HSC 擴充套件 1 和 2 數學/線性函式

線性函式 y = mx + b 及其圖形

當 m 和 b 為數值時，線性函式 y = mx + b 由一條直線表示。

線性方程 <math> mx + b = 0, (m \neq­ 0) </math> 只有一個根，如果 m 和 b 為有理數，則該根為有理數。這個簡單且看似微不足道的結論值得注意；它並不適用於二次方程。

直線

過給定點且斜率為給定值的直線方程

過固定點 (x₁, y₁) 且斜率為 m 的直線方程為 y – y₁ = m(x – x₁)。

過兩個給定點的直線方程

過兩個給定點 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 的直線方程可以透過注意到斜率 m 必須是 y₂ – y₁ 與 x₂ – x₁ 的比率，即

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

驗證數字對 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 是否確實滿足最終方程。

一般方程 ax + by + c = 0

線性方程 ax + by + c = 0 表示一條直線，前提是 a 和 b 中至少有一個不為零。

平行線

平行線具有相同的斜率

垂直線

兩條斜率分別為 m 和 m' 的直線垂直當且僅當 mm' = –1.

直線交點

過兩條給定直線交點的直線方程

任何過 a₁x + b₁y + c₁ = 0 和 a₂x + b₂y + c₂ = 0 交點的直線都具有方程

$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}+k(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})=0$

其中 k 是一個常數，其在任何特定直線的取值可以透過給定的附加資訊來確定。

由直線確定的區域：線性不等式

直線軌跡 ax + by + c = 0 將數軸的其餘部分劃分為兩個區域，分別滿足不等式 ax + by + c < 0 和 ax + by + c > 0。每個區域都是一個半平面。

兩條相交直線將平面的其餘部分劃分為四個區域，每個區域都由一對線性不等式定義。

1. $a1x+b1y+c1>0anda2x+b2y+c2>0$ 2. $a1x+b1y+c1>0anda2x+b2y+c2<0$ 3. $a1x+b1y+c1<0anda2x+b2y+c2>0$ 4. $a1x+b1y+c1<0anda2x+b2y+c2<0$

每個這樣的區域是兩個半平面的交集。推廣到三條線兩兩相交的情況，包括將三角形的內部描述為三個半平面的交集，或者三個關於 x 和 y 的線性不等式的公共解。

兩點之間的距離和點到直線的（垂直）距離

應推匯出兩點之間距離的公式，以及點 (x₁, y₁) 到直線 ax + by + c = 0 的垂直距離公式。

例如，可以使用以下證明。

經過 P 且垂直於已知直線的直線方程為

$bx-ay=bx_{1}-ay_{1}\;$

該直線在 (x₀, y₀) 與 ax + by = – c 相交，其中

$(a^{2}+b^{2})x_{0}=b^{2}x_{1}-aby_{1}-ac\;$

$(a^{2}+b^{2})y_{0}=-abx_{1}+a^{2}y_{1}-bc\;$

因此

$x_{1}-x_{0}={\frac {(a^{2}+b^{2})x_{1}-(b^{2}x_{1}-abx_{1}-ac)}{a^{2}+b^{2}}}$

$x_{1}-x_{0}={\frac {a(ax_{1}+by_{1}+c)}{a^{2}+b^{2}}}$

和

$y_{1}-y_{0}={\frac {(a^{2}+b^{2})y_{1}-(a^{2}y_{1}-abx_{1}-bc)}{a^{2}+b^{2}}}$

$y_{1}-y_{0}={\frac {b(ax_{1}+by_{1}+c)}{a^{2}+b^{2}}}$

因此

$(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}={\frac {a^{2}(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}+{\frac {b^{2}(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}$

$(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}={\frac {(a^{2}+b^{2})(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}$

$(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}={\frac {(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$

對分子開平方得到±(ax₁ + bx₁ +c)，但距離只能為正數，因此我們使用絕對值。分母不能簡化，因此保留正平方根符號。

${\mbox{distance}}={\frac {|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

區間的中點

應該給出給定區間的中點的座標的直接推導。

端點為(x₁,y₁)和(x₂,y₂)的區間的中點為

$\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right)$

幾何中的座標方法

用於解決幾何問題的座標方法的示例，應限於具有指定資料的示例。以下是一些典型的問題。

1. 證明頂點為 (1, 1)，(–1, 3) 和 (3, 5) 的三角形是等腰三角形。 2. 證明四個點 (0, 0)，(2, 1)，(3, –1)，(1, –2) 是一個正方形的四個角。 3. 已知A，B，C 分別為點 (–1, –2)，(2, 5) 和 (4, 1)，求點D，使ABCD 為平行四邊形。 4. 求直線x = –3 上的點A 的座標，使得連線A 與B (3, 5) 的直線垂直於直線2x + 5y = 12。