定義（阿貝爾群）:
設 G {\displaystyle G} 是一個群。我們稱 G {\displaystyle G} 為阿貝爾群當且僅當對於所有 g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} ，我們有 g h = h g {\displaystyle gh=hg} （其中我們用並置表示群運算）。
定義（迴圈群）:
迴圈群是一個由其單個元素生成的群，即 G = ⟨ g ⟩ {\displaystyle G=\langle g\rangle } 對於某個 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 。
命題（迴圈群是阿貝爾群）:
設 G {\displaystyle G} 是一個迴圈群。則 G {\displaystyle G} 是阿貝爾群。
證明：事實上，將任意兩個元素 h , j ∈ G {\displaystyle h,j\in G} 寫成 h = g n {\displaystyle h=g^{n}} ， j = g m {\displaystyle j=g^{m}} ，其中 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 使得 G = ⟨ g ⟩ {\displaystyle G=\langle g\rangle } 。那麼 h g = g n g m = g m g n = g h {\displaystyle hg=g^{n}g^{m}=g^{m}g^{n}=gh} ，利用結合律。 ◻ {\displaystyle \Box }
