數學歸納法

歸納法是一種證明形式，用於證明包含非封閉表示式（即，帶有$n$項；序列）的方程。

解釋

歸納法首先證明方程對於$n=1$成立，然後證明對於$n=k+1$成立（為證明的目的假設方程對於$n=k$成立）。由於它對於$n=k$成立，對於$n=k+1$也成立，並且對於$n=1$成立，那麼它對於$n=2$成立。由此可見，它對於所有正整數$n$成立。

示例

證明級數和的公式

問：用數學歸納法證明對於所有整數$n\geq 1$，

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+3+....n)^{2}$

A

1. 當$n=1$時，$1^{3}=1={\tfrac {1}{4}}(1)^{2}((1)+1)^{2}={\tfrac {1}{4}}(4)=1$，因此它對於$n=1$成立
2. 假設該命題對於$k,k\in \mathbb {N}$成立。也就是說，假設$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+\cdots +k^{3}={\tfrac {1}{4}}k^{2}(k+1)^{2}$成立。這有時被稱為歸納假設。
3. 然後證明該命題對於$n=k+1$成立（即，證明$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +(k+1)^{3}={\tfrac {1}{4}}(k+1)^{2}(k+2)^{2}$）。

   ${\begin{aligned}{\mbox{LHS}}&=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4+3+\cdots +k^{3}+(k+1)^{3}\\&={\tfrac {1}{4}}k^{2}(k+1)^{2}+(k+1)^{3}&{\mbox{ (by the induction hypothesis)}}\\&={\tfrac {1}{4}}(k+1)^{2}(k^{2}+4(k+1))\\&={\tfrac {1}{4}}(k+1)^{2}(k^{2}+4k+4)\\&={\tfrac {1}{4}}(k+1)^{2}(k+2)^{2}\\&={\mbox{RHS}}\end{aligned}}$

4. 根據數學歸納法的步驟1和步驟2，該命題對於所有正整數$n$都成立。