幾何/周長和弧長

圓的周長

圓的周長 $\textstyle O$ 可以用以下公式計算

$O=2\pi r$

其中 $r$ 是圓的半徑。

多邊形的周長

一個有 $\textstyle n$ 條邊的多邊形的周長 $\textstyle S$ ，邊的長度分別用 $s_{1},\dots ,s_{n}$ 表示，可以用以下公式計算

$S=\sum _{k=1}^{n}s_{k}$ .

圓的弧長

給定圓的弧長 $b$ ，半徑為 $r$ ，可以用以下公式計算

$b={\frac {v}{2\pi }}2\pi r=vr$

其中 $\textstyle v$ 是以弧度為單位的角。

曲線的弧長

如果 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的曲線 $\textstyle \gamma$ 具有引數形式 $\mathbf {r} (t)={\big (}x(t),y(t),z(t){\big )}$ ，對於 $t\in [a,b]$ ，那麼弧長可以用以下公式計算

$S=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}}}\,dt=\int _{\gamma }{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}}}\,dt$

該公式的推導可以使用微分幾何對無窮小的三角形進行推導。