幾何/多米諾骨牌
多米諾骨牌 是由一個或多個相等的 正方形 邊到邊地連線而成的平面幾何圖形。
多米諾骨牌是由連線在一起的單位正方形形成的形狀，它們共享一條完整的邊。多米諾骨牌這個詞是根據多米諾骨牌這個詞而來的。只有一種可能的多米諾骨牌。
由三個正方形組成的多米諾骨牌稱為三米諾骨牌。只有兩種可能的三米諾骨牌。
由四個正方形組成的多米諾骨牌稱為四米諾骨牌。有五種可能的組合和兩種反射。
由五個正方形組成的多米諾骨牌稱為五米諾骨牌。不包括映象和旋轉，有十二種可能的五米諾骨牌。
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多米諾骨牌也可以透過將一條線分成 2 個部分來進行分類，這些線經過多米諾骨牌的質心，並評估穿過該質心的該線的正交線與也穿過該質心並穿過該部分質心的線的夾角。任何點集都可以透過這種半質心偏差角 HCDA 進行分類，例如，圓形始終以 HCDA = 0° 為特徵。
這就是非線性（即非線形）三米諾骨牌的三個正方形的質心 S1、S2 和 S3 以及其整體多米諾骨牌質心 C 的排列方式。
S1 S2 C S3
如果我們想對整個多米諾骨牌進行分類，所有出現的 HCDA 都應該被考慮在內。從（穿過 C 且）首先也穿過 S1 的分割線 DL 開始，然後順時針轉動，出現一個只有 S2 組成的半質心 HC。這個階段從 HCDA = arctan ½ – arctan 1 = – arctan ⅓ 開始，到 HCDA = 2 arctan ½ = arctan (4/3) 結束，此時 DL 與 S3 相交。符號取決於正交線相對於 HC 的放置位置。在下一階段，HC 由 S2 和 S3 形成... 因此，多米諾骨牌的所有“Σ tan HCDA”（所有“tan（結束 HCDA）– tan（開始 HCDA）”的總和）從 0 到 2 pi（從 0° 到 360°） 是一個關於偏離圓形程度的有理數。在這個三米諾骨牌中，有 6 個階段。
- （DL 穿過）S1 → S3，HC: S2，部分 Σ tan HCDA = 4/3 + 1/3 = 5/3
- S3 → S2，HC 來自 S2 和 S3，部分 Σ tan HCDA = 2/3
- S2 → S1，HC: S3，部分 Σ tan HCDA = 5/3
- S1 → S3，HC 來自 S1 和 S3，部分 Σ tan HCDA = 4/3 + 1/3 = 5/3
- S3 → S2，HC: S1，部分 Σ tan HCDA = 2/3
- S2 → S1，HC 來自 S1 和 S2，部分 Σ tan HCDA = 5/3
所有這些部分 Σ tan HCDA 的總和為 8。在以下非線性多米諾骨牌的值表中（線上性多米諾骨牌中，tan 90° = ∞ 在正交線和 HC 之間達到），多米諾骨牌以線性形式描述，該形式假設前兩個正方形並透過“1”線性地指定進一步的正方形，如果這個位置以前沒有被“o”以螺旋形式（與 Ulam 螺旋類似）更改到另一個可能的位置，則該位置位於旁邊已經放置的正方形，並且沒有被之前的“o”排除。
- 對角線對稱：\, /
- 到規範線水平對稱：—, 垂直：|, 水平和垂直：+
- 旋轉對稱：•，如果旋轉也透過 90° 會產生相同的：••
在接下來的幾列中，給出了 Σ tan HCDA 和 tan（最大絕對偏差角）的連分數展開式，連分數項沒有用逗號分隔，而是由小數位數 – 1個撇號字首到項前。
1 個非線性三米諾骨牌
| o1 \ | 8 | 13 |
4 個非線性四米諾骨牌
| 1oo1 | | 712 (= 7 ⅔) | 16 (= 7/6) |
| o1oo1 + | 8 | 1 |
| 1o1 | '10 | 2 |
| o11 • | '12 | 3 |
11 個非線性五米諾骨牌
| 1o1oo1 | 727 | 1 |
| 1oo11 | | 7141112 | 15 |
| 1oo1oooo1 + | 8 | 1 |
| 1o1ooo1 | | 861132 | 121'11 |
| o11oo1 | 84212 | 1112 |
| 1o1o1 \ | 8114 | 1117 |
| o11o1 \ | 91'11 2 | 1117 |
| 11oo1 | '10 12 | 2 |
| o1o11 • | '12 | 3 |
| 1o11 | '12 2'12 | 214 |
| 11o1 | '13 '15 | 233 |
34 個非線性六米諾骨牌
| 線性化形式 | Σ tan HCDA | tan（最大偏差 ∢） | * |
|---|---|---|---|
| o11oo1o1 — | 61221122 | 0111112 | 30 |
| 1o1oo11 | 6132118 | 012112 | 24 |
| 11oo11 | 6171'13 18 | 0121132 | 11 |
| o11oo1oo1 / | 61'21 152 | 012 | 33 |
| 1o1o1oo1 | 7418211122 | 015212 | 28 |
| 1oo111 | 72174122 | 1'15 | 29 |
| o111oooo1 | 7113121153'56 | 142 | 23 |
| 1o1oo1o1 + | 712 | 16 | 22 |
| 11oo1o1 | | 715 | 01'23 | 09 |
| 1o1o1ooo1 \ | 8 | 13 | 32 |
| o11o1oo1 | 83'16 6 | 1224 | 34 |
| 1o11oo1 | 81111174 | 112 | 18 |
| o111oo1 | 99122614 | 111'19 | 25 |
| 11o1o1 | 954 | 112 | 10 |
| o111ooo1 | 92214 | 1242 | 19 |
| 11o1ooo1 | 924 | 2 | 07 |
| 11o1oo1 | 91134 | 113 | 06 |
| 11oo1ooooo1 — | 9192 | 2 | 17 |
| 1o11ooo1 • | '10 | 2 | 21 |
| 1o1o11 | '10 52321114 | 26 | 26 |
| o1o1o1oo1 — | '10 3126 | 11226 | 08 |
| 11oo1oooo1 • | '10 2 | 22 | 16 |
| o11oo11 | '10 1152 | 22 | 13 |
| 1oo11o1 | | '10 12 | 2 | 12 |
| 1o11o1 | '11 4111'24 23 | 22113 | 27 |
| o1o11oo1 | '11 111112 | 3 | 14 |
| o111o1 | '12 1152312 | 26 | 31 |
| o11o11 • | '13 | 215 | 35 |
| 111ooooo1 | | '14 24 | 21'11 | 04 |
| o1o1o11 • | '14 2 | 32 | 15 |
| 11o11 | '14 1332 | 39 | 05 |
| 111oo1 | '15 326 | 2162 | 03 |
| 1o111 • | '17 | 42 | 20 |
| 111o1 | '17 141112 | 3313 | 02 |
七米諾骨牌（有 107 個不同的非線性自由骨牌）
| 1o1oo11oo1 | | 61118'12 | 0113 |
| 1o11ooooo11 — | 615221'18 2 | 0122 |
| 1oo111ooo1 + | 73 | 1 |
| 111ooooo11 | 72514 | 01'20 |
| 11o1oo1ooooo1 | 71251'10 512112 | 154 |
| o11o1oo1oo1 + | 8 | 1 |
| 11o1o1o1 \ | 851'28 111142 | 16'15 |
| 111oo11 | 831534 | 1'11 12 |
| 111oo1o1 | 9181'13 14 | 1113 |
| 111oo1oo1 | | '10 211613 | 111115 |
| 1o1o111 • | '12 | 3 |
| o11o11o1 \ | '13 '35 | 245 |
| o1o1o1o1oo1 | '13 '33 13 | 21133113 |
| 1oo11oooooo1o1 + | '13 3 | 3 |
| 111oo1oooo1 | '13 183 | 3113 |
| 111oo1ooooo1 | '14 73122 | 37 |
| 111oo1ooo1 • | '14 12 | 4 |
| o111o11 • | '16 | 3 |
| o1o1o1o11 • | '18 12 | 5 |
| 1111ooooo1 | '19 151132 | 44212 |
| 1111oo1 | '20 1''104 | 4352 |
| 1111o1 | '23 3111113 | 432 |
...
八米諾骨牌（有 52 個不同的非線性對稱自由骨牌）
| 1o1o1oo1o1oo1 + | 612 | 02 |
| 1o11ooo11oooooo1 •• | 7 | 013 |
| o11oo1o1oo11 + | 73 | 1 |
| 1o1o11ooo1ooo1 • | 7144 | 132 |
| 1o11oo1oo1ooo1 / | 7151132 | 132 |
| 11o1oo1o1o1 + | 812 | 13 |
| 1oo11o11ooo1 + | 95 | 2 |
| 11o11ooo1o1 • | '10 3 | 2 |
| o1o1oo1111 • | '11 '28 1113 | 29 |
| 1o11o111 • | '15 1121123 | 3122 |
| o11o11o11 • | '15 12 | 3 |
| o1111o11 • | '18 | 312 |
| 11o1111 • | '23 12 | 63 |
...
九米諾骨牌
| 11oo1111ooooo1 • | 712 | 13 |
| 1o11o11ooo1oo1 • | '10 | 113 |
| 11o1o1111 • | '14 3 | 312 |
| 1o111o111 • | '20 | 42 |
| o11111o11 • | '21 | 42 |
...
十米諾骨牌
| 11oo111ooo1o1ooo1 + | 612112 | 02 |
| 11o1o1oo1o1o1oo1 + | 61311154 | 0111212 |
| 11o1oo11oo11oooo1 • | 61'19 1112 | 013 |
| 1oo11o1o1o11ooo1 + | '15 92 | 22 |
| 1o11o11o111 • | '18 ''126 | 417 |
| 11o11o1111 • | '18 1392 | 41118 |
| o111o111o11 • | '21 1'59 | 44 |
| 1o1111o111 • | '23 8113 | 4242 |
| o111111o11 • | '23 1'10 | 54 |
| 111o11111 • | '30 162 | 84 |
...
十一米諾骨牌
| 111ooooo1111oooo1o1 • | 61'20 | 0122 |
| 111o1o11111 • | '17 2113112 | 42 |
| 11o111o1111 • | '23 16 | 5122 |
| 1o11111o111 • | '26 12 | 5 |
| o1111111o11 • | '27 23 | 62 |
...
十二米諾骨牌
| o11o1oo11o1oo11o11 + | 62'10 | 03 |
| 11o1o1o1oo1o1o1oo1oo1 + | 62'10 | 03 |
| 11oo11o1ooo11o1ooo1oo1 •• | 612 | 02 |
| 1o11oo1o11oo1o1o1ooo1 + | 614 | 0112 |
| 11o1o1oo1o1o1oo111 + | 6 1'11 | 0125 |
| o111oo111oooo111ooooo1 •• | 61'12 42 | 0122 |
| 1o111o111o111 • | '25 4 | 41'15 |
| 11o1111o1111 • | '27 1'11 | 68 |
...
因此，以這種方式首先按正方形的數量，然後按它們的 Σ tan HCDA 排序的非線性多米諾骨牌的 Σ tan HCDA 的連分數項數的序列以 1、3、1、1、1、3、7、1、6、5、4、4、3、1、3、2、8、7、7、6、10、8、11、3、3、1、4、8、8、3、5、3、5、4、1、9、5、2、5、3、8、7、8、1、3、2、5、4、1、7，... 開頭。此序列中的每個 1 都表示某個多米諾骨牌的 Σ tan HCDA 是一個自然數，這似乎也需要一些對稱性標準，或者至少是類似的和諧。這些自然數的序列為 8、8、10、12、8、12、8、10、13、17，... 線上整數序列百科全書目前還沒有這兩個序列，只有所有可能的帶有 n 個單元格的多米諾骨牌的計數，例如 所有自由骨牌的計數，以及所有帶有或不帶有孔或特定對稱性的骨牌的計數可以在那裡找到。因此，目前似乎仍然沒有解決有多少多米諾骨牌具有自然 Σ tan HCDA 以及哪些自然數可以作為多米諾骨牌的 Σ tan HCDA。歡迎在這裡進行進一步的編輯以進行進一步的澄清。
以下是使用 Maxima 從給定的線性化多米諾骨牌規範計算多米諾骨牌正方形位置列表、Σ tan HCDA 以及 tan（最大偏差角）絕對值。
t:"(a:[0,1],e:[],b:1/2,c:2,d:1,f:0,g:0,v:0, for n:1 thru slength(s)do(h:a[c]+d, if charat(s,n)=ascii(49)then (a:endcons(h,a),c:c+1,b:b+(a[c]-b)/c,d:1,f:0,g:0,h:a[c]+d) else e:endcons(h,e), if(charat(s,n)#ascii(49))or member(h,a)or member(h,e)then do (if f=bit_rsh(g,1)then(f:0,g:g+1)else f:f+1, d:d+%i^g,h:a[c]+d, if(member(h+1,a)or member(h-1,a)or member(h+%i,a)or member(h-%i,a)) and not member(h,a)and not member(h,e)then return(0))), print(a),e:[], for n:1 thru c do(a[n]:a[n]-b,e:endcons(carg(a[n]),e)),d:0,f:e[1], do(b:0,g:0,h:%pi*2, for n:1 thru c do(if ((e[n]>f)and(e[n]<=(f+%pi)))or (((e[n]+%pi*2)>f)and((e[n]+%pi)<=f))or (((e[n]-%pi*2)>f)and((e[n]-%pi*3)<=f))then (g:g+1,b:b+(a[n]-b)/g,p:e[n]-f, if p<0 then p:p+%pi*2, if p>%pi*2 then p:p-%pi*2, if(p>0)and(p<h)then(h:p,k:n,q:1))else (p:e[n]-f-%pi, if p<0 then p:p+%pi*2, if p>%pi*2 then p:p-%pi*2, if(p>0)and(p<h)then(h:p,k:n,q:-1))), b:carg(b), w:cot(f-b), d:d+w, w:abs(w), if v<w then v:w, w:cot(e[k]-b), d:d-w, w:abs(w), if v<w then v:w, if q=1 then f:e[k]else(if e[k]>0 then f:e[k]-%pi else f:e[k]+%pi), if f=e[1] then return(0)), d:bfloat(d),v:bfloat(v),[d,cf(d),v,cf(v)])"$s:"o11oo1"$eval_string(t)
對於非線性三米諾骨牌“o1”，此程式獲得其 3 個點，質心位於 (0; 0)
- a[1] = –2/3 – /3
- a[2] = 1/3 – /3
- a[3] = 1/3 + 2 /3
然後將這 6 個差值相加
- cot (arg a[1] + pi/4) – cot (arg a[3] + pi/4) = 1/3 + 1/3
- cot (arg a[3] – arctan ½) – cot (arg a[2] – arctan ½) = 4/3 + 1/3
- cot (arg a[2] – arctan 2) – cot (arg a[1] – arctan 2) = 1/3 + 4/3
- cot (arg a[1] – 3 pi/4) – cot (arg a[3] – 3 pi/4) = 1/3 + 1/3
- cot (arg a[3] – arctan ½) – cot (arg a[2] – arctan ½) = 4/3 + 1/3
- cot (arg a[2] – arctan 2) – cot (arg a[1] – arctan 2) = 1/3 + 4/3