幾何/歐幾里得幾何的五個公設

公設在幾何學中與公理非常相似，即不言自明的真理，以及邏輯、政治哲學和個人決策中的信念。歐幾里得幾何的五個公設定義了使用尺規建立和擴充套件幾何圖形的基本規則。連同歐幾里得《幾何原本》開頭的五個公理（或“公理”）和二十三個定義，它們構成了這部古代希臘幾何知識傑作中大量證明的基礎。它們如下

1. 從任何給定點到任何其他點都可以畫一條直線段。
2. 一條直線可以延伸到任何有限長度。
3. 可以用任何給定點作為圓心，任何距離作為半徑來描述一個圓。
4. 所有直角都全等。
5. 如果一條直線與另外兩條直線相交，使得它在一邊的兩個內角之和小於兩個直角，那麼如果另外兩條直線在小於兩個直角的那一邊延伸足夠遠，它們就會在一點相遇。

公設 5，即所謂的平行公設，一直是令人非常頭疼的地方，可能對歐幾里得本人也是如此，因為它不像其他四個公設那樣簡單明瞭。數學家，事實上我們大多數人，都欣賞從簡單中產生的簡單，而需要進行嚴密證明的冗長複雜的證明、方程和計算則隱藏在幕後，而在這個看似簡潔直觀的公設中卻有一個如此冗長的句子，顯得有些格格不入。因此，幾個世紀以來，許多數學家試圖在不使用平行公設的情況下證明《幾何原本》的結果，但都無濟於事。然而，在過去的兩個世紀裡，人們基於使用前四個歐幾里得公設以及第五個公設的各種否定而推匯出各種非歐幾里得幾何。