HSC 擴充套件 1 和 2 數學/積分

面積

• 微積分基本定理: $\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, 其中 ${\frac {d}{dx}}F(x)=f(x)$

旋轉體的體積

回想一下，固體的體積可以透過 $V=Ad\$ 求得，其中 $A$ 是橫截面面積，而 $d\$ 是固體的深度，它垂直於橫截面面積。

類似地，具有圓形橫截面的固體的體積可以透過

• 繞軸（通常為 $x\$ 或 $y\$ 軸）
• 旋轉曲線

對圓形切片的面積進行積分

由於圓的面積是 $A=\pi r^{2}\$，那麼繞 $x$ 軸旋轉生成的固體的體積的積分是 $V=\pi \int _{a}^{b}y^{2}dx$

注意，這是一個圓形橫截面切片面積的總和，即 $\sum \pi r^{2}=\pi \sum r^{2}$.

[編輯 | 編輯原始碼]

• [編輯 | 編輯原始碼]
• $n\$-個區間 ($n+1\$ 個函式值): $\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {h}{2}}\left[f(a)+2\sum f(x_{i})+f(b)\right]$

辛普森法則

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]$