HSC 擴充套件 1 和 2 數學/級數和級數應用

算術級數。第 n 項和 n 項之和的公式。

一個序列是一組遵循規則或模式的數字。序列中的數字稱為項，用T_n表示，其中n是數字在序列中的位置。項使用自然數 (1, 2, 3 ...) 計數，因此沒有項 0 也沒有負項。序列通常表示為包含其第 n 項和一個規則的方程。例如

$T_{n}\ =2^{n}$

其中T_n是序列的第 n 項，而2ⁿ是序列遵循的規則。

此序列的前四項 (T₁, T₂, T₃, T₄) 為 2, 4, 8, 16。

算術序列

一個算術序列是一個數字序列，其中連續項之間的差是一個常數，稱為公差。

如果你將公差表示為d，則算術序列的前n項可以寫成第一項 T₁ 與公差的倍數的和，即

$T_{1},\ T_{1}+d,\ T_{1}+2d,\ ...,\ T_{1}+(n-3)d,\ T_{1}+(n-2)d,\ T_{1}+(n-1)d$

其中T₁ + (n-1)d是序列的第 n 項。由此我們可以將算術序列的規則寫成

$T_{n}\ =T_{1}+(n-1)d$

其中T_n是第 n 項，T₁是第一項，而d是公差。

由此，我們可以得到一個更一般的方程，該方程將序列的任意兩項與公差聯絡起來。

首先，取兩個不同的項T_a和T_b，並根據規則T_n = T₁ + (n-1)d分別在方程 1 和方程 2 中定義它們

1. $T_{a}\ =T_{1}+(a-1)d$

2. $T_{b}\ =T_{1}+(b-1)d$

現在從方程 2 中減去方程 1

$T_{b}-T_{a}\ =T_{1}+(b-1)d-T_{1}-(a-1)d$

T₁ 項消失，因為它從自身中減去

$T_{b}-T_{a}\ =(b-1)d-(a-1)d$

對等式右側的兩項進行因式分解，將d放在括號外。

$T_{b}-T_{a}\ =(b-1-(a-1))d$

簡化。

$T_{b}-T_{a}\ =(b-a)d$

然後，只需將 T_a 移到等式的右邊，方法是在兩邊都加上 T_a。

$T_{b}\ =T_{a}+(b-a)d$

好了，這就是任何等差數列問題的通用公式。對於大多數人來說，當他們看到方程 T_n = T₁ + (n-1)d 時，這可能是直觀的，但無論如何。從這裡你可以算出公差，如果你知道 T_a 和 T_b 的值，以及 a 和 b 的值。只要你知道了 5 個變數中的 4 個的值，你就可以解出未知的變數，或者如果你在兩個方程中有了 5 個變數中的 3 個的值，你就可以用聯立方程來解。

問題

1. 求數列 1, 5, 9, 13, ... 的第 20 項。
2. 求數列 20, 17.5, 15, 12.5, ... 的通項公式。
3. 寫出等差數列 T_n = 8 - 4n 的前 3 項。
4. 寫出包含所有自然奇數（即 1, 3, 5, ...）的數列的方程。
5. 如果 T₃ = 4 且 T₇ = 100，求 T_n 的公式。
6. 如果 T₁ = 7，公差 d 為 5，且 T_n = 132，求 n。
7. 一個梯子的踏板間距不均勻，每兩根踏板之間的距離增加 0.5 釐米。如果第一根踏板到第二根踏板之間的距離為 20 釐米，那麼第五根踏板到第六根踏板之間的距離是多少？

等差數列

級數是指數列各項的和。如果我們有一個定義為 T_n = n 的數列，那麼它的級數看起來像這樣

$\ 1+2+3+...+n-2+n-1+n$

如果我們將從 T₁ 到 T_n 的數列之和記為 S_n，那麼我們可以寫出方程

$\ S_{n}=1+2+3+...+n-2+n-1+n$

例如，S₅ 等於 15。但這有什麼用呢？難道你不能直接把它們加起來，而不必寫出來嗎？好吧，如果你想求 S₅₀₀。用手加 500 個數字需要很長時間，用計算器可能更好，但只是稍微好一點。但幸運的是，我們有一個非常簡單的快捷方式可以解決這種方程。首先，我們用 T₁ 和公差 d 來寫出 S_n 作為數列項的和。這可以透過使用方程 T_n = T₁ + (n-1)d 來實現，其中級數中的所有項都用這種方式重寫，例如 T₃ = T₁ + (3-1)d，因此 T₃ = T₁ + 2d。所以方程看起來像

$\ S_{n}=T_{1}+T_{1}+d+T_{1}+2d+...+T_{1}+(n-3)d+T_{1}+(n-2)d+T_{1}+(n-1)d$

其中 T₁ + (n-1)d 是第 n 項。這個級數中有 n 項，因此級數中 T₁ 有 n 項。這使我們能夠將這個方程改寫為

$\ S_{n}=nT_{1}+d+2d+3d+...+(n-3)d+(n-2)d+(n-1)d$

嗯，這並沒有真正幫助我們。現在我們只有 T₁ 乘以 n，加上一個公差為 d 的等差數列。難道我們還是像開始一樣卡住了嗎？是的。但接下來的這一步將使一切變得清晰。

如果我們現在使用第 n 項 T_n 而不是第一項來寫出這個和，使用方程 T_b = T_a + (b-a)d，其中 T_a 是第 n 項，以便我們只使用第 n 項和公差，我們將得到方程

$\ S_{n}=T_{n}+(1-n)d+T_{n}+(2-n)d+T_{n}+(3-n)d+...+Tn-2d+T_{n}-d+T_{n}$

其中 T_n + (1-n)d = T₁

這次公差是被減去的，因為在方程 T_b = T_a + (b-a)d 中，a = n，並且在第一項中 b = 0，然後在第二項中 b = 1，所以 (b-a)d 在 b = n 之前為負，在 b = n 時為零。我們可以將它反過來，使它看起來更像我們得到的第一級數，方法是將最大的 d 項放在末尾，並將公式 T_b = T_a + (b-a)d 中的 (b-a) 改為 -(a-b)。

$\ S_{n}=T_{n}+T_{n}-d+Tn-2d+...+T_{n}-(n-3)d+T_{n}-(n-2)d+T_{n}-(n-1)d$

同樣，因為這個數列中有n項，所以這個數列中有n個T_n項。這使我們能夠將這個等式改寫為

$\ S_{n}=nT_{n}-d-2d-3d-...-(n-3)d-(n-2)d-(n-1)d$

哇，現在我們有n次方項乘以n，它有一個算術數列，其中公共差正在從它中減去，我想回到開頭了。但是嗯，這讓我想起另一個等式......呃......二次公式？不......哦，等等，我們剛看到同一個數列用不同的但類似的形式寫出來。

$\ S_{n}=nT_{1}+d+2d+3d+...+(n-3)d+(n-2)d+(n-1)d$

有趣，但我們如何利用它呢？好吧，如果你還沒有弄清楚我們要做什麼，別擔心，因為這東西相當棘手。我們將把兩個等式加在一起。怎麼做？像這樣

$\ S_{n}+S_{n}=nT_{1}+d+2d+3d+...+(n-3)d+(n-2)d+(n-1)d\quad +\quad nT_{n}-d-2d+3d-...-(n-3)d-(n-2)d-(n-1)d$

我們將一個等式的一側加到另一個等式中對應的另一側，將等式的另一側加到另一個等式中對應的另一側。我可能不需要解釋這個，因為在算術數列部分已經展示過類似的東西，而且你可能之前也見過，但無論如何。

現在，如果我們透過去除公共差的算術數列來簡化。因為第一個數列中的每個公共差項在第二個數列中都有一個對應的負差項，所以它們完美地抵消了。萬歲！

$\ 2S_{n}=nT_{1}+nT_{n}$

哇，沒有更多煩人的公共差項了。現在剩下的就是透過將n放在括號外面進行因式分解，然後透過將兩邊除以 2 使 S_n 成為主語。

$\ S_{n}={\frac {n}{2}}(T_{1}+T_{n})$

哇，這看起來很簡單。所以，如果我們回到同一個數列T_n = n，我們可以毫不費力地找到S₅₀₀。n 將是 500，T₁ 將是 1，T_n 將是 500。所以

$\ S_{n}={\frac {500}{2}}(1+500)$

$\ S_{n}=250(501)$

所以現在我們可以直接說 250 乘以 5 是 1250 乘以 100 是 125000 加上 1 乘以 250 是 125250，就這樣，一個很大的總和。當然，有些問題需要大量的乘法，這會佔用我們繁忙生活中不合理的時間，但這幾乎是計算器的發明原因。

我們可以進一步使用方程T_n = T₁ + (n-1)d 來得到方程

$\ S_{n}={\frac {n}{2}}(T_{1}+T_{1}+(n-1)d)$

簡化為

$\ S_{n}={\frac {n}{2}}(2T_{1}+(n-1)d)$

看起來不錯吧？如果你想找到從第 5 項到第 10 項的所有數字的總和呢？好吧，你只需找到S₁₀ 並減去S₄（S₅ 的總和中包含T₅，我們不想減去它）。所以基本上這就是你需要了解的關於算術數列的所有內容。接下來是幾何數列和數列，還有更多樂趣 =）。

求和符號

你可能應該學習如何理解以這種格式編寫的數列......嗯

問題/練習

1. 證明對於包含所有自然奇數的數列（即 1、3、5、...），它的數列只包含完全平方數（即 1、4、9、...）。
2. 一名跑步者從田野上的一個點出發開始跑步，跑了 10 米，然後轉身跑了 20 米。下一次跑步將是 30 米，然後是 40 米，依此類推。跑步者跑完 10 圈（往返）後跑了多少米？

幾何數列和數列

幾何數列

幾何數列是一個數列（當然了），其中每一項都等於它前面的一項乘以一個常數。一個簡單的例子是 3、6、12、24、48。在這個數列中，用來乘以各項的常數是 2。這個數被稱為公比，因為一項與它前面的一項之間的比率與任何其他項與它前面的一項之間的比率相同。

定義幾何數列中一項的常用方法是

$T_{n}=ar^{n-1}$

其中 T_n 是第 n 項，a 是首項，r 是公比

上面使用的 3、6、12、24、48 的例子將被定義為 T_n = 3×2ⁿ

為了證明一個數列是幾何數列，需要證明項之間存在公比，可以使用以下公式

${\frac {T_{n+1}}{T_{n}}}={\frac {T_{n}}{T_{n-1}}}$

這可以改寫為

$T_{n}^{2}=T_{n+1}\times T_{n-1}$

幾何級數

就像等差級數一樣，幾何級數是幾何數列中各項的和。同樣地，如果我們將幾何級數前 n 項的和記為 S_n，幾何級數的第 n 項記為 T_n = ar^n-1，那麼我們可以得出 S_n 的公式

$S_{n}=a+ar+ar^{2}+...+ar^{n-3}+ar^{n-2}+ar^{n-1}$

現在我們要找到一個只包含首項和公比的 n 次方的簡單公式。為此，我們將等式的兩邊都乘以 r

$rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-2}+ar^{n-1}+ar^{n}$

接下來我們將透過從第二個等式中減去第一個等式來求 rS_n - S_n。

$rS_{n}-S_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-2}+ar^{n-1}+ar^{n}-a-ar-ar^{2}-...-ar^{n-3}-ar^{n-2}-ar^{n-1}$

現在我們只需要收集各項。除了第一個級數中的 a 和第二個級數中的 arⁿ 之外，每一項在另一個級數中都有一個對應的項，所以當我們用一個減去另一個時，這些項會相互抵消。在這個模組中，這種情況似乎經常發生。

$rS_{n}-S_{n}=-a+ar^{n}$

現在我們將等式的兩邊都進行因式分解，將 S_n 放在左邊括號外，將 a 放在右邊括號外。

$S_{n}(r-1)=a(r^{n}-1)$

將等式右邊重新排列，將無符號數字放在前面。現在，我們將等式的兩邊都除以 (r - 1)，使 S_n 成為主語

$S_{n}={\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}$

現在我們可以找到類似於前 10 個 3 的冪的總和，它可以定義為 Tn = 3^n-1。這裡 a = 1，r = 3 且 n = 10。使用公式

$S_{n}={\frac {1(3^{10}-1)}{3-1}}$

$S_{n}=(3^{10}-1)/2$

3 的 10 次方是 59049，所以答案是 59048/2，也就是 29524。太棒了。當然，幾何級數在其他領域，比如複利，有著更好的用途。

無限幾何級數

那麼，如果 n 趨近於無窮大，會發生什麼呢？你會不斷地新增越來越多的項，所以總和也會越來越大。這在某種程度上需要對極限的瞭解，但並非完全如此。在幾何級數的公式中，當 n 趨近於無窮大時，唯一改變的是 rⁿ。如果 r 大於 1，那麼當 n 趨近於無窮大時，rⁿ 也趨近於無窮大。如果你繪製 y=r^x 的影像，就可以看到這一點。如果 r 小於 -1，那麼當 r 趨近於無窮大時，rⁿ 趨近於正無窮大或負無窮大。你無法確定無窮大是奇數還是偶數，所以 r^∞ 可以是負數或正數。當 r = -1 時，也會出現同樣的問題。你無法確定 -1 的無窮大次方是 1 還是 -1，所以總和要麼是未定義的（0 除以 0），要麼是 a。如果 r 是 1，那麼級數公式就不起作用了，因為這會導致分子和分母為 0。如果 r = 1，那麼該序列就是等差數列，公差為 0，所以你可以使用等差數列公式，即使存在公比。

那麼，如果 r 介於 -1 和 1 之間呢？一個小於 1 的數乘以另一個小於 1 的數，會得到一個比這兩個數都小的數。因此，隨著 n 變大，rⁿ 變小。如果 n 無限大，那麼 rⁿ 將無限小。實際上，它會變得非常小，以至於我們可以直接說它等於 0。這樣一來，如果 r 為負數，則無窮大是奇數還是偶數就不重要了，因為 0 既不是正數也不是負數。我們可以改寫幾何級數公式來反映這一點。

$S_{n}\lim _{n\to \infty }={\frac {a(-1)}{r-1}},|r|<1$

rⁿ 實際上變成了 0，因此消失了。我們可以透過將分子和分母都乘以 -1 來使它看起來更整潔，以消除上面的 -1。

$S_{n}\lim _{n\to \infty }={\frac {a}{1-r}},|r|<1$

好了。現在你可以證明 1 加上 1/2 加上 1/4 加上 1/8 加上 1/16 加上...... 等於 2。這有什麼用呢？它可以用來顯示無限和的極限，以及提供另一種將迴圈小數轉換為分數的方法。

迴圈小數

嗯，你可能知道將迴圈小數轉換為分數的代數方法。如果你不知道，沒關係，因為我可以舉個例子，即使這在 2 個單元課程的開頭就講過。假設你有數字 1.26333...。我們可以使用代數將它轉換為分數。

$x=1.26333...$

$100x=126.333...$

$1000x=1263.333...$

右邊的 .333 部分抵消了，消除了迴圈問題

$1000x-100x=1263.333...-126.333...$

$900x=1137$

$x={\frac {1137}{900}}$

$x=1{\frac {79}{300}}$

瞧，小數。但是我們能把等比數列應用到這個嗎？我們可以把 1.26333... 重寫為 1.26 + 0.003 + 0.0003 + 0.0003 + ... + 0.003×10^1-n。所以這裡 1.26 只是一個我們加上的數字，構成等比數列的公比是 0.003，該數列的公比是 10^-1。但這個數列的項數是無窮的。但公比小於 1 且大於 -1，所以我們可以使用無窮等比數列的公式

$S_{n}\lim _{n\to \infty }={\frac {a}{1-r}}$

$S_{n}\lim _{n\to \infty }={\frac {0.003}{1-0.1}}$

$S_{n}\lim _{n\to \infty }={\frac {1}{300}}$

所以現在我們只需要把 1/300 加到 1.26 上，用 300 乘以 1.26 得到 1 加 378 除以 300，結果是 379 除以 300，或者 1 和 79 除以 300。

複利

等比數列在複利中非常有用。從基本的複利開始，假設你在銀行投資了 1000 美元。這家銀行宣傳年利率為 12%，但每月支付利息，所以每月利息為 1%（12% 除以 12 個月）。這筆初始存款在 5 個月後連同所有獲得的利息價值多少？好吧，它每個月都會增加 1%，所以，1 個月後它將是 1000×1.01，2 個月後它將是 1 個月後的金額乘以 1.01，即 1000×1.01²，3 個月後它將是 1000×1.01³，4 個月後是 1000×1.01⁴，5 個月後是 1000×1.01⁵。所以存款一直在乘以 1.01

這可以看作是一個等比數列，1000 是公比，1.01 是公比。在第一項結束時，存款價值為 1000×1.01 美元，在第二項結束時，存款價值為 1000×1.01² 美元，在第 n 項結束時，存款價值將為 1000×1.01ⁿ 美元。基本上，這可以寫成一個通用公式

$A_{n}=PR^{n}$

其中 A_n 是 n 個月或年（或利息支付的頻率）結束時的金額

P 代表本金，是存入的本金。

R 是利率加上 1（所以 1% + 1 是 1.01）

當然，這也適用於貸款，如果沒有任何還款（這非常不負責任），貸款的規模會像銀行存款一樣增加。

在處理此類問題時，您需要注意一些事項。首先，確保您知道利息的支付頻率以及該期間的利率。通常問題，比如上面的問題，會給出每年的百分比利息，但問題說利息是按月支付的，所以您需要將給定的利率除以 12。另一個需要注意的是問題要求的存款價值所在的月份。在上面的問題中，它詢問了每個月結束時的金額。如果它詢問了每個月開始時的金額，第一項將是 1000 美元，最後一項將是 1000×1.01^n-1 美元，所以公式將變為

$A_{n}=PR^{n-1}$

這更接近等比數列的公式，因為沒有第 0 項，所以公比被提升到 n-1 的冪。

年金

這是複利問題的下一個層次。當您沒有新增任何東西時，計算銀行賬戶或貸款中的金額很容易，但如果您定期付款怎麼辦？最常見的情況是用定期分期付款償還貸款。

好吧，您從銀行借了 2000 美元，年利率為 12%（更容易除以 12），利息每月加計，所以月利率為 1%。您想在 5 個月內償還它，並定期償還 Q 美元。

所以您在第一個月開始時有 2000 美元的貸款，並且您希望在每個月結束時償還相同的金額，以便在第 5 個月結束時完全償還貸款。讓我們計算一下每個月結束時貸款剩餘的金額。

在第一個月結束時，您將獲得原始貸款的 1% 利息，然後償還金額 Q。

$\$2000\times 1.01-Q$

在第二個月結束時，利息將加到第一個月結束時的貸款金額上，所以 2000×1.01 - Q 乘以 1.01，然後您償還金額 Q

$\$2000\times 1.01^{2}-1.01Q-Q$

在第三個月結束時，利息的 1% 將加到貸款上，然後您再次償還 Q

$\$2000\times 1.01^{3}-1.01^{3}Q-1.01^{2}Q-1.01Q-Q$

下個月...

$\$2000\times 1.01^{4}-1.01^{4}Q-1.01^{3}Q-1.01^{2}Q-1.01Q-Q$

lalala...

$\$2000\times 1.01^{5}-1.01^{5}Q-1.01^{4}Q-1.01^{3}Q-1.01^{2}Q-1.01Q-Q$

好的，現在我們有了原始貸款乘以利息的冪，減去很多 Q 項。如果你仔細觀察，你可能會注意到 Q 項構成一個幾何級數，即使它是負的。我將為你重新排列它。

$\$2000\times 1.01^{5}-(Q+1.01Q+1.01^{2}Q+1.01^{3}Q+1.01^{4}Q+1.01^{5}Q)$

好了。現在我們可以重寫這個級數，使它看起來漂亮整潔。

$\$2000\times 1.01^{5}-{\frac {Q(1.01^{5}-1)}{1.01-1}}$

因為我們希望在 5 個月內償還貸款，每月償還 Q，所以我們可以在 5 個月後，貸款中的金額將等於 0，因此 PRn - Q 的幾何級數將等於 0

$\$2000\times 1.01^{5}-{\frac {Q(1.01^{5}-1)}{1.01-1}}=0$

$\$2000\times 1.01^{5}={\frac {Q(1.01^{5}-1)}{1.01-1}}$

$(\$2000\times 1.01^{5})(1.01-1)=Q(1.01^{5}-1)$

${\frac {(\$2000\times 1.01^{5})(1.01-1)}{(1.01^{5}-1)}}=Q$

使用計算器，我得到 412.08 的值，所以要償還 5 個月的貸款，你需要每月支付 412.08 美元。

所以現在我們可以像複利一樣做一個通用公式。

$A_{n}=PR^{n}-{\frac {Q(R^{n}-1)}{R-1}}$

其中 An 是 n 個月或年（或利息支付的頻率）結束時貸款中剩餘的金額。

P 代表本金，是指貸款中提取的本金金額。

R 是利率加上 1（所以 1% + 1 是 1.01）

但你也可以將它用於養老金，或者只是銀行存款，透過新增幾何級數而不是減去。

$A_{n}=PR^{n}+{\frac {Q(R^{n}-1)}{R-1}}$

你也可以將它用作貸款和投資的通用公式，其中定期付款正在進行，方法是說對於貸款，本金金額為負（如果你認為貸款從 0 開始，然後你提取 P 來消費，這會在貸款中產生負 P 來平衡它，那麼實際上就是這樣。或者你可以接受貸款會花費你）。這樣，投資就從正數開始，並且越來越大，而貸款就從負數開始，然後越來越小，直到達到 0。或者如果你很愚蠢，你可能會進行負面付款，所以你的投資會越來越小（例如，從銀行賬戶中定期取款），而你的貸款會越來越大（從現有貸款中定期借款）。

同樣，你需要像複利一樣注意相同的事項。確保你知道利息的新增頻率和利息的給定時間尺度，因此，如果存在每月付款，請確保將每年的百分比利息轉換為每月的利息，如果它是每年的利息。它可能是每季度，你永遠不會知道 =）

此外，如果問題要求你在期限開始時找到餘額中的金額，它與你在之前檢視期限結束時的情況相同，所以只需將 n 更改為 n-1，例如

$A_{n}=PR^{n-1}-{\frac {Q(R^{n-1}-1)}{R-1}}$