遊戲開發指南/理論/數學/對數

這是一個對數圖的例子，它是指數圖在直線 y=x 上的反射。

關於

對數是回答這個問題的答案：“我需要將這個已知數提高到多少次冪才能得到另一個已知數？”

問題的例子

$2^{x}=32$

改寫成對數

$\log _{2}(32)=x$

你會把它讀作“以2為底的對數32”。

從圖中可以看出，對數不能為負數。仔細想想，這很有道理，因為它是一個指數圖的反射。當您有一個正數，並將它提高到任何數的冪時，結果始終為正數，永不為 0；因此，對數的定義域如下：$\log _{a}(x),x>0$.

組合對數

在組合對數時，您應該瞭解 3 條規則。

$\log _{k}a+\log _{k}b=\log _{k}ab$

$\log _{k}a-\log _{k}b=\log _{k}{\frac {a}{b}}$

$a\log _{k}(b)=\log _{k}(b^{a})$

展開對數

在展開對數時，您只需執行組合對數的逆操作即可。

示例 1

$\log _{4}{\bigg (}{\frac {x^{2}}{5^{3}y}}{\bigg )}=\log _{4}(x^{2})-\log _{4}(5^{3}y)=\log _{4}(x^{2})-\log _{4}(5^{3})+\log _{4}(y)=2\log _{4}(x)-3\log _{4}(5)+\log _{4}(y)$

示例 2（需要了解指數）

$\log _{9}{\bigg (}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{5}}}{\bigg )}=\log _{9}{\bigg (}{\frac {1}{5^{\frac {1}{3}}}}{\bigg )}=\log _{9}(5^{-{\frac {1}{3}}})=-{\frac {1}{3}}\log _{9}5$

對數與指數的抵消

還有幾個你需要知道的規則。

$\log _{a}a^{x}=x$

$a^{\log _{a}x}=x$

$\log _{a}b={\frac {\log _{n}a}{\log _{n}b}}$ 其中 $n$ 可以是任何數字。

$\log _{a}1=0$

注意：如果您使用計算機進行復雜的演算法，請嘗試以 2 為底的對數表示您的答案，因為無論您輸入什麼底數，計算機都會將其轉換為 2 為底。這樣操作是為了避免計算機每次都進行轉換，從而使演算法執行速度更快。

使用這些規則平衡方程

因此，當您有一個普通方程時，您可以使用諸如“將兩邊乘以 2”或“將兩邊加上 3”之類的規則。使用對數和指數，您可以做類似的事情。

你現在可以

• “將兩邊以某個數字為底數進行指數運算”。
  • 示例使用

$log_{3}x=5\rightarrow 3^{log_{3}x}=3^{5}\rightarrow x=3^{5}$

• “將兩邊取對數（以相同底數）”。
  • 示例使用

$4^{x}=7\rightarrow \log _{4}(4^{x})=log_{4}7\rightarrow x=log_{4}7$

記號

數學常數 $e$ 通常與對數一起使用，因為它被稱為對數的自然底數。

$e=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995\dots$

對數已經開發出某些簡寫符號，如下所示

$\log _{e}(x)=\ln(x)$

$\log _{2}(x)=$ lb $(x)$

$\log _{10}(x)=\log(x)$

數量級

對於這個數量級，我們將使用 10 作為底數，因為我們使用的是十進位制系統。

$\log _{10}1=0$

$\log _{10}10=1$

$\log _{10}100=2$

$\log _{10}1000=3$

$\log _{10}10000=4$

注意：請記住這是一個對數尺度，這意味著 10 和 100 之間的中間值 (55) 不會產生中間值 ($\log _{10}55\neq 1.5,\log _{10}55\approx 1.74$）。