幾何/微分幾何/導論

微分幾何透過考慮曲線、曲面和更高維物體的可微引數化來研究幾何。先決條件包括向量微積分、線性代數、分析和拓撲。

微分幾何的一個目標是，以與引數化無關的方式對可微曲線進行分類和表示。例如，考慮由 $y=3x$ 表示的曲線。儘管 $(x,y)=(t,3t)$ 和 $(x,y)=(3t,9t)$ 是不同的引數化，但它們都表示相同的曲線。更一般地說，我們考慮曲線 $3={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {1}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {3}{1}}$ 的斜率。

我們稱這種型別的曲線為直線。我們甚至可以旋轉它並將其移動，但它仍然是一條直線。微分幾何的目標將是類似地對可微曲線進行分類，並瞭解其類別，這些類別可能具有不同的引數化，但仍然是相同的曲線。

透過新增足夠的維度，任何方程在幾何中都可以變成曲線。因此，區分兩條曲線何時獨特的能力也具有在區分資訊和噪聲方面的應用潛力。可能有多種接收相同資訊的方式——以不同的引數化形式，但我們希望區分資訊是否實際上是唯一的。