群論/正規子群和諾特同構定理

定義（正規子群）:

設 $G$ 是一個群。一個子群 $H\leq G$ 被稱為正規子群 當且僅當對於每個 $g\in G$ 我們有 $gH=Hg$.

命題（不相交的正規子群的元素可交換）:

設 $G$ 是一個群，設 $G_{1},G_{2}\trianglelefteq G$ 使得 $G_{1}\cap G_{2}=\{1\}$。那麼 $[G_{1},G_{2}]=1$.

證明： 令 $a\in G_{1}$ 且 $b\in G_{2}$。由於 $G_{1}$ 是一個正規子群，$bG_{1}=G_{1}b$，所以存在 $\alpha \in G_{1}$ 使得 $ab=b\alpha$。類似地，由於 $G_{2}\trianglelefteq G$，存在 $\beta \in G_{2}$ 使得 $b\alpha =\alpha \beta$。那麼 $ab=\alpha \beta$，因此 $\alpha ^{-1}a=\beta b^{-1}$，並且由於 $G_{1}\cap G_{2}=\{1\}$，我們得到 $\alpha =a$，使得 $ab=ba$，並且由於 $a\in G_{1}$ 且 $b\in G_{2}$ 是任意的，$[G_{1},G_{2}]=1$。 $\Box$

命題（群內直積的刻畫）:

令 $G$ 為一個群，並令 $G_{1},\ldots ,G_{n}\leq G$ 為 $G$ 的子群。考慮由這些子群生成的群 $H:=\langle G_{1},\ldots ,G_{n}\rangle$ 。以下等價

1. 函式 $\Phi :G_{1}\times \cdots \times G_{n}\to H,(g_{1},\ldots ,g_{n})\mapsto g_{1}\cdots g_{n}$ 是一個同構
2. 對於 $j\in [n]$ ，我們有 $G_{j}\trianglelefteq G$ 且 $G_{j}\cap \langle G_{1},\ldots ,G_{j-1},G_{j+1},\ldots ,G_{n}\rangle =\{1\}$
3. $H$ 中的每個元素都可以唯一地寫成乘積 $g_{1}g_{2}\cdots g_{n}$ ，其中對於 $j\in [n]$ ，我們有 $g_{j}\in G_{j}$

Proof: Certainly 1. $\Rightarrow$ 2., since for all $j\in [n]$, the subgroup $G_{j}$ of $G$ corresponds via $\Phi$ to the subgroup $\{(g_{k})_{1\leq k\leq n}|\forall k\in [n]:k\neq j\Rightarrow g_{k}=1\}$, which is certainly normal. For 2. $\Rightarrow$3., observe that any element of $H$ may be written as a product $g_{1}g_{2}\cdots g_{m}$, where $m\in \mathbb {N}$ and each $g_{j}$ is an element of some $G_{j}$. But by 2., the $G_{j}$ are pairwise disjoint, so that any elements in distinct $G_{j}$ commute. Hence, we may sort the product $g_{1}g_{2}\cdots g_{m}$ so that the first few entries are in $G_{1}$, the following entries are in $G_{2}$ and so on. The products of the entries that are contained within $G_{j}$ then form the element as required by the decomposition in 3. Finally, for 3. $\Rightarrow$ 1., observe that 3. implies that the given function is bijective. But it is also a homomorphism, because 3. immediately implies that the $G_{j}$ are disjoint, and we may use that elements of disjoint normal subgroups commute to obtain that $\Phi$ indeed commutes with the respective group laws. $\Box$

定義（子群乘積）:

令 $G$ 為一個群，並令 $L,H\leq G$ 為子群。那麼 $L$ 和 $H$ 的 **子群乘積** 定義為

$LH:=\{lh|l\in L,h\in H\}$.

通常情況下，子群乘積不是一個子群。但是，如果乘積中涉及的其中一個子群是正規子群，那麼它就是

命題（子群與正規子群的子群乘積是子群）:

設 $G$ 為一個群，設 $L,H\leq G$ 為子群，其中 $L,H$ 之一為正規子群。那麼 $LH$ 和 $HL$ 都是 $G$ 的子群。

證明：不失一般性，假設 $L$ 為正規子群。設 $lh,jg\in LH$，其中 $l,j\in L$ 且 $h,g\in H$。那麼

$lh(jg)^{-1}=lj'hg^{-1}\in LH$

對於某個 $j'\in L$，因為 $L$ 為正規子群（這裡我們應用了 子群判別準則）。類似地，$HL$ 是一個子群。 $\Box$

命題（正規子群的乘積是正規的）:

設 $G$ 為一個群，設 $L,H\triangleleft G$ 為 $G$ 的正規子群。那麼 $LH\triangleleft G$，即 $LH$ 是 $G$ 的正規子群，且對於 $HL$ 亦然。

證明： 由於對稱性，只需證明 $LH$ 是一個正規子群。事實上，設 $g\in G$ 以及 $lh\in LH$，其中 $l\in L$ 以及 $h\in H$。那麼

$g^{-1}lhg=g^{-1}lgh'=g^{-1}l'h'=l'h'$

對於某些 $l'\in L$，$h'\in H$，因為 $L,H$ 是正規的。 $\Box$

練習

1. 證明正規子群的交集也是正規的。
2. 設 $G$ 是一個群，並且設 $H_{1},\ldots ,H_{n}\trianglelefteq G$ 這樣 $[G:H_{1}],\ldots ,[G:H_{n}]$ 是兩兩互素的。證明 $G/(H_{1}\cap \cdots \cap H_{n})\cong G/H_{1}\times \cdots \times G/H_{n}$。