HSC 擴充套件 1 和 2 數學/4 單元/複數

本主題從代數和幾何角度介紹了複數系統。其基本思想是引入一個數字 $i\,$，使得 $i\,$ 和 $-i\,$ 是二次方程的兩個解，

$x^{2}+1=0\,$

$i\,$ 的倍數被稱為純虛數，而可以表示為 $a+bi\,$（其中 $a\,$ 和 $b\,$ 是實數）被稱為複數。（這意味著所有實數也是複數。）複數的代數運算遵循所有標準代數規則，還有以下規則：

$i^{2}=-1\,$

這使得代數簡化成為可能。

複數的結構

阿甘（複數）平面上一個點的圖，顯示極座標形式和直角座標形式

實部和虛部

所有複數都可以寫成 $a+ib$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是實數。在這種形式下，實部是 $a$，虛部是 $b$。複數 $z$ 的實部通常記為 ${\mbox{Re}}(z)$，虛部記為 ${\mbox{Im}}(z)$。

複數的向量幾何表示（模長-輻角形式）

有時用向量表示複數會很有用。如果 $z=x+iy\,$，則可以在數軸上以 $(x,y)\,$ 為座標畫出一個點。從原點到點 $(x,y)\,$ 的向量也可以用它的 *模長* 或 **模數** （即從原點到點的距離）來描述——記為 $|z|\,$ ——以及它的 *角度* 或 **輻角** （即連線原點和該點的直線與 $x$ 軸的夾角）——記為 $\arg z$。模長通常記為 $r$，輻角記為 $\theta$。複數 $z=x+iy\,$ 就可以用 $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\,$ 的形式表示，其中 $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ 且 $\theta =\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}$ （錯誤：參見討論）。這被稱為 **模長-輻角形式**，通常縮寫為 $z=r{\mbox{cis}}\theta \,$。

複數的代數運算

本主題要求你經常對複數進行代數運算。為了做到這一點，你必須熟悉以下內容（你可以在 維基百科的複數頁面 上閱讀）：

• 複數相等的定義和係數相等
• 複數的加法、減法和乘法
• 複數的 共軛複數，包括它的代數簡化。你應該嘗試使用 $z=x+iy\,$ 和 ${\overline {z}}=x-iy$ 的形式證明一些性質。
• 代數處理複數分數

二次公式中的負平方根

複數允許我們使用二次公式來求解所有二次方程，即使平方根為負數。考慮以下二次方程，它沒有實數解

$x^{2}+x+1=0\,$

使用二次公式

${\begin{aligned}x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\&={\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}\end{aligned}}$

我們處理負的平方根如下

${\begin{aligned}{\sqrt {-3}}&={\sqrt {3\times (-1)}}\\&={\sqrt {3}}\times {\sqrt {-1}}\end{aligned}}$

然而，需要注意的是

${\sqrt {-1}}\neq i\,$

而是

${\sqrt {-1}}=\pm i\,$

所以我們繼續使用二次公式

${\begin{aligned}x&={\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}\\&={\frac {-1\pm ({\sqrt {3}}\times {\sqrt {-1}})}{2}}\\&={\frac {-1\pm ({\sqrt {3}}\times (\pm i))}{2}}\\&={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}\\&={\frac {-1}{2}}\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}i\end{aligned}}$

最後一種形式是首選的，因為它完全將方程中的實部和虛部分開了。注意，通常情況下，這裡顯示的細節是不需要的；預計你可以跳過上面工作中的第一行到第四行。

${\sqrt {-1}}\,$ 不是唯一的

雖然指出

${\sqrt {-1}}\neq i\,$

可能看起來很迂腐，但它是一件很重要的事情，要意識到並注意它。在實數系中，$x={\sqrt {a}}$ 被定義為（對於 $x$）的 **正** 解

$x^{2}-a=0\,$

在複數系中，沒有有用的正負意義，因此平方根不能唯一定義。對於所有意圖和目的，$i\,$ 可以被定義為 $x^{2}+1=0$ 的“另一個”根，處理複數不會改變。

為了說明直接說 ${\sqrt {-1}}=i\,$ 是錯誤的，請考慮以下情況：

$1={\sqrt {1}}={\sqrt {(-1)\times (-1)}}={\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i^{2}=-1$

錯誤在於

• 將實數（唯一）定義的 ${\sqrt {x}}$ 與複數（非唯一）定義混淆
• 假設 ${\sqrt {-1}}=i\,$。如果我們不假設這一點，我們可以寫成

${\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=(\pm i)\times (\pm i)=\pm i^{2}=\pm 1\,$

至少包含正確答案。

複數平方根

你應該能夠求解類似以下的方程：

$z^{2}=1+i\,$

為了做到這一點，我們首先令

$z=a+ib\,$

然後

${\begin{aligned}(a+ib)^{2}&=1+i\\a^{2}+2aib+(ib)^{2}&=1+i\\a^{2}+2aib+i^{2}b^{2}&=1+i\\a^{2}+2abi-b^{2}&=1+i\\\end{aligned}}$

為了使兩個複數相等，它們的虛部和實部必須相等。因此，我們可以分別將 i 的係數（複數係數）和實數相等。由此，我們可以解出 a 和 b

實部: $a^{2}-b^{2}=1$

虛部: $2ab=1$

解出

${\begin{aligned}b&={\frac {1}{2a}}\\a^{2}-\left({\frac {1}{2a}}\right)^{2}&=1\\a^{4}-a^{2}-{\frac {1}{4}}&=0\\\left(a^{2}\right)^{2}-\left(a^{2}\right)-{\frac {1}{4}}&=0\\a^{2}&={\frac {1\pm {\sqrt {2}}}{2}}\\\end{aligned}}$

但 $a$ 是實數，所以 $a^{2}$ 是正數。

${\begin{aligned}a^{2}&={\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\\a&=\pm {\sqrt {\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}}\\b&={\frac {1}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {1}{2+2{\sqrt {2}}}}}\\z&=a+ib\\&=\pm \left({\sqrt {\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}}+{\sqrt {\frac {1}{2+2{\sqrt {2}}}}}i\right)\end{aligned}}$

對於 $z$，我們有兩個解，這是有道理的，因為二次表示式有兩個根。我們可以透過平方來驗證 $z^{2}=1+i$（留給讀者作為練習）。