拓撲空間。

也就是說，一個空間是路徑連通的當且僅當在任意兩點之間存在一條路徑。

命題（路徑連通蘊含連通）:

設 $X$ 是一個路徑連通的拓撲空間。 那麼 $X$ 也是連通的。

Proof: Suppose that $X=U\cup V$, where $U,V$ are open and $U\cap V=\emptyset$. Suppose there exist $x\in U\setminus V$ and $y\in V\setminus U$, so that $U$ and $V$ are both proper nonempty subsets of $X$. Then consider by path-connectedness a path $\gamma :[a,b]\to X$ such that $\gamma (a)=x$ and $\gamma (b)=y$. $S:=\gamma ([a,b])$ is a connected subspace of $X$ since $[a,b]$ is a continuous image of the closed unit interval $[0,1]$ which is connected, and $\gamma ([a,b])$ is then connected as the continuous image of a connected set, since the continuous image of a connected space is connected. On the other hand, $(U\cap S)\cup (V\cap S)=X\cap S=S$ and $(U\cap S)\cap (V\cap S)\subseteq U\cap V=\emptyset$, where $(U\cap S)$ and $(V\cap S)$ are both open with respect to the subspace topology on $S$, so that $S$ is not connected, a contradiction. $\Box$

命題（路徑連通性是等價關係）:

設 $X$ 是任何拓撲空間。 那麼關係

$x\sim y:\Leftrightarrow \exists \gamma :[a,b]\to X{\text{ continuous }}:\gamma (a)=x,\gamma (b)=y$

是一個等價關係。

證明: 對於自反性，注意到常數函式始終是連續的。 對於對稱性，注意到如果我們給定 $\gamma :[a,b]\to X$ 使得 $\gamma (a)=x$ 且 $\gamma (b)=y$，我們可以考慮路徑

${\overline {\gamma }}:[a,b]\to X,{\overline {\gamma }}(t):=\gamma (a+b-t)$,

它是連續函式的複合，並且具有以下性質：${\overline {\gamma }}(0)=y$ 和 ${\overline {\gamma }}(1)=x$。最後，每當我們有一個路徑$\gamma :[a,b]\to X$ 使得 $\gamma (a)=x$ 和 $\gamma (b)=y$，以及另一個路徑 $\rho :[c,d]\to X$ 使得 $\rho (c)=y$ 和 $\rho (d)=z$，那麼 $\gamma *\rho :[0,1]\to X$ 是一個路徑，使得 $\gamma *\rho (0)=x$ 和 $\gamma *rho(1)=z$，因此傳遞性成立。$\Box$

定義（路徑連通分量）:

令 $X$ 為一個拓撲空間，並令 $x\in X$ 為一個點。$x$ 的 **路徑連通分量** 是 $x$ 的等價類，其中 $X$ 被 路徑連通性的等價關係 分割。

這裡我們有一個關於路徑連通性意味著連通性的事實的部分逆命題。路徑連通性意味著連通性

定義（區域性路徑連通性）:

設 $X$ 為一個拓撲空間。 $X$ 被稱為**區域性路徑連通**，當且僅當對每個 $x\in X$ 和 $x$ 的每個開集 $U$ 且 $x\in U$，都存在 $x$ 的一個開鄰域 $V$，使得 $V\subseteq U$ 且 $V$ 是路徑連通的。

定理（區域性路徑連通空間中連通性和路徑連通性的等價性）:

設 $X$ 是一個區域性路徑連通的拓撲空間。則 $X$ 連通當且僅當它路徑連通。

**證明：**首先注意到路徑連通空間是連通的。然後假設 $X$ 是連通的，固定 $x_{0}\in X$，並定義集合

$S:=\{y\in X|\exists \gamma :[a,b]\to X:\gamma (a)=x_{0},\gamma (b)=y$.

Note that $S$ is open, since if $y\in S$, then by local path-connectedness we may pick a path-connected open neighbourhood $U$ of $y$, so that by applying concatenation, we see that all points in $U$ are in $S$. On the other hand, $X\setminus S$ is open, pretty much by the same argument: If $z\in X\setminus S$ and $U$ is a path-connected open neighbourhood of $x$, then $U\subseteq X\setminus S$, since if $U$ would contain a point $y$ of $S$, $x_{0}$ could be joined to $z$ by a path, concatenating a path from $x_{0}$ to $y$ to one from $y\to z$, in contradiction to $z\notin S$. Hence $S$ is open and closed, and since $x_{0}\in S$, $S\neq \emptyset$, so that $S=X$ by connectedness. $\Box$

此定理有一個重要的應用：它證明了流形連通當且僅當它路徑連通。此外，在本書的後面，我們將瞭解更多區域性路徑連通的空間類別，例如單純復形和 CW 復形。

在上面的定義中將“連通”替換為“路徑連通”，我們得到

定義（區域性連通性）:

設 $X$ 為一個拓撲空間。 $X$ 被稱為**區域性連通**，當且僅當對每個 $x\in X$ 和 $x$ 的每個鄰域 $U$，都存在 $x$ 的一個連通鄰域 $V$，使得 $V\subseteq U$.

練習

1. 證明：只要$X$ 是一個連通拓撲空間，$Y$ 是一個拓撲空間，$f:X\to Y$ 是一個連續函式，那麼 $f(X)$ 由 $Y$ 誘導的子空間拓撲是連通的。
2. 證明：類似地，如果$X$ 是一個路徑連通拓撲空間，$Y$ 是一個拓撲空間，$f:X\to Y$ 連續，那麼 $f(X)$ 由 $Y$ 誘導的子空間拓撲是路徑連通的。
3. 證明：拓撲空間$X$ 是連通的當且僅當：當$\chi _{A}:X\to \{0,1\}$ 對於 $A\subseteq X$ 表示示性函式，唯一連續的示性函式是 $A=\emptyset$ 和 $A=X$；這裡$\{0,1\}$ 具有離散拓撲。
4. 令$X:=\{(0,0)\}\cup \{(x,y)|\exists n\in \mathbb {N} :y=1/n\}$ 具有由 $\mathbb {R} ^{2}$ 的歐幾里得拓撲誘導的子空間拓撲。證明：$X$ 不是區域性連通的，證明：$(0,0)$ 沒有連通鄰域。