半衰期計算

機率和確定性計算

由於半衰期計算可能是機率性的或確定性的，因此在考慮兩種方法之間的區別時，必須注意，因為這兩種方法在核物理、化學和醫學以及商業、企業和金融領域都有廣泛的應用。在兩種情況下，半衰期計算都指的是一個群體中的一半成分透過連續的半衰期時間間隔從群體中消除所花費的時間。本書將解釋半衰期計算的機率方法和確定性方法，並展示每種計算方法是如何應用的。

增長和衰減

在時間方面，當一個群體擴張時，它會增長，當它收縮時，它會衰減。增長或衰減的狀態是透過比較當前成員計數與先前計數來確定的。如果先前計數小於當前計數，則該群體處於增長狀態。如果先前計數大於當前計數，則該群體處於衰減狀態。

線性增長和衰減率

有時我們需要知道一個群體增長或衰減的速率。如果已知先前計數和當前計數的時間，則可以透過從當前計數中減去先前計數來獲得成員的變化量，並從當前時間中減去先前時間來獲得時間變化量，然後將成員變化量除以時間變化量來確定變化率。因此，上個月的先前計數為 50，本月的當前計數為 60，這意味著每月增長 10 個成員。

指數增長和衰減率

使用上面的例子可以看出，以每月增加 10 個成員的速度，需要額外 5 個月才能將成員數量從 50 增加到 100，需要額外 10 個月才能將成員數量從 100 增加到 200，需要額外 20 個月才能將成員數量從 200 增加到 400。與其每次將月份數量加倍以獲得相同的成員數量增加，不如將每月成員數量加倍。因此，如果我們將每月成員數量從 10 增加到 20，則只需額外 5 個月而不是 10 個月就能將成員數量從 100 增加到 200 個成員。如果我們接下來將每月成員數量增加到 40，則同樣只需額外 5 個月而不是 10 個月就能達到 400 個成員。當成員數量在相同的時間間隔內翻倍時，可以說該群體每 5 個月翻倍，並遵循指數增長而不是線性增長。這也適用於衰減，其中在 5 個月內失去一半成員的群體被稱為具有 5 個月的半衰期。在這種情況下，以及在利息瞬時複利的情況下，半衰期計算是確定性的，並且其成員的生存率不會隨機變化。

確定性方法 - 複利利率

對於正在虧損的年金，如果已知賬戶的年齡以及賬戶原始價值中剩餘的百分比，則可以使用以下確定性公式確定賬戶的半衰期：賬戶的半衰期等於賬戶的年齡乘以 2 的自然對數除以 1 除以賬戶剩餘原始價值百分比的自然對數。（在本例中，群體由賬戶表示，成員由美元表示。）

${\text{Half life}}={\text{age}}*\left[{\frac {\ln \left({2}\right)}{\ln \left({\frac {1}{p}}\right)}}\right]$

然而，在某些情況下，半衰期不是確定性的，而是機率性的，旨在代表每個成員的生存率是隨機的情況。換句話說，一個群體失去一半成員的速率是根據機率規律而不是根據確定性、穩定、絕對或固定數量來變化的。

機率方法 - 拋硬幣

任何隨機活動的半衰期，例如拋硬幣，被確定為所有可能結果的一半。任何數量的可能結果都可以使用這種方法的數學或計算等效性來表示。對於具有兩種可能結果或半衰期為 1 的群體，其存活機率可以用一個有兩面的硬幣來表示，其中一面代表存活，另一面代表終止。卡片或不同數量的球可以用來表示更多數量的可能結果。集合中的每張卡片或球都標記為“終止”，除了一個標記為“存活”的卡片或球，並將它們放入容器中。對於每次“拋擲”，只取出一張卡片或一個球，如果它標記為“存活”則計算，然後放回容器中以備下次“拋擲”。（容器和裡面的東西通常在每次“拋擲”後充分搖晃。）如果使用六個球或卡片，則半衰期為三。同樣，也可以透過“拋擲”每個專案並僅計算出現“存活”面的專案來考慮具有兩種可能結果的多個專案。也可以使用具有多個面的多個專案。

確定拋擲的起始數量（通常為 100，但 1,500 更好），並完成第一個半衰期期間的所有拋擲，並計算存活者的數量。然後將下一個半衰期期間的拋擲次數設定為先前計算的存活者數量，並重復該過程，直到剩餘的拋擲次數為零。對於每次試驗重複此過程一次。

Option Explicit
Private Sub Form_Load()
Randomize
Dim a, i, j, c, n, d, e, h(), l
n = 2 'number of sides, balls or cards
l = n / 2 'number of tosses per Half-life
a = 100 'number of tosses
'----- initialize the array -------------
ReDim h(a + 1, 20)
For i = 0 To a + 1
For j = 0 To 20
h(i, j) = 0
If i = 0 Then h(i, j) = j
If j = 0 Then h(i, j) = i
Next
Next
'----- begin doing trials --------------
For j = 1 To 8 'number of trials
e = 0 ' set number of half lives to zero
a = 100 'initial number of tosses
Do 'loop until remaining tosses reach zero
e = e + 1 'count number of half lives
c = 0 'reset survival count
For i = 1 To a 'toss the number of times that equal previous survivors count
d = Int(Rnd() * n) 'flip coin or retrieve ball or card
If d <> 0 Then c = c + 1 'if coin, ball, or card survives then count it
Next
a = c 'reset number of tosses to count of survivors
h(e, j) = c 'store count in the array
'Debug.Print "Half-life:"; e; a; " tosses remaining"'verify operation
'Stop
Loop Until c <= 0
Next j
'-------- print chart ---------------
For i = 0 To 20
c = 0
For j = 0 To 8
Debug.Print h(i, j);
If j > 0 Then c = c + h(i, j)
Next
Debug.Print
If c = 0 Then Exit For
Next
'---------- end of program -------------
End
End Sub

結果

*半衰期存活率（半衰期為 1）*
半
衰	期	存活	試驗 1	試驗 2	試驗 3	試驗 4	試驗 5	試驗 6	試驗 7
1	100.00%	100	100	100	100	100	100	100	100
2	50.00%	49	46	50	55	43	55	53	59
3	25.00%	27	17	28	23	21	26	31	29
4	12.50%	10	13	17	9	11	11	15	20
5	6.25%	3	4	9	7	4	4	7	9
6	3.13%	2	1	5	4	2	2	3	4
7	1.56%	1		2	4	2	1	2	2
8	.78%	1		2	2	1	1	1	1
9	.39%			1	1	1	1	1
10	.20%				1		1
11	.10%

試驗 8

[編輯 | 編輯原始碼]

當使用數學符號和基本的計算機原始碼一起以簡單而有意義的方式呈現時，半衰期的機率計算很容易理解。本示例的目的是揭示和解釋半衰期計算在確定考古樣本年齡中的應用。

碳 14 的半衰期為 5,730 年（正負 40 年）。這意味著在 11,460 年後，碳 14 衰變成氮 14 的放射性發射將減少到原來的四分之一，或者如上表所示，大約 25% 的碳 14 存活下來。為什麼？碳 14 轉換為氮 14 的速率是每 5,730 年一個半衰期，這意味著一個 5,730 年前的考古樣本中的碳 14 量將只有今天產生的樣本的一半。以下是以碳 14 衰變為例應用半衰期計算的結果。（注意：公式中的符號“ln”是由維基百科數學標記語言生成的，代表“對數”。由於存在自然對數和以 10 為底的對數，因此必須明確“ln”代表自然對數，而下面基本程式碼中的“log”也代表自然對數。）

[編輯 | 編輯原始碼]

其中h是考古同位素的半衰期，

其中p是考古樣本中同位素的百分比或比例，其中

p={\frac {1}{2^{n}}}

，並且

其中n由考古樣本的年齡與同位素半衰期的比率定義

n={\frac {\text{age of archaeological sample}}{\text{half life}}}

或者

其中考古樣本中同位素半衰期的數量由以下定義

n={\frac {\ln \left({\frac {1}{p}}\right)}{\ln \left({2}\right)}}

並且其中考古樣本的 年齡 定義為

${\text{age}}={\text{h}}\times {\text{n}}$ ${\text{age}}={\text{h}}\times {\text{n}}$

具體來說

其中 h 是碳 14 的半衰期

h=5730\

以及

p={\frac {1}{2^{\left({\frac {11,460}{5,730}}\right)}}}

並且考古樣本中碳 14 的百分比或比例為 25%

p=.25\

以及碳 14 的半衰期數量等於

那麼，考古樣本的年齡將是

11,460=5730*2{\text{ years}}

基本語言計算機程式碼

Option Explicit
Dim h As Double, p As Double, n As Double, age As Double
Private Sub Form_Load()
h = 5730
'Where h is the Half-life of Carbon 14
p = 0.25
'(where p is the percent or portion of Carbon-14 in the archaeological sample) and defined by'
'p = 1 / (2 ^ n)
'and n is defined as the number of half lives
n = log(1/p) / log(2)
'and age of the archaeological sample is defined as
age = h * n
Debug.Print "Half-life", "Percent", "Half-lives", "Age"
Debug.Print h, p, n, age
End Sub