小學幾何/分形
我們之前考慮的所有構造有一個共同點。這些構造在有限步數之後就結束了。當人們回憶起數學家實際上使用尺子和圓規來執行這些構造時，這個要求似乎是合理的。然而，當我們去除這個要求時，我們可以構造出新的有趣的幾何形狀。在本章中，我們將介紹其中的兩個。注意，這些形狀不屬於歐幾里得幾何，而是在其發展多年後才被考慮。
要全面瞭解康托爾集，請參閱維基百科上的文章，本節內容以此為基礎。康托爾集是由德國數學家格奧爾格·康托爾引入的。
康托爾集的定義是反覆從線段中去除中間三分之一。從單位區間[0, 1]中去除中間三分之一開始，剩下[0, 1/3] ∪ [2/3, 1]。接下來，從所有剩餘區間中去除“中間三分之一”。這個過程無限地進行下去。康托爾集包含區間[0, 1]中所有在該無限過程中任何步驟中都沒有被去除的點。
由於康托爾集被定義為未被排除的點的集合，因此可以透過去除的總長度來找到單位區間中剩餘的比例。這個總數是幾何級數
因此，剩餘的比例為1 – 1 = 0。或者，可以觀察到每一步都保留了前一階段長度的2/3，因此剩餘的量為2/3 × 2/3 × 2/3 × ...，這是一個無限乘積，在極限情況下等於0。
從計算結果來看，似乎令人驚訝的是會剩下什麼——畢竟，去除的區間的長度之和等於原始區間的長度。然而，仔細觀察這個過程就會發現，一定會有東西留下，因為從每個區間中去除“中間三分之一”涉及到去除開集（不包含端點的集合）。因此，從原始區間[0, 1]中去除線段（1/3, 2/3）會留下點1/3和2/3。隨後的步驟不會去除這些（或其他）端點，因為去除的區間始終位於剩餘區間的內部。因此，我們確信康托爾集不是空的。
康托爾集是分形的原型。它是自相似的，因為它等於它自身的兩個副本，如果每個副本縮小1/3倍並平移。
要全面瞭解科赫曲線，請參閱維基百科上的文章，本節內容以此為基礎。
科赫曲線是最早被描述的分形曲線之一。它是在1904年由瑞典數學家海爾格·馮·科赫發表的。更著名的科赫雪花（或科赫星）與該曲線相同，只是它從等邊三角形而不是線段開始。
可以想象，它是從一條線段開始，然後遞迴地改變每條線段，方法如下
- 將線段分成三段等長的線段。
- 畫一個等邊三角形，使其底邊為第一步中中間的線段。
- 去除作為第二步中三角形底邊的線段。
完成一次之後，結果應該是一個類似於大衛之星的形狀。
當上述步驟反覆執行時，科赫曲線是在極限情況下逼近的。
科赫曲線的長度是無限的，因為每當在圖形的每條線段上執行上述步驟時，其長度就會增加三分之一。因此，第n步的長度將為(4/3)n。
科赫雪花的面積是初始三角形的8/5倍，因此無限的周長圍成了有限的面積。