HSC 擴充套件 1 和 2 數學/二次多項式和拋物線

本節旨在闡述二次函式的代數性質，並將其與拋物線曲線聯絡起來。

二次多項式 ax² + bx + c

二次多項式：ax² + bx + c 是一個二階二次多項式或二次表示式。為了區分 x 和係數 a、b 和 c，它可以被稱為不定元。

當 x 的定義域被指定時，二次多項式就變成了一個函式。在所有將要研究的二次多項式中，係數將是有理數（通常是整數），而 x 的定義域將是實數集。二次函式將表示為

$y=ax^{2}+bx+c$

二次函式的影像

二次函式的影像：已經學習過非常簡單的例子。在進一步練習二次函式的影像時，教師應該強調，在每個特定情況下，一般興趣點，例如（1）對於 x 的較大值，項 ax² 有效地決定了函式的值；（2）影像與二次方程 ax² + bx + c = 0 的根之間的關係。示例應包括影像分別與 x 軸有兩個公共點、一個公共點和沒有公共點的案例。

二次方程的根

使 y = 0 的 x 值是二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根。術語“多項式的零點”可能在教師的酌情決定下引入。

二次不等式

二次不等式：二次函式的影像應用於解決二次不等式，例如，求使 12 + 4m – m² > 0 的 m 值。

二次方程的一般理論，根與係數之間的關係

回顧可以透過因式分解解決的簡單二次方程。

透過“配方法”在特定情況下求解。

需要注意的是，應用於類似 x² + 2x + 2 = 0 的方程，該方法得到 (x + 1)² + 1 = 0，表明找不到可以使 x² + 2x + 2 等於零的（實數）x 值。傳統公式是透過將配方法應用於一般二次方程推匯出來的。

二次方程的根 α、β 與其係數 a、b、c 之間的關係 α + β = –b/a，αβ = c/a 可以直接從一般解中推匯出來。如果一個方程的根是 α、β，則它的形式為 a(x–α) (x–β) = 0 或 a[x2 – (α + β)x + αβ] = 0。

本大綱中不包括涉及尋找根與其他方程的根有特定關係的方程的練習。

判別式

判別式需要被定義並用於確定實數根、相等根或有理根的條件；學生應該被提醒“判別”這個詞在普通語言中的含義。透過實際求解一般二次方程，一個重要的存在定理已經建立起來：一個二次方程可以有兩個（實數）根、一個根或沒有根。它沒有超過兩個根。

二次表示式的分類；兩個二次表示式的恆等

從 $ax^{2}+bx+c=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a^{2}}}\right]$

(一般結果當然會在具體例子之前給出)，推匯出正定、負定和不定二次表示式的條件。只有當 b² > 4ac 時，表示式才能取正值和負值，並且在 x 的所有值範圍內（除了方程 ax² + bx + c = 0 的根之間的值）與 a 符號相同。此外，當 x = – b/2a 時，ax² + bx + c 具有最大值或最小值，且該最大值或最小值為 (4ac – b²)/4a。

另一種方法是考慮表示式

$f(x)=ax^{2}+bx+c,a\neq 0$

1. 假設判別式 Δ = b² – 4ac < 0。則 f 不能為零。因此，如果 Δ < 0 且 a > 0，則對於 x 的所有值，f > 0，稱為正定。如果 Δ < 0 且 a < 0，則對於 x 的所有值，f < 0，稱為負定。2. 如果 Δ > 0，則 f 在 x 的兩個不同值（例如 x₁ 和 x₂）處等於 0。f 的最大值或最小值出現在 x = 1/2 × (x₁ + x₂) 處，並且 f 取正值和負值。3. 如果 Δ = 0，則 f 在 x 的一個值（在 x = – b/2a）處等於 0。然後，對於 x 的所有值，如果 a > 0，則 f >= 0，如果 a < 0，則 f <= 0。4. f 的轉折點位於 df/dx = 0（當 f 的梯度為 0 時），即在 x = – b/2a 處。

學生應該學會找到 f 的轉折點和零點（如果有的話），以便繪製 f 的圖形。

定理：如果 a₁x² + b₁x + c₁ = a₂x² + b₂x + c₂ 對兩個以上的值 x 成立，那麼

$a_{1}=a_{2},b_{1}=b_{2},c_{1}=c_{2}.$

證明歸結為討論方程 ax² + bx + c = 0，其中 a = a₁ – a₂，b = b₁ – b₂，c = c₁ – c₂。初學者會發現證明難以理解。二次方程的解題過程表明，ax² + bx + c = 0 最多可以存在兩個 x 值。有一個例外：如果 a = b = c = 0，則表示式對 x 的所有值都存在。如果已知 ax² + bx + c = 0 對兩個以上的值 x 成立，那麼我們必須得出結論 a = b = c = 0。否則，資料將與我們提供矛盾。示例應包括將二次多項式 ax² + bx + c 表示為 Ax(x – 1) + Bx + C 的形式，其中 C = c，A = a，B = a + b，將二次函式擬合到三個給定的函式值，以及類似的恆等式。

可化為二次方程的方程

應該討論以下型別的示例

$x^{4}-4x^{2}-12=0$
$(x+1)^{2}=4x^{2}$
$9^{x}-4(3)^{x}+3=0$
$(x+{\frac {1}{x}})^{2}-5(x+{\frac {1}{x}})+6=0$

定義為軌跡的拋物線

拋物線定義為一個點的軌跡，該點移動使得它到一個定點的距離等於它到一條定直線的距離。

應該給出焦點、準線、頂點、軸和焦距的定義，並用示例進行說明。

方程 x^2 = 4Ay

如果定點是 (0, A) 並且定直線是 y = –A，那麼軌跡的方程為

$x^{2}=4Ay$ 或 $y=x^{2}/4A$

頂點不在 (0, 0) 處時使用原點變換

例如，透過考慮以下情況：(a) 焦點為 (x₀, A) 並且準線為 y = –A，(b) 焦點為 (0, y₀ + A) 並且準線為 y = y₀ –A，(c) 焦點為 (x₀, y₀ + A) 並且準線為 y = y₀ –A。

對方程的解釋

$(x-x_{0})^{2}=4A(y-y_{0})$

應該將該方程視為表示頂點為 (x₀, y₀)，對稱軸為 x = x₀，焦點為 (x₀, y₀ + A)，準線為 y = y₀ – A 的拋物線。類似地，方程 (x – x₀)² = –4A(y – y₀)，(y – y₀)² = 4A(x – x₀)，(y – y₀)² = –4A(x – x₀) 應該被討論。

從一般二次函式開始