幾何/微分幾何/基本曲線

曲線的微分幾何 是微分幾何領域中學習者通常的起點，微分幾何領域使用微積分中的導數概念研究曲線、曲面等。因此，在討論中隱含地假設定義函式是足夠可微的，即它們沒有角點或尖點等。曲線通常被研究為具有等價概念的環境空間的子集。例如，人們可以研究平面上的曲線、通常的三維空間中的曲線、球體上的曲線等。最常見的等價概念是剛性或歐幾里得運動，其中兩條曲線可以透過旋轉和平移對齊。然而，還有其他有趣的概念。特別是，在曲線的仿射微分幾何中，如果兩條曲線可以透過旋轉和線性變換對齊，則它們是等價的。特殊仿射微分幾何認為，如果兩條曲線可以透過平移和行列式為一的線性變換對齊，則它們是等價的。平面上的所有橢圓在仿射幾何中是等價的，並且在特殊仿射幾何中是等價的，如果它們的內部具有相同的面積。我們將專注於歐幾里得運動下的等價。在所有這些等價概念中，環境空間都配備了一些額外的結構。在歐幾里得運動等價的情況下，額外的結構是向量的內或點積。

平面曲線：曲線可以用引數形式定義，例如 $(x(t),y(t))=(\cos(t),\sin(t))$ 或作為函式的水平集 $f(x,y)=c$，例如 $\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}$。當然，這些都定義了半徑為一的圓。定義曲線的第三種方法是圖形法，$(x,y=f(x))$。我們會發現引數化公式通常更容易使用。任何圖形型別曲線都有引數化 $(x,y)=(t,f(t))$。在大多數情況下，我們不會關心曲線的“速度”，即曲線的實際引數化。例如，對映 $t\to 2t$ 定義了一條曲線，它沿相同路徑以兩倍的速度遍歷。

給定平面曲線 $\mathbf {x} (t)=(x(t),y(t))$，可以考慮它的速度，它僅僅是逐分量導數，$\mathbf {x} '(t)=(x'(t),y'(t))$。如果考慮一個相當簡單的重新引數化 $t\to e^{tan(t)}$，可以很快地獲得導數，即使從像圓這樣的“簡單”曲線開始，導數也會變得非常難看和笨拙。因此，如果檢視這些導數，可能無法明顯地識別出它是一個圓。

給定一條具有特定引數化的曲線，存在一個特殊的重新引數化（幾乎是唯一的），它消除了導致我們頭疼的這種自由度。再次，令 $\mathbf {x} (t)=(x(t),y(t))$ 是我們的曲線。我們希望 $s$ 是重新引數化 $t=t(s)$ 使得新曲線的速度為 1，即向量速度 $={\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}=1$ 的大小為 1。可以使用鏈式法則來確定函式 $t(s)$。為了使曲線 $\mathbf {x} (s)=(x(t(s)),y(t(s)))$ 具有單位速度，根據鏈式法則，我們需要

$({\frac {dx}{dt}}{\frac {dt}{ds}})^{2}+({\frac {dy}{dt}}{\frac {dt}{ds}})^{2}=1$ 或者

${\frac {dt}{ds}}={\frac {1}{\sqrt {({\frac {dx}{dt}})^{2}+({\frac {dy}{dt}})^{2}}}}$.

後一個是一個微分方程，就所有意圖和目的而言，除了在非常特殊的情況下，它不能明確求解。根據微分方程的標準理論，它在速度消失的點以外會有一個解。我們將開發假設該方程已被求解的理論，但隨後展示如何在其他非單位速度引數化中工作。

因此，我們假設 $\mathbf {x} =\mathbf {x} (s)=(x(s),y(s))$。使用這種引數化，我們有 $\mathbf {x} '(s)=(x'(s),y'(s))$ 是一個單位向量，即切線單位向量。我們將這個向量稱為 $\mathbf {e} _{1}$，即 $\mathbf {e} _{1}(s)=(x'(s),y'(s))$。我們定義單位法向量 $\mathbf {e} _{2}$ 是透過將 $\mathbf {e} _{1}$ 逆時針旋轉 90° 而得到的單位向量

$\mathbf {e} _{2}(s)=(-y'(s),x'(s))$.

由於我們在平面上，所有垂直於向量$\mathbf {e} _{1}$的向量一定是$\mathbf {e} _{2}$ 的某個標量倍數。我們利用這一觀察結果，如下：由$s$ 給出的標量函式 $\mathbf {e} _{1}(s)\cdot \mathbf {e} _{1}(s)$ 是常數（等於 1）。因此，它的導數消失

${\frac {d}{ds}}(\mathbf {e} _{1}(s)\cdot \mathbf {e} _{1}(s))=2\,\mathbf {e} _{1}(s)\cdot {\frac {d}{ds}}\mathbf {e} _{1}(s)=0$.

因此，向量值函式${\frac {d}{ds}}\mathbf {e} _{1}(s)=(x''(s),y''(s))$ 垂直於$\mathbf {e} _{1}(s)$，因此根據上述觀察結果，我們可以寫成

${\frac {d}{ds}}\mathbf {e} _{1}(s)=\kappa (s)\,\mathbf {e} _{2}(s)$

對於某個函式 $\kappa (s)$。函式 $\kappa (s)$ 是內在的，可以理解為單位向量 *擺動* 到單位法向方向的量。

示例：我們考慮一個半徑為 $r$ 的圓，圓心位於原點。它可以引數化為 $(r\,\cos(t),r\,\sin(t))$。在這種情況下，我們可以解出定義 $s$ 的微分方程，單位速度引數化由 $(r\,\cos(s/r),r\,\sin(s/r))$ 給出。(這也可能已經猜到。) 單位切線和法線由 $\mathbf {e} _{1}=\cos(s/r),\sin(s/r),\mathbf {e} _{2}=(-\sin(s/r),\cos(s/r))$ 給出。然後我們有

${\frac {d}{ds}}\mathbf {e} _{1}(s)=(1/r)(-\sin(s/r),\cos(s/r))=\kappa (s)\,\mathbf {e} _{2}(s)$

其中 $\kappa (s)$ 是常數函式 $1/r$。這給了函式 $\kappa (s)$ 另一個解釋，作為最佳擬合圓或 *密切圓* 的半徑的倒數。

函式 $\kappa (s)$ 用以下結果來描述歐幾里德運動下的曲線

定理：如果兩條曲線 $\mathbf {x} _{1}(s)=(x_{1}(s),y_{1}(s))$ 和 $\mathbf {x} _{2}(s)=(x_{1}(s),y_{2}(s))$ 具有相同的曲率函式 $\kappa (s)=\kappa _{1}(s)=\kappa _{2}(s)$，那麼必然存在一個剛性運動，該運動包括旋轉和平移，將曲線 $\mathbf {x} _{1}$ 變為 $\mathbf {x} _{2}$。