群論/自由積與合併和

定義（簡化詞）:

設$S$ 是任何集合，並定義集合$S^{-1}$ 為集合 $S$ 元素的形式逆；也就是說，$S^{-1}:=\{s^{-1}|s\in S\}$，因此$S\cap S^{-1}=\emptyset$；例如，我們可以定義 $s^{-1}:=\{\emptyset ,s\}$。設 $\varepsilon$ 表示空元組。則$S$ 上的簡化詞是

1. 空元組$\varepsilon$，或
2. $S\cup S^{-1}$ 元素的有限元組$(r_{1},\ldots ,r_{n})$，使得當$r_{j-1},r_{j}$ 是兩個相鄰元素時，既沒有$r_{j-1}\in S$ 和$r_{j-1}=r_{j}^{-1}$，也沒有$r_{j-1}\in S^{-1}$ 和$r_{j-1}^{-1}=r_{j}$。

定義（空詞）:

空元組$\varepsilon =()$ 也稱為空詞

命題（將元組簡化為簡化詞）:

設 $S$ 為任意集合，並設 $S^{-1}$ 為形式逆元的集合。假設 $(r_{1},\ldots ,r_{n})$ 是任何元組（不一定是最簡字）。那麼在有限步內，可以透過刪除相鄰元素 $r_{j-1},r_{j}$ 從 $(r_{1},\ldots ,r_{n})$ 中得到一個最簡字，使得 $r_{j-1}\in S$ 且 $r_{j-1}=r_{j}^{-1}$ 或 $r_{j-1}\in S^{-1}$ 且 $r_{j-1}^{-1}=r_{j}$.

證明： 這是直接的，因為元組 $(r_{1},\ldots ,r_{n})$ 的長度是一個整數，每當刪除與最簡字定義相矛盾的相鄰元素時，長度就會減少 2。重複進行這種消除，直到不再可能，從而在有限步內得到最簡字。 $\Box$

注意，當 $n$ 為奇數時，以這種方式得到的最簡字將不是空元組。否則，可能會得到空元組。

定義（自由群）:

設 $S$ 為任意集合。那麼在 $S$ 上的自由群定義為群 $F\langle S\rangle$，其元素是在 $S$ 上的最簡字，其群運算由先連線再進行 化簡為最簡字 給出。

命題（自由群是一個群）:

設 $S$ 為一個集合。那麼 $F\langle S\rangle$ 是一個群。

證明： 空元組 $\varepsilon$ 作為單位元。 結合律成立，因為如果 $(r_{1},\ldots ,r_{n}),(t_{1},\ldots ,t_{m}),(u_{1},\ldots ,u_{k})$ 是三個簡化詞，則

最後，只要 $(r_{1},\ldots ,r_{n})$ 是一個簡化詞，我們根據 $n$ 使用歸納法證明它有一個逆元。 當然空詞有 實際上，假設 $r_{n}\in S$； 則 $(r_{1},\ldots ,r_{n})(r_{n}^{-1})=(r_{1},\ldots ,r_{n-1})$，根據歸納假設，它有一個逆元 $(t_{1},\ldots ,t_{m})$，因此根據結合律，$(r_{n}^{-1})(t_{1},\ldots ,t_{m})$ 是 $(r_{1},\ldots ,r_{n})$ 的逆元。 $\Box$

習題

1. 證明當 $S$ 是一個集合使得 $|S|\geq 2$ 時，則 $F\langle S\rangle$ 不是一個阿貝爾群。