群論/陪集與拉格朗日定理

定義（左陪集）:

令 $G$ 為一個群，且 $H\leq G$ 為其子群，且 $g\in G$。則由 $g$ 表示的 $H$ 的 **左陪集** 為集合

$gH:=\{gh|h\in H\}$.

右陪集的定義類似

定義（右陪集）:

令 $G$ 為一個群，且 $H\leq G$ 為其子群，且 $g\in G$。則由 $g$ 表示的 $H$ 的 **右陪集** 為集合

$Hg:=\{hg|h\in H\}$.

對於這兩種情況，我們都有以下命題

命題（屬於同一個左陪集是一個等價關係）:

令 $G$ 為一個群，並在 $G$ 上定義一個 關係 為

$g\sim g':\Leftrightarrow \exists g''\in G:g\in g''H\wedge g'\in g''H$.

則 $\sim$ 是一個等價關係，我們也有公式

$g\sim g'\Leftrightarrow g\in g'H$.

證明： 首先，我們證明同一個陪集中的元素的另一種公式。如果 $g\in g''H$ 且 $g'\in g''H$，我們從後者方程中發現一個 $h\in H$ 使得 $g'=g''h$，因此 $g''=g'h^{-1}$，因此 $g\in g'h^{-1}H=g'H$，最後一個等式是因為 $H$ 是一個群，特別是對求逆封閉。另一方面，如果 $g\in g'H$，那麼 $g=g'h$ 對於某個 $h\in H$，因此 $g'\in g'H$（因為單位元在 $H$ 中），然後 $g'\in g'H=gh^{-1}H=gH$。

因此，這兩個關係的公式一致，剩下的就是檢查我們是否在處理等價關係。實際上，假設$g\sim g'$ 和 $g'\sim g''$。那麼存在 $h\in H$ 使得 $g=g'h$ 且 $h'\in H$ 使得 $g'=g''h'$。然後 $g=g''h'h$，所以 $g\in g''H$，即 $g\in g''H$，證明了傳遞性。自反性成立，因為單位元在 $H$ 中，對稱性成立，因為 $g\in g'H$ 意味著 $g=g'h$，因此 $g'\in g'H=ghH=gH$。 $\Box$

類似地，我們有以下命題

命題（在同一個右陪集中是一個等價關係）:

令 $G$ 為一個群，並在 $G$ 上定義一個 關係 為

$g\sim 'g':\Leftrightarrow \exists g''\in G:g\in Hg''\wedge g'\in Hg''$.

則 $\sim$ 是一個等價關係，我們也有公式

$g\sim 'g'\Leftrightarrow g\in Hg'$.

證明： 考慮對偶群 $G^{o}$ 的 $G$。存在一個雙射 $G\to G^{o}$，由 $g\mapsto g$ 給出，在此之下，屬於 $H\leq G$ 的同一個右陪集的兩個元素對應於屬於 $H^{o}\leq G^{o}$ 的同一個 左 陪集的元素。但是，由後者定義的關係 被證明是一個等價關係。$\Box$

定義（指數）:

令 $G$ 為一個群，令 $H\leq G$ 為一個子群。則 $H$ 的 指數 定義為：

$[G:H]:=|\{gH|g\in G\}|$.

也就是說，指數恰好是左陪集的數量。

命題（拉格朗日定理）:

令 $G$ 為一個群，令 $H\leq G$ 為一個有限子群。則

$[G:H]=|G|/|H|$.

特別地，$H$ 的階數整除 $G$ 的階數。

證明： 我們已經看到屬於同一個左陪集是一個等價關係，因此等價類劃分了$G$。 此外，每個等價類（即陪集）都與$H$具有相同的基數，透過雙射$H\to gH,h\mapsto gh$。 $\Box$

命題（右陪集數量等於左陪集數量）:

令$G$是一個群，$H\leq G$是一個子群。 那麼$H$的右陪集的數量等於$H$的左陪集的數量。

證明： 根據拉格朗日定理，左陪集的數量等於$|G|/|H|$。 但是我們可以考慮對偶群$G^{o}$的$G$。 它的左陪集幾乎完全是$G$的右陪集； 只是乘積的順序顛倒了。 但特別地，$G^{o}$的左陪集的數量，根據拉格朗日定理等於$|G^{o}|/|H^{o}|=|G|/|H|$，等於$[G:H]$，這就是我們要證明的。 $\Box$

因此，我們也可以用符號$[G:H]$來表示右陪集的數量。

命題（度數公式）:

令$G$是一個群，令$L\leq H\leq G$。 那麼

$[G:L]=[G:H][H:L]$.

Proof: We may partition $H$ into a family of left cosets $(h_{\lambda }L)_{\lambda \in \Lambda }$, where for all $\lambda \in \Lambda$ we have $h_{\lambda }\in H$. Moreover, $G$ may be partitioned into a family $(g_{\alpha }H)_{\alpha \in A}$ of left cosets of $H$. Then $(g_{\alpha }h_{\lambda }L)_{(\alpha ,\lambda )\in A\times \Lambda }$ is a family of left cosets of $L$ that partitions $G$ (since each element $j\in G$ is in one left coset $g_{\alpha }H$ of $H$, and then $g_{\alpha }^{-1}j\in H$ is in a unique coset $h_{\lambda }L$, and then $g_{\alpha }h_{\lambda }L$ is the unique coset in which $j$ is), and the cardinality of this family, which is $|A\times \Lambda |=|A||\Lambda |$, is the number of left cosets of $L$ in $G$. $\Box$

練習

1. 證明 $g\in g'H\Leftrightarrow gH=g'H$，從而建立另一個關於同一個陪集的等價關係的公式。
2. 用不使用索引表示法的方式，為右陪集制定拉格朗日定理。