什麼是函式

本課程的很大一部分致力於研究實變數的實值函式的性質。這樣的函式 $f$ 將給定實數集中的每個元素 $x$ 賦值給一個實數 y，稱為函式 $f$ 在 $x$ 處的值。

學生可以將函式視為一個過程，在該過程中，當輸入一個數字（例如 $x$ ）時，可以生成一個數字（例如 $y$ ）。換句話說，函式只是在每個自變數（例如 $x$ ）只有一個因變數（例如 $y$ ）的關係。使用符號 $f(x)$ 明確表示了 $y$ 對 $f$ 和 $x$ 的依賴關係，表示 $f$ 在 $x$ 處的值。

示例

$f(x)=x^{2}$

對於每個 $x$ 值， $f(x)$ 只生成一個值。可以透過值表來證明這一點。

$x$	0	1	2	3	4
$f(x)$	0	1	4	9	16

函式 y = $f(x)$ 可以用其影像來表示，影像就是所有點 ( $x$ , $f(x)$ ) 的集合，對於 $f$ 定義域中的每個 $x$ ，相對於笛卡爾座標軸 x，y 表示。

請注意，垂直線只與圖形相交一次，因此圖形是一個函式。

然而，關係不同於函式。關係是一組操作，將自變數與一組因變數聯絡起來。換句話說，對於單個 $x$ 值，可能存在多個 y 值。

示例

$x^{2}+y^{2}=1$

這是圓的公式。請注意，垂直線可能與圓相交超過一次，因此對於給定的 x 值，可能存在多個 y 值。這可以用圖形或代數方式說明。

$x^{2}+y^{2}=1$

$y^{2}=1-x^{2}$

$y=\pm {\sqrt[{}]{1-x^{2}}}$

定義域

函式的定義域只是一組可能的 $x$ 值，對於這些值，其對應的 $f(x)$ 存在。

示例

$f(x)={\sqrt[{}]{1-x^{2}}}$

我們知道，在實數中，我們不能對負數開平方根。因此，透過求解以下不等式，我們可以找出此函式的定義域。

$1-x^{2}\geq 0$

$1\geq x^{2}$

$x^{2}\leq 1$

∴ 此函式的定義域是所有實數 x，其中 $-1\leq x\leq 1$ 。

請注意，許多問題圍繞有理函式測試這個主題。請記住，當分母為零時，該數是未定義的。

示例

$f(x)={\frac {1}{x^{2}+5x+6}}$

由於當分母為零時該數是未定義的，我們可以將分母等效為零，以找出該函式何時未定義。

$x^{2}+5x+6=0$

$(x+2)(x+3)=0$

$(x+2)=0$ 或者 $(x+3)=0$

$x=2,3$

∴ 此函式的定義域是所有實數 x，其中 $x\neq 2,3$ .

值域

函式的定義域只是一組可能的 $f(x)$ 值，對於這些值，其對應的 $x$ 存在。這與定義域非常相似，但關注的是不同的軸。

示例

$f(x)=x^{2}$

解決這個問題的最佳方法是繪製一個有關函式的草圖。如您所見，此函式只是一個拋物線。我們知道所有拋物線的兩臂都延伸到正無窮大或負無窮大，具體取決於拋物線符號。在這個拋物線中，我們可以看到它的最小點（最小值）在 0 處，沒有 $f(x)$ 值存在於它之下。因此，我們知道此函式的所有可能的 $f(x)$ 值都高於 0（包括 0）。

∴ 此函式的值域是所有實數 y，其中 $y\geq 0$ .

偶函式/奇函式

首先，我們簡要地看一下一些典型的偶函式。

如明顯所示，偶函式是指關於 Y 軸對稱的函式。現在，為了解決偶函式問題，我們需要將這種地理描述變得更加數學化。

如您所見，如果您輸入 1 或 -1，此函式的輸出保持不變。因此，我們可以推斷出，如果一個函式是偶函式，那麼 $f(x)=f(-x)$ .

示例

證明函式 $f(x)={\frac {x^{4}+1}{x^{2}+x^{4}}}$ 是偶函式。

首先，不要被這個看似複雜的函式嚇倒，你不需要繪製它。

計算 $f(-x)$ ；為此，將所有 x 替換為 (-x)。

$f(-x)={\frac {(-x)^{4}+1}{(-x)^{2}+(-x)^{4}}}$

眾所周知，如果

$(-x)^{2}=x^{2}$ ，因此

$((-x)^{2})^{2}=(x^{2})^{2}$ ，因此

$(-x)^{4}=x^{4}$

事實上，任何偶數次方都會使括號內的值變為正數。

因此

$f(-x)={\frac {x^{4}+1}{x^{2}+x^{4}}}$

∴ $f(x)=f(-x)$ ，f(x) 是偶函式。

軌跡

區域/不等式

因變數和自變數。函式符號。值域和定義域。

本課程的大部分內容都致力於研究實變數實值函式的性質。這樣的函式 f 將給定一組實數中的每個元素 x 賦予一個唯一的實數 y，稱為函式 f 在 x 處的函式值。y 對 f 和 x 的依賴性是透過使用符號 f(x) 來明確表示的，表示 f 在 x 處的函式值。定義 f 的實數 x 的集合稱為 f 的定義域，而當 x 在 f 的定義域中變化時獲得的函式值 f(x) 的集合稱為 f 的值域或像。x 稱為自變數，因為它可以在 f 的定義域內自由選擇，而 y = f(x) 稱為因變數，因為它的值取決於 x 的值。

在本課程中學習的函式 f 通常由一個明確的規則給出，該規則涉及對變數 x 進行計算以獲得 f(x)。因此，函式 f 通常以 ‘y = f(x)’ 的形式描述，並指定 x 的定義域。

在沒有給出定義域的情況下，也經常使用 “函式 f(x)” 這種說法，其中 f(x) 已被規定。在這種情況下，需要培養的理解是，f 的定義域是使表示式 f(x) 定義實數的所有實數的集合。

重要的是要認識到，使用符號 y = f(x) 並不意味著與 f(x) 相對應的表示式對所有 x 都是相同的。例如，規則

$f(x)=x,x\geq 0$

$f(x)=-x,x<0\;$

定義了一個定義域為所有實數 x 的函式。

x 和 y 的使用是慣例，並且與函式 f 的幾何表示有關，即在 x 屬於 f 的定義域的情況下，透過繪製點 (x, f(x)) 的集合來繪製函式 f 的影像，使用笛卡爾 (x, y) 座標系。在實踐中，自變數和因變數的其他符號經常出現，學生應該熟悉用其他符號定義的函式。

函式的影像。簡單示例。

函式的圖形表示非常有用且重要，就像函式的代數和幾何描述在理解和學習它們的性質方面都有幫助的想法一樣。

函式 y = f(x) 可以透過其影像以圖形方式表示，該影像是在 f 的定義域中每個 x 的點 (x, f(x)) 的集合，相對於笛卡爾座標軸 0x0y 表示。將座標為 (x, f(x)) 的點表示為 P，函式的影像（有時是函式本身）通常被稱為 “點 P(x, f(x)) 的集合”。由於 f 是一個函式，因此在任何縱座標上最多隻有一個點 P 屬於它的影像。y = f(x) 的影像也稱為曲線 y = f(x)，而曲線位於兩個縱座標之間的部分稱為弧。

應該給出函式 y = f(x) 的示例，這些示例說明了不同型別的定義域、有界和無界的值域、連續和不連續的曲線、顯示簡單對稱性的曲線、有尖角的曲線和有漸近線的曲線。應該鼓勵學生養成繪製草圖的習慣，這些草圖表明他們所呈現的任何函式的影像的主要特徵。他們也應該在此時養成檢查函式簡單性質並識別簡單特徵的習慣，例如

函式在何處為正？負？零？; 在何處遞增？遞減？; 它是否有任何對稱性？; 它是有界的嗎？; 它是否有間隙（跳躍）或尖角？; 是否存在漸近線？

瞭解奇函式和偶函式影像的對稱性有助於曲線繪製。

如果對定義域中所有 x 值，f(–x) = f(x)，則函式 f(x) 為偶函式。它的影像關於 y 軸對稱，即它關於 y 軸具有線對稱性。如果對定義域中所有 x 值，f(–x) = –f(x)，則函式 f(x) 為奇函式。它的影像關於點 0（原點或座標軸）對稱，即它關於原點具有點對稱性。

幾何關係的代數表示。軌跡問題。

本節中的一些工作可能有利地與主題 6 和 9 結合起來進行討論。具有給定中心 C 和給定半徑 r 的圓定義為平面中到 C 的距離為 r 的所有點的集合。如果在平面上建立笛卡爾座標軸 0x0y，使得 C 是座標為 (a, b) 的點，則距離公式表明，P(x, y) 在給定圓上當且僅當 x 和 y 滿足方程 (x – a)² + (y – b)² = r²，因此該方程是與上述幾何描述相對應的代數表示。

應該注意，如果使用該方程將 y 表示為 x 的函式，則將獲得兩個函式：y = b + √(r² – (x – a)²) 和 y = b – √(r² – (x – a)²)，每個函式的定義域為 a – r 小於或等於 x 小於或等於 a + r。

一般來說，可以用代數方法描述滿足以幾何術語陳述的簡單條件的點的集合，方法是引入笛卡爾座標並將原始條件解釋為 x 和 y 之間的條件。然後，這些條件通常會簡化為一個或多個方程或不等式。

涉及確定滿足給定數量條件（這些條件可以用幾何或代數方式表達）的點的集合的問題稱為軌跡問題，通常用“找到滿足……的點 P 的軌跡”的形式來表達。實際上，這意味著“找到滿足……的所有點 P 的集合的簡單代數或幾何描述”。

區域和不等式。簡單示例。

處理應限於（笛卡爾 x，y -）平面的區域，這些區域允許簡單的幾何描述——例如，透過使用諸如內部、外部、邊界、邊界、扇區、公共於等詞語——並且允許使用一個或多個關於 x 和 y 的不等式進行簡單的代數描述。

示例應簡單，最多包含一個非線性不等式，但應包括有界區域和無界區域。注意，一個或多個線性不等式的案例在主題 6.4 中被明確列出。

對於每個示例，應繪製一個清晰的草圖圖，說明相關區域。其代數描述涉及兩個或多個不等式的區域應理解為由每個單獨不等式確定的區域的公共部分（交集）。