群論/表示

定義（表示）:

令 $G$ 為一個群，${\mathcal {C}}$ 為一個範疇，$A$ 為 ${\mathcal {C}}$ 中的一個物件。那麼 $G$ 在 $A$ 上的表示（也稱為作用）是 ${\mathcal {C}}$ 的自同構群的一個群同態

$G\to \operatorname {Aut} (A)$.

例子（對積集起作用的對稱群）:

令 $S$ 為一個集合，令 $S^{n}$ 為 $n$ 個 $S$ 的積。對稱群透過以下方式作用於 $S^{n}$：

$\sigma (x_{1},\ldots ,x_{n}):=(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})$.

請注意，在此記號中，我們將 $G$ 的元素與 $A$ 的自同構等同起來，該元素透過表示的同態被對映到該自同構。這種約定在整個群論中都被遵循，並且會被所有數學家理解。

定義（表示的等價性）:

設 $G$ 為一個群，${\mathcal {C}}$ 為一個範疇，$A,B$ 為 ${\mathcal {C}}$ 的物件，並且 $\rho :G\to A$、$\psi :G\to B$ 是 $G$ 在 $A$ 和 $B$ 上的兩個表示。那麼，一個**表示的等價**是一個同構 $f:A\to B$，使得

$\forall g\in G:g\circ f=f\circ g$.

命題（表示的等價的逆是表示的等價）:

令 $G$ 是一個群，${\mathcal {C}}$ 是一個範疇，$A,B$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中的兩個物件，以及 $\rho :G\to A$、$\psi :G\to B$ 是 $G$ 在 $A$ 和 $B$ 上的兩個表示。令 $f:A\to B$ 是表示的一個等價。那麼 $f^{-1}:B\to A$ 也是一個等價表示。

證明：我們有

$g\circ f^{-1}=f^{-1}\circ g\Leftrightarrow f\circ g\circ f^{-1}=g\Leftrightarrow g=g$,

因為 $f$ 是表示的一個等價。 $\Box$