小學幾何/無理數證明

在數學中，有理數是指可以寫成兩個整數之比的實數，即它具有以下形式

a/b 其中 a 和 b 是整數，且 b 不為零。無理數是指不能寫成兩個整數之比的數，即它不具有以下形式

a/b 。

無理數理論的歷史

無理數的發現通常歸功於畢達哥拉斯，更確切地說，是畢達哥拉斯學派的希帕索斯，他證明了${\sqrt {2}}$的無理數性（見下文證明）。據說希帕索斯在嘗試將 2 的平方根表示為分數時發現了無理數。然而，畢達哥拉斯相信數字的絕對性，不能接受無理數的存在。他不能用邏輯來反駁它們的存在，但他自己的信念無法接受無理數的存在，因此他判處希帕索斯溺死。正如你所見，數學可能很危險。

2 的平方根的無理數性

在本節中，我們將嘗試解釋為什麼${\sqrt {2}}$是無理數。無理數是一個花哨的詞，指的是不能寫成分數形式的數，分數的分子和分母都是整數。曾經有人認為所有數字都可以寫成分數的形式。

在我們開始證明之前，我們應該先回顧一些熟悉的知識。首先，當我們寫分數時，我們總是可以化簡它們，使它們沒有公因數。為了提醒自己，讓我們考慮分數${\frac {15}{21}}$。由於 3 可以整除 15，3 也可以整除 21，因此我們可以使這個分數的分子和分母更小。在這個例子中，我們可以透過以下計算來觀察這一點

${\frac {15}{21}}={\frac {3\cdot 5}{3\cdot 7}}={\frac {3}{3}}\cdot {\frac {5}{7}}=1\cdot {\frac {5}{7}}={\frac {5}{7}}$.

完全相同的計算可以讓我們消除任何同時整除分子和分母的數字。假設我們有一個分數${\frac {p}{q}}$，並且存在一個數字 r 使得 r 可以整除 p，r 也可以整除 q。然後我們可以寫成$p=r\cdot a$（就像我們寫$15=3\cdot 5$一樣）。我們也可以寫成$q=r\cdot b$。然後計算看起來像

${\frac {p}{q}}={\frac {r\cdot a}{r\cdot b}}={\frac {r}{r}}\cdot {\frac {a}{b}}=1\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {a}{b}}$.

因此，無論何時我們有一個分數，其中分子和分母是我們還不知道的數字（因此我們需要使用 p 和 q 之類的字母），我們可以假設我們已經消除了所有同時整除 p 和 q 的數字。

我們還需要記住關於偶數和奇數的知識。首先，每個偶數實際上都是 2 乘以某個更小的數字。如果你列出偶數，這一點很容易看出來

偶數	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	…
相同的偶數 作為 2·“某物”	2·1	2·2	2·3	2·4	2·5	2·6	2·7	2·8	2·9	2·10	…

最後，我們需要記住兩個偶數的乘積仍然是偶數，兩個奇數的乘積仍然是奇數。事實上，這只是我們熟悉的規則

• “偶數乘以偶數是偶數”
• “奇數乘以奇數是奇數”
• “偶數乘以奇數是偶數”

現在我們可以開始思考證明了。證明是一個“反證法”。對我們來說，這意味著我們將從假設 ${\sqrt {2}}$ 可以寫成分數開始。我們將嘗試調查並看看這對分數意味著什麼，要注意的是每一步都遵循我們已知的真實事物從上一步推匯出來。在最後一步，我們將自相矛盾。這意味著我們在某個地方犯了錯誤。由於我們對所有步驟都非常小心，所以唯一可能出現錯誤的地方是我們假設了 ${\sqrt {2}}$ 可以寫成分數。

1. 假設 ${\sqrt {2}}$ 可以寫成分數。這意味著 ${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$。我們將假設這個分數是最簡分數，因此沒有數字可以同時除以*a*和*b*。具體來說，2 不能同時除以*a*和*b*。
2. 現在我們將等式兩邊都平方，也就是說我們寫 $2=\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}$，這與 $2={\frac {a^{2}}{b^{2}}}$ 相同。
3. 透過將等式兩邊都乘以 $b^{2}$，可以得出 $a^{2}=2\cdot b^{2}$。
4. 因此 $a^{2}$ 是偶數，因為它等於 $2\cdot b^{2}$，它是偶數。
5. 如果 $a$ 是奇數，那麼 $a^{2}=a\cdot a$ 將是奇數，因為“奇數乘以奇數等於奇數”。因此，可以得出 $a$ 必須是偶數。
6. 由於 $a$ 是偶數，並且所有偶數都是 2 乘以某個數，我們可以寫成 $a=2\cdot k$，其中 $k$ 是某個整數。
7. 如果我們將 $2\cdot k$ 代入第 3 行方程式中的 $a$，我們得到 $(2\cdot k)^{2}=2\cdot b^{2}$。現在 $(2\cdot k)^{2}=(2\cdot k)\cdot (2\cdot k)=4\cdot k^{2}$。因此，$4\cdot k^{2}=2\cdot b^{2}$。
8. 因為 $2\cdot k^{2}$ 是偶數，那麼 $b^{2}$ 也是偶數。正如我們在第 5 行中看到的 $a$ 一樣，這意味著 *b* 是偶數。
9. 在第 5 行中，我們看到 $a$ 是偶數，因此 2 可以整除 $a$。在第 8 行中，我們看到 $b$ 是偶數，所以 2 可以整除 $b$。但在第 1 行中，我們說 2 不能同時整除 $a$ 和 $b$。這是一個矛盾。

由於我們發現了一個矛盾，因此第 1 行中的假設一定是錯誤的。也就是說，${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$ 是錯誤的，其中 $a$ 和 $b$ 是整數。所以我們不能將 ${\sqrt {2}}$ 寫成分數。另一種說法是，${\sqrt {2}}$ 是無理數。