群論/帶結構的群

定義（帶結構的群）:

令 ${\mathcal {C}}$ 為一個具體範疇。那麼帶結構的群範疇是${\mathcal {C}}$ 的子範疇，定義如下

• 其物件是${\mathcal {C}}$ 中的物件 $G$，使得範疇乘積 $G\times G$ 存在（並且，在集合層面上，等於$G$ 自身集合論上的乘積，包括投影），並且其底層集合具有群結構，使得群律為${\mathcal {C}}$ 中的一個態射 $G\times G\to G$，並且求逆是一個態射$G\to G$ 在${\mathcal {C}}$ 中。
• 其態射是${\mathcal {C}}$ 中的態射 $f:G\to G'$，在集合層面上，也是群同態。

命題（在具有足夠常數態射的範疇中，對於每個帶結構的群，用元素乘法是一個底層具體範疇中的自同構）:

令 $G$ 為一個帶結構的群，其額外結構由具體範疇${\mathcal {C}}$ 給出，使得每個常數態射$G\to G$ 是${\mathcal {C}}$ 的一個態射。此外，假設 $g\in G$。那麼函式

$G\to G,h\mapsto gh$

是類別${\mathcal {C}}$中$G$的自同構。

證明：如果我們證明給定的函式是一個態射，我們就完成了證明，因為逆是由左乘$g^{-1}$給出的。

因此，考慮態射$G\to G\times G$，其第一個分量由與$g$相關的常數函式給出，其第二個分量由$G$上的恆等式給出：將其與群律的後合成產生定理陳述中的態射，因此它是${\mathcal {C}}$的態射。 $\Box$