認識論概要/邏輯原理
一個理論可以被認定為其所有原則（公理和定義）的集合，也可以被認定為其所有定理的集合，因為其定理是其原則的邏輯結果。
邏輯原理精確地決定了邏輯結果關係。因此，它們提供了制定所有理論的方法。邏輯甚至可以被視為所有理論的理論。它是所有理論家最基本工具。但它不足以構建好的理論，因為它只教導如何正確推理，而人們可以用錯誤的原則進行正確推理。邏輯展示瞭如何構建所有理論，但它本身並不能教會人們識別好的理論。
當所有斷言（除了其前提之外）都是其前面斷言的明顯邏輯結果時，推理就是邏輯的。這樣，一個邏輯推理證明了其結論是其前提的邏輯結果。邏輯原理是基本規則，它們決定了所有明顯的邏輯結果關係，以及所有邏輯結果關係。
邏輯結果關係可以從邏輯可能性定義。
當且僅當不存在一個邏輯可能的世界，使得C為假而P為真時，C是前提P的邏輯結果。
如果前提為真，則邏輯結果不可能為假。邏輯結果關係必然地從真到真。
要定義一個邏輯可能的世界，我們需要為自身提供基本屬性和關係，以及一個我們可以賦予這些屬性和關係的個體集合。一個語句是原子性的，當它斷言一個個體的基本屬性或幾個個體之間的基本關係。原子語句不能分解成更小的語句。任何原子語句集合都確定了一個邏輯可能的世界，對於這個邏輯可能的世界，所有這些原子語句都是真的，也是唯一真實的原子語句（Keisler 1977）。原子語句集合永遠不會矛盾，因為原子語句不包含否定。
從邏輯可能世界的概念中定義邏輯結果關係，使得可以理性地證明所有邏輯原理。因此，透過原子語句集合來定義邏輯可能的世界，是所有邏輯的基礎。
關於邏輯可能世界的語句是由原子語句和邏輯連線片語成的。主要的邏輯連線詞是否定**不是**，析取**或**，合取**和**，條件**如果那麼**，全稱量詞**對所有x**或**每一個x都是這樣的**，以及存在量詞**存在一個x使得**。
當一個語句由原子語句和邏輯連線片語成時，其真值只取決於所考慮的邏輯可能世界，因為複合語句的真值只取決於其組成的語句的真值。
由否定、析取、合取和條件組成的語句的真值由真值表決定。
| p | 非p |
|---|---|
| 真 | 假 |
| 假 | 真 |
| p | q | p 或 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 真 |
| 假 | 真 | 真 |
| 假 | 假 | 假 |
| p | q | p 和 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 假 |
| 假 | 真 | 假 |
| 假 | 假 | 假 |
| p | q | 如果 p 那麼 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 假 |
| 假 | 真 | 真 |
| 假 | 假 | 真 |
表示式**如果那麼**通常理解為具有必要結果的隱含意義。**如果p那麼q**意味著由於某種原因，**q**是**p**的必要結果。條件的真值表賦予它更廣泛的意義：**永遠沒有p沒有q**。例如，根據這個真值表，如果地球是靜止的，那麼2+2=5是一個真命題。這意味著地球永遠不會靜止，除非2+2=5。由於地球永遠不會靜止，因此這個命題總是真的。
由全稱量詞和存在量片語成的語句的真值由以下兩條規則決定
對所有x，p(x)為真，當所有從p(x)中得到的語句p(i)都為真時，這些語句是從p(x)中得到的，方法是在p(x)中所有出現x的地方用一個個體i的名稱替換x，否則為假。
存在一個x使得p(x)為真，當至少一個從p(x)中得到的語句p(i)為真時，這些語句是從p(x)中得到的，方法是在p(x)中所有出現x的地方用一個個體i的名稱替換x，否則為假。
為了應用這兩條規則，我們用來構成原子語句的個體域必須被確定。這對集合論來說是一個問題，因為我們無法確定所有集合的域。
在語句對所有x，E(x)或存在一個x使得E(x)中，變數x被量詞對所有x或存在一個x使得繫結。當一個變數沒有被繫結時，它在一個語句中是自由的。
一階邏輯只允許對個體域進行量化。我們也可以對所有概念（屬性和關係）的域進行量化，從而定義二階邏輯。但將概念視為個體足以在一階邏輯的框架內重新表述二階邏輯。這就是為什麼一階邏輯是最基本的，也是本章中唯一考慮的邏輯。
否定、合取、析取、條件、以及存在量詞和全稱量詞是最基本的邏輯連線詞。但其他一些連線詞也很重要：雙條件**當且僅當**，異或或替代**要麼要麼**，Sheffer連線詞**既不也不**...
| p | q | p 當且僅當 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 假 |
| 假 | 真 | 假 |
| 假 | 假 | 真 |
雙條件非常常用。特別是，定義是用雙條件來制定的：被定義的表示式為真，當且僅當定義表示式也為真。
| p | q | 要麼 p 要麼 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 假 |
| 真 | 假 | 真 |
| 假 | 真 | 真 |
| 假 | 假 | 假 |
為了區分它與異或，普通析取被稱為包含：p或q或兩者。
| p | q | 既不 p 也不 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 假 |
| 真 | 假 | 假 |
| 假 | 真 | 假 |
| 假 | 假 | 真 |
所有邏輯結果關係都可以用少量基本演繹規則從瑣碎的邏輯結果（顯然是重言式）中產生，這些邏輯結果由重複規則給出
任何包含在前提列表P中的前提都是前提P的邏輯結果。
對於每個邏輯連線詞，都有兩個基本的演繹規則，一個消去規則和一個引入規則（Gentzen 1934，Fitch 1952）。邏輯看起來像一個積木遊戲。人們透過引入和消去邏輯連線詞來組合和分解語句。
我們用邏輯結果的傳遞性規則來補充這些規則
如果C是前提Q的邏輯結果，並且所有前提Q都是前提P的邏輯結果，那麼C是前提P的邏輯結果。
基本演繹規則是直觀的，只要人們理解邏輯結果和可能性以及複合語句的真值從原子語句的真值中決定的概念。人們可以用邏輯可能世界的概念來定義邏輯結果關係，從而嚴格地證明這些直覺的真實性。
重複規則、傳遞規則和基本演繹規則可以被視為邏輯原理的原理，因為它們足以證明所有其他邏輯原理。
我們稍後將證明，三個（甚至兩個）邏輯連線詞就足以定義所有其他邏輯連線詞。因此，六條（甚至四條）基本推演規則就足以產生所有邏輯蘊含關係，包括重複規則和傳遞規則。例如，可以選擇否定、合取和全稱量詞作為基本邏輯連線詞。其他邏輯連線詞的所有推演規則都可以從這三個基本連線詞的六條規則推匯出來。
理論的陳述是由其基本概念（屬性或關係）、個體名稱和邏輯連線詞構成的。個體名稱是常量或變數，可以用函式構造。例如，**x+y** 是用加法函式和變數 **x** 和 **y** 構成的個體名稱。常量是本身就屬於某個個體的名稱。變數是一個有些矛盾的名稱。它是一個個體名稱，但沒有命名任何特定的個體。它用來命名任何個體，而不指定是哪個個體，在一個特定的域中。
邏輯規則說明，一個陳述是其他陳述的邏輯蘊含。當它們包含自由變數（個體、屬性、關係、函式、陳述或有限陳述列表的變數）時，它們為真當且僅當它們在所有自由變數被常量替換的情況下為真。
特殊化規則
如果 **i** 是一個個體，則 **S(i)** 是 **對所有 x，S(x)** 的邏輯蘊含。
**x** 可以是任何個體變數。**i** 可以是任何個體名稱：常量、變數或複合表示式。**S(i)** 是從 **S(x)** 中獲得的陳述，透過將 **i** 替換 **S(x)** 中 **x** 的所有出現。
這條規則是所有邏輯中最重要的一條，因為推理的力量來自於我們用它推理的定律。每當我們將一條定律應用於一個個體時，我們就會了解該定律教給我們的東西，並揭示它賦予我們的推理能力。
概括規則
如果 **S(x)** 是前提 P 的邏輯蘊含，並且 **x** 是前提中未提到的個體變數，則 **對所有 x，S(x)** 是相同前提的邏輯蘊含。
在這條規則以及後面的規則中，*P* 是一個有限的陳述列表。
這條規則的一個應用例子是哲學上的或笛卡爾的*我*。人們可以不針對被命名個體做任何特定的假設就說*我*。因此，所有關於自我的陳述都可以應用於所有個體。例如，如果一個人在不針對自身做任何特定的假設的情況下，證明了*我不能懷疑我在懷疑時我在懷疑*，那麼就可以推匯出*沒有人可以懷疑他們在懷疑時他們在懷疑*。
分離規則
**B** 是兩個前提 **A** 和 **如果 A 則 B** 的邏輯蘊含。
假設合併規則
如果 **B** 是前提 P 和 **A** 的邏輯蘊含，則 **如果 A 則 B** 是前提 P 的邏輯蘊含。
歸謬法原理
如果 **B** 和 **非 B** 都是前提 P 和 **A** 的邏輯蘊含，則 **非 A** 是前提 P 的邏輯蘊含。
雙重否定消去規則
**A** 是 **非非 A** 的邏輯蘊含。
分析規則
**A** 和 **B** 都是唯一前提 **A 且 B** 的邏輯蘊含。
合取的合成規則
**A 且 B** 是兩個前提 **A** 和 **B** 的邏輯蘊含。
論題弱化規則
**A 或 B** 和 **B 或 A** 都是 **A** 的邏輯蘊含。
析取的合成規則
如果 **C** 是前提 P 和 **A** 的邏輯蘊含，並且是前提 P 和 **B** 的邏輯蘊含，則 **C** 是前提 P 和 **A 或 B** 的邏輯蘊含。
直接存在性證明規則
如果 **i** 是一個個體，則 **存在一個 x 使得 S(x)** 是 **S(i)** 的邏輯蘊含。
**i** 可以是任何個體名稱：常量、變數或複合表示式。**S(x)** 是透過將 **x** 替換 **S(i)** 中 **i** 的某些（不一定全部）出現而獲得的公式。**x** 必須是一個在 **S(i)** 中未提到的個體變數。
引入新常量規則
如果 **c** 是一個新的個體常量，則 **S(c)** 是 **存在一個 x 使得 S(x)** 的邏輯蘊含。
**c** 不應出現在前面的公理或公式中。**S(c)** 是從 **S(x)** 中獲得的，透過將 **c** 替換 **S(x)** 中 **x** 的所有出現。
關於函式邏輯的備註：理論中的函式總是可以用關係表示。例如，一個帶一個引數的函式 **f** 可以用二元關係 **R** 表示：**Rxy 當且僅當 f(x)=y**。一個帶兩個引數的函式 **f** 可以用三元關係 **R** 表示：**Rxyz 當且僅當 f(x,y)=z**。當然，對於帶更多引數的函式也是如此。函式也稱為運算子。透過用它們定義的關係替換函式，始終可以將一個用函式定義的結構與一個僅用關係定義的等效結構相關聯。這就是為什麼在邏輯可能世界定義中不需要提及函式的原因。我們可以在沒有函式的情況下進行推理，只用關係邏輯推理。但是，用允許函式的理論推理通常更方便。前面的規則是按照這樣的方式制定的，使得它們對於純關係邏輯和函式邏輯都是有效的。唯一的區別在於個體名稱的構成。如果我們沒有函式，個體名稱是變數或基本常量。我們甚至可以透過將基本常量用屬性表示來省略基本常量：常量 **c** 用屬性 **P** 表示：**Px 當且僅當 x=c**，這僅對 **c** 為真。如果我們以這種方式進行，個體總是用變數命名。
無假設推理和邏輯定律
[edit | edit source]即使在開始時沒有做出任何假設，基本推演規則也可以應用。假設合併規則和歸謬法原理使從假設下的推理過渡到無假設推理成為可能。
無假設推理的結論是普遍的邏輯真理，無論它們所提及的概念的解釋如何，總是為真，除了邏輯連線詞的解釋。它們被稱為邏輯定律或重言式。
邏輯定律的一些例子
純粹的重言式：**如果 p 則 p**
由於根據重複規則，**p** 是 **p** 的邏輯蘊含，因此根據假設合併規則，**如果 p 則 p** 是邏輯定律。
非矛盾律：**非 (p 且 非 p)**
根據分析規則，**p** 和 **非 p** 都是 **p 且 非 p** 的邏輯蘊含，因此根據歸謬法原理，**非 (p 且 非 p)** 是邏輯定律。
排中律：**p 或 非 p**
一個意義完全確定的陳述 **p** 必然為真或為假。不存在第三種可能性。
要呈現一個證明，總是需要指定一個結論依賴的假設。向右移位規則使方便地呈現形式證明成為可能：當我們引入一個新的假設時，我們將它移到右邊。一個結論只依賴於它上面或它左邊的假設，而不依賴於它右邊的假設。
假設排中律可能是假的
- (1) 假設：**非 (p 或 非 p)**
- (2) 假設：**p**
- (3) 根據 (2) 和論題弱化規則，**p 或 非 p**。
- (4) 根據 (1) 和重複規則，**非 (p 或 非 p)**。
- (5) 根據 (2)、(3)、(4) 和歸謬法原理，**非 p**。
- (6) 根據 (5) 和論題弱化規則，**p 或 非 p**。
- (7) 根據 (1) 和重複規則，**非 (p 或 非 p)**。
(8) 根據 (1)、(6)、(7) 和歸謬法原理，**非非 (p 或 非 p)**。
根據 (8) 和雙重否定消去規則，**p 或 非 p**。
基本選擇：**要麼 p，要麼 非 p**
它是非矛盾律和排中律的合取。任何意義完全確定的陳述都是真的或假的，但不能同時為真和假。當一個陳述既為真又為假，或者既不為真也不為假時，它的意義就不是完全確定的：在一個意義上它是真的，在另一個意義上它是假的，或者它既不為真也不為假，因為沒有任何東西能確定它。
斯多葛派發現的一個定律：**如果 (如果 非 p 則 p) 則 p**
例如：如果一切都是假的，那麼有些東西是真的（因為一切都是假的會是真），因此有些東西是真的。
- (1) 假設：**如果 非 p 則 p**
- (2) 假設：**非 p**
- (3) 根據 (1) 和 (2) 以及分離規則，**p**。
- (4) 根據 (2) 和重複規則，**非 p**。
- (5) 根據 (2)、(3)、(4) 和歸謬法原理，**非非 p**。
- (6) 根據 (5) 和雙重否定消去規則，**p**。
根據 (1)、(6) 和假設合併規則，**如果 (如果 非 p 則 p) 則 p**。
所有推演規則，無論是基本的還是推導的，都可以翻譯成邏輯定律，因為如果 C 是前提 P 的邏輯蘊含，則 **如果 P 的合取則 C** 是邏輯定律。例如，**如果 (A 且 如果 A 則 B) 則 B** 是一個翻譯分離規則的邏輯定律。
邏輯蘊含的推導
[edit | edit source]基本推演規則足以推匯出所有邏輯蘊含關係和所有邏輯定律。這就是一階邏輯的完備性定理，由庫爾特·哥德爾在他博士論文中證明（哥德爾 1929，他在一篇不同的但等價的形式系統上進行了推理）。因此，基本推演規則是解決亞里士多德提出但未解決的舊問題的完整解決方案，即找到所有邏輯原理的列表。
例如，讓我們證明 **如果 A 則 C** 是 **如果 A 則 B** 和 **如果 B 則 C** 的邏輯蘊含。
(1) 假設：**如果 A 則 B**，**如果 B 則 C**
- (2) 假設：**A**
- (3) 根據 (1)、(2) 和分離規則，**B**。
- (4) 根據 (1)、(3) 和分離規則，**C**。
根據 (2)、(4) 和假設合併規則，**如果 A 則 C**。
另一個例子是逆否規則：**如果 非 q 則 非 p** 是 **如果 p 則 q** 的邏輯蘊含。
(1) 假設：**如果 p 則 q**
- (2) 假設：**非 q**
- (3) 假設：**p**
- (4) 根據 (1)、(3) 和分離規則，**q**。
- (5) 根據 (2) 和重複規則，**非 q**。
- (6) 非 p 根據 (3)、(4)、(5) 和歸謬法。
如果非 q 則非 p 根據 (2)、(6) 和假設合併規則。
邏輯連線詞可以相互定義。例如，存在量詞可以從全稱量詞和否定定義。
存在一個 x 使得 p 意味著 所有 x 都不滿足非 p 是假的，換句話說，非（對所有 x 來說非 p）。
我們也可以採用相反的定義
對所有 x 來說，p 意味著 不存在一個 x 使得非 p 是假的，也就是 非（存在一個 x 使得非 p）。
同樣，我們可以從合取定義析取，或者反之
p 或 q 意味著 非（非 p 且 非 q）
p 且 q 意味著 非（非 p 或 非 q）
條件連線詞可以從合取或析取定義
如果 p 則 q 意味著 非（p 且 非 q）
如果 p 則 q 也意味著 q 或 非 p
雙條件連線詞 當且僅當 可以從條件連線詞和合取定義
p 當且僅當 q 意味著 （如果 p 則 q）且（如果 q 則 p）
它也可以從其他連線詞定義
p 當且僅當 q 意味著 （p 且 q）或（非 p 且 非 q）
或
p 當且僅當 q 意味著 非（（p 且 非 q）或（非 p 且 q））
也可以引入邏輯連線詞 既不也不 並從它定義所有其他連線詞
非 意味著 既不 p 也不 p
p 且 q 意味著 既不 非 p 也不 非 q
p 或 q 意味著 非（既不 p 也不 q）
如果 p 則 q 意味著 非（既不 非 p 也不 q）
p 當且僅當 q 意味著 既不（p 且 非 q）也不（非 p 且 q）
當推理是邏輯的時，結論不能提供比前提已經給出的更多資訊。否則，推理就不是邏輯的，因為結論在前提為真的情況下可能是假的。邏輯結論總是對前提中已經說過的內容的重新表述。實際上，許多論證毫無意義，因為結論只是前提的重複，只是形式略有不同。我們稱它們為同義反復。它們是“因為它就是如此，所以它是如此”這一主題的變奏。
在邏輯學家定義的精確意義上，同義反復是邏輯規律，這些規律總是為真，無論給它們的詞語（除邏輯連線詞外）賦予什麼樣的解釋。當推理是邏輯的時，語句“如果前提為真則結論為真”總是同義反復，正如邏輯學家所定義的那樣。
結論只是在重複前提中已經說過的內容。推理必須是同義反復才能是邏輯的。但為什麼我們要推理呢？似乎推理並沒有教給我們任何東西。
推理的力量來自於它所基於的一般原則。如果我們將邏輯簡化為基本的命題邏輯（基於所有邏輯原則，除了那些包含全稱量詞和存在量詞的原則），一種語句從來不普遍的邏輯，因為我們沒有全稱量詞，那麼，是的，我們推理的同義反復特徵通常非常明顯。當它不明顯時，只是因為我們的邏輯直覺有限。命題邏輯主要用於改寫我們的斷言。這非常有用，因為理解依賴於表達，但這並不能解釋為什麼推理能讓我們知道我們不知道的事情。
一個語句是規律，當它可以應用於許多具體情況時。它總是可以用以下方式表達
對於 D 中的所有 x，S(x)
換句話說
對於所有 x，如果 x 在 D 中，則 S(x)
D 是規律的範圍。S(x) 是關於 x 的一個語句。
所有形式為 S(i) 的語句，其中 i 是 D 中元素的名稱，S(i) 是透過將 i 替換到 S(x) 中的 x 處得到的語句，都是規律的顯而易見的邏輯結果。S(i) 是規律的一個特例。
當我們學習一個規律時，我們最初只知道一個或幾個特例。我們不可能考慮所有特例，因為它們太多了。每當我們將已知規律應用於一個我們以前沒有考慮過的特例時，我們就會學到一些東西。
規律就像濃縮的資訊。在一個語句中，它確定了可以應用於所有特例的大量資訊。當我們用規律推理時，我們發現的東西不是在前提中說出來的，而只是隱含在其中的。推理使我們能夠發現規律可以教給我們的所有東西。
我們透過驗證邏輯推理是否符合邏輯原則來識別它。但我們如何識別邏輯原則？我們如何知道它們是好的原則？如何證明它們？我們真的確定它們總是能從真前提得出真結論嗎？
利用複合語句真值的定義原則，可以證明我們的邏輯原則為真，因為它們總是能從真到真。例如，只需對條件連線詞的真值表進行推理，就可以證明分離規則的真值。
懷疑論者可能會反對說，這些對邏輯原則的證明毫無價值，因為它們是迴圈的。當我們對邏輯原則進行推理來證明它們時，我們使用的是我們需要證明的相同的原則。如果我們的原則為假，那麼它們就會證明假命題，因此它們可以證明自身的真值。因此，邏輯原則使我們能夠證明它們的真值，並不能真正證明它們的真值，因為假原則也可以做到這一點。
這種反對意見並不具有說服力。我們只需看看被懷疑的迴圈證明，就會確信它們的有效性，僅僅因為它們是優秀且無可辯駁的。沒有疑問，因為一切都清楚地定義和證明。懷疑論者可以正確地指出，這種證明只能說服那些已經被說服的人。但在這方面，說服並不難，因為邏輯原則只是將我們在正確推理時已經知道的東西公式化。
邏輯原則的迴圈性在特殊化規則中尤為明顯
對於任何語句 S(x) 和任何個體 i，S(i) 是 對於所有 x 來說，S(x) 的邏輯結果。 (1)
例如，如果蘇格拉底是人，那麼蘇格拉底是凡人 是 對於所有 x 來說，如果 x 是人，那麼 x 是凡人 的邏輯結果。(2)
要從 (1) 到 (2)，特殊化規則被應用了兩次。語句 S(x) 被特殊化為 如果 x 是人，那麼 x 是凡人，個體 i 被特殊化為 蘇格拉底。
藉助分離規則，我們可以從 A 和 如果 A 則 B 推匯出 B。因此，更完整的規則應該是，我們可以從 A、如果 A 則 B 和分離規則推匯出 B。但這項規則還不完整。更完整的規則，但仍然不完整，是我們可以從 A、如果 A 則 B、分離規則和告訴我們我們可以從 A、如果 A 則 B 和分離規則推匯出 B 的規則推匯出 B。但一定還有另一條規則告訴我們如何應用前一條規則，如此一直到無窮大（卡羅爾，1895）。
如果分離規則本身是一個必須在我們的證明中提到的假設，並且我們的結論是從它推匯出來的，那麼我們的推理將永遠無法開始，因為需要第二條規則來證明從分離規則中推匯出的結論，然後是第三條規則來證明從第二條規則中推匯出的結論，如此一直到無窮大。但邏輯規律不是假設。我們總是可以將它們作為前提，而無需任何其他證明，除了它們是邏輯規律，因為它們不可能是假的，因為它們不可能導致我們犯錯。
概念繫結問題（兩個概念是否指代同一個個體或不同的個體？）可以透過識別概念所歸屬的個體來解決。但是，同一個存在物的名稱多樣性帶來了新的問題：當兩個概念分別歸屬給 x 和 y 時，它們是否因為歸屬給同一個個體而繫結？如果 x = y，則它們繫結；如果 x 與 y 不同，則它們不繫結。
x=y 表示 x 和 y 是同一個存在物的名稱。當我們無法從名稱的多樣性推斷存在物的多樣性時，我們需要身份關係，因為同一個存在物可以用多種方式命名。
瞭解同一個存在物的名稱多樣性，可以讓我們從複合名詞中瞭解很多關於它的資訊。亞里士多德是柏拉圖最好的學生，意味著亞里士多德 = 柏拉圖最好的學生。 “柏拉圖最好的學生” 是亞里士多德的眾多名字之一。
“最好的學生” 是一個函式的名稱，它將老師與其最好的學生聯絡起來。總的來說，我們透過給予存在物簡單名稱和由函式組成的名稱來命名它們。
身份邏輯的基本規則
[edit | edit source]瞭解 x=y 表示 x 和 y 是同一個存在物的名稱，那麼身份的反射性原則 x=x，對稱性原則 如果 x=y 則 y=x，傳遞性原則 如果 x=y 且 y=z 則 x=z，以及同一律，都是根據定義成立的。
如果 x=y，則所有關於 x 的真命題也適用於 y。
如果 E(x) 且 x=y 則 E(y)
對於關於 x 的任何命題 E(x)。
同一律使我們能夠證明傳遞性原則。透過用 w=z 代替 E(z)，我們得到
如果 w=x 且 x=y 則 w=y
它也可以用來從反射性原則推匯出對稱性原則，方法是用 z=x 代替 E (z)
如果 x=x 且 x=y 則 y=x
或者 x=x
所以
如果 x=y 則 y=x
x=x 可以從兩個角度理解：一個存在物總是與自身相同，或者一個名稱 x 總是指代同一個存在物。
自然可能世界中個體的身份
[edit | edit source]當我們推理我們可用的可能性時，我們推理的是實際存在物（包括我們自己）的自然可能的排列。因此，我們在包含同一個存在物的不同可能世界中推理。同一個個體虛擬地存在於許多可能世界中。
當有人爭論絕對可能性時，在不同的世界中識別同一個個體就沒有多大意義。例如，如果一個人對兩個不同的物質宇宙進行推理，那麼說一個宇宙中的一個點或一個粒子與另一個宇宙中的一個點或一個粒子相同就沒有意義。雖然我設想我可能會有其他命運，但其他版本的我也永遠不是真正的我。我不對他們的虛擬行為負責。
一個自然存在物只存在於一個自然可能的世界上。對我們來說，這個世界就是現實世界。但是，一個自然存在物的本質是由它的自然屬性決定的，而自然屬性的本質是由它們在所有自然可能的世界上所處的位置決定的。這就是為什麼一個自然存在物的本質是由它在所有自然可能的世界上所處的位置決定的，即使它只存在於一個自然可能的世界上。
對同一個存在物在多個自然可能的世界上進行的推理，總是可以用對具有相同自然屬性的不同存在物的推理來代替（Lewis 1986，但他的可能世界理論不同）。
屬性和關係的身份
[edit | edit source]一個屬性或一個自然關係是由它在所有自然可能的世界上所處的位置決定的，因此是由它在定義自然規律的公理體系中所處的位置決定的。
更一般地，一個屬性或一個理論關係是由它在定義一個理論的公理體系中所處的位置決定的。
在所有自然可能的世界上，對於同一個存在物都為真的兩個自然屬性，佔據相同的位置。因此，它們本質上是同一個屬性。對於自然關係也是一樣。因此，我們證明了屬性和自然關係的外延性原則。
兩個屬性或自然關係相同，當且僅當它們在所有自然可能的世界上都對同一個存在物為真。
對於理論屬性和關係，得到相同的擴充套件性原則。
兩個屬性或理論關係相同，當且僅當它們在該理論的所有模型中都對同一個存在物為真，也就是說，在所有公理為真的邏輯可能的世界上都為真。
同構和結構的身份
[edit | edit source]當我們談論兩個個體之間的相似性時，我們的意思是，歸屬給其中一個的某些屬性也可以歸屬給另一個。當我們談論兩個系統之間的相似性時，“對一個系統為真的，對另一個系統也同樣為真”這個表達可以得到更微妙的含義。我們的意思是存在一個投影 f，它可以將第一個系統中的個體 x 替換為第二個系統中的個體 f(x)，從而使關於第一個系統的真命題被替換為關於第二個系統的真命題。這種投影在數學中被稱為態射，如果它是雙射的，則稱為同構，表示這兩個系統具有相同的形式或相同的結構。
當前對結構概念的使用存在歧義。結構有時指代物件，即系統，有時指代它的屬性。結構本身也有結構。從邏輯的角度來看，作為物件的結構是一個邏輯可能的 world 或者它的一個部分。作為屬性的結構可以從等價關係 x 與 y 具有相同的結構來定義。這種等價關係可以用同構概念來定義
兩個結構（或兩個系統）具有相同的結構，當且僅當它們是同構的。
兩個結構 E 和 F 之間的同構是一個雙射函式 f，它將 E 的個體替換為 F 的個體，從而保留所有基本屬性和關係。形式上
如果 P 是一個基本屬性，對於 E 中的所有 x，x 具有屬性 P 當且僅當 f(x) 具有屬性 P。
如果 R 是一個基本二元關係，對於 E 中的所有 x 和 y，xRy 當且僅當 f(x)Rf(y)
對於更多項之間的基本關係也是一樣。
（E 的元素和 F 的元素之間的關係，當 E 的每個元素都與 F 的一個元素連線時，定義了 E 到 F 的一個對映。當 F 的每個元素都與 E 的一個元素連線時，E 到 F 的一個對映是雙射的。換句話說，雙射函式是一個對映，它的逆也是一個對映。）
兩個結構之間的同構使得將關於其中一個的所有真命題轉換為關於另一個的真命題成為可能，方法是將 x 處處替換為 f(x)。當兩個結構是同構的時，它們是同一個理論的模型。一個為真的公理體系必然在另一箇中也是真的。
一個複雜的自然存在物是一個自然結構，由自然屬性和關係定義。兩個同構的複雜自然存在物本質上是相似的，自然上不可區分。它們具有相同的自然屬性。一個自然可能的任何事情，對另一個也自然可能。一個複雜自然存在物的本質是它的結構。兩個同構的複雜自然存在物具有相同的本質。
同構的概念通常以更一般的方式定義。雙射函式 f 不僅允許替換個體，還允許替換屬性和關係，始終以使關於一個系統的所有真命題被替換為關於另一個系統的真命題的方式。當用這種方式定義系統之間的相似性時，通常說相似的系統是類似的，而投影 f 是一個類比。同構可以定義為一個雙射類比。
我們也可以以更一般的方式定義結構的概念
兩個結構具有相同的結構，當且僅當它們是同一個理論的模型。
根據第二個定義，作為屬性的結構由一個理論的公理決定。更準確地說，不同的公理體系定義相同的結構，當且僅當它們具有相同的模型，當一個體系的任何模型都是另一個體系的模型時。
一個理論是範疇的，當且僅當它的所有模型都是同構的。數學的基本結構，特別是自然數集和實數集，用範疇理論來決定。一個範疇理論禁止任何偶然性。本質上只有一個邏輯可能的 world 服從它的原則。自然規律並不決定一個自然界的範疇理論。它們為偶然性留下了空間。
當一個理論不是範疇性的時，不同的、非同構的結構或系統可能具有相同的結構，如該理論所定義的。例如，我們可以說所有向量空間都具有向量空間結構。
結構 E 的自同構是內部同構，是從 E 到 E 的同構。
每個結構都有一個平凡的自同構，即由 id(x)=x 定義的恆等函式。
一個結構在它至少有一個非平凡的自同構時是對稱的。
非平凡的自同構是結構的對稱性。
結構的自同構形成一個群，在代數意義上，因為自同構的逆是自同構，並且因為兩個自同構的複合也是自同構。
結構的所有自同構的群也稱為其對稱群。例如，圓形或圓盤的對稱群是繞其中心旋轉和相對於直徑反射的群。
當存在一個自同構 g 使得 y=g(x) 時，x 和 y 在結構中本質上是無法區分的，因為關於一個的任何真值都可以轉化為另一個的等價真值。
對稱結構中元素 x 的等價類或軌道是滿足 y=g(x) 的所有 y 的集合，其中 g 是結構的自同構。
等價類是在結構中本質上無法區分的元素的集合。例如，圓上的所有點都屬於同一個等價類，因為圓上沒有任何東西可以區分它們。圓盤上距中心相同距離的所有點也屬於同一個等價類，但不同的同心圓是不同的等價類，因為這些點透過它們到中心的距離來區分。
一個結構在它包含不同的但本質上無法區分的元素時是對稱的，因為它們的性質和它們在結構中的關係決定了不同的但等價的位置。
一個自然結構在它包含自然無法區分的元素，並且這些元素在結構中的關係使它們具有等價的位置時是完全對稱的。
一個自然結構在它包含自然非常相似的元素，並且這些元素在結構中的關係使它們具有等價或幾乎等價的位置時是不完全對稱的。
當一個結構包含許多組成部分時，它越對稱，就越容易認識它，因為一旦我們認識了一個對稱部分，我們就會認識所有對稱部分。
.jpg)
所有數學知識都可以被視為關於邏輯上可能世界的知識。
當矛盾 p 且非 p 不是其公理的邏輯結果時，一個理論是一致的，或非矛盾的，或連貫的。否則它是不一致的，矛盾的，不連貫的，荒謬的。
邏輯上可能世界的真理論必然是一致的，因為矛盾在所有邏輯上可能的世界中都是假的。
一個一致的理論至少對一個邏輯上可能的世界是真實的。這就是哥德爾完備性定理。如果我們發現一個必然為假的理論，即在所有邏輯上可能的世界中都是假的，而不能證明其公理會導致矛盾，這將表明我們的邏輯是不完備的，它不足以證明所有必要的邏輯真值。但哥德爾在他的博士論文中證明了我們的邏輯是完備的（哥德爾 1929）。
我們透過反思自己的詞語來發展數學知識。邏輯上可能的世界是由詞語定義的，具有原子陳述的集合。瞭解這些世界就是了解定義它們的詞語。數學世界僅僅是我們定義的東西。沒有什麼隱藏起來，因為它們是我們的作品。我們可以瞭解它們的一切，因為我們決定了它們是什麼。
數學真理是發明還是發現？
兩者都是，因為發明總是發現一種可能性。
當我們發明時，我們改變了現實，但我們沒有改變所有可能性空間。無論我們做什麼，可能的東西都是可能的。我們經常採取行動，使以前不太容易獲得的東西變得容易獲得，但這絕不是關於使不可能的東西變得可能，我們只是改變了相對於我們當前狀況的可能性。當我們使可能的東西變得不可能時，這些仍然是相對的可能性。無論邏輯上還是自然上，絕對可能性空間都不依賴於我們。
當我們發展數學知識時，我們發現了一種言語的可能性。
我們透過對自己的詞語進行推理來獲得關於有限結構的數學知識，因為這些結構是由原子陳述的有限集合定義的。
關於無限數學結構的知識更難理解。它們是由原子陳述的無限集合定義的。我們從它們的有限定義中瞭解這些無限集合。兩個過程對於定義無限集合是基本的
- 遞迴構造
我們給自己一些初始元素和規則，這些規則使我們能夠從初始元素或已經生成的元素中生成新元素。例如，我們可以從單個初始元素 1 開始，並使用從 x 和 y 生成 (x + y) 的規則。然後，透過說它是包含所有初始元素和透過有限次應用規則生成的元素的唯一集合來定義無限集合：(1+1)，((1+1)+1)，((1+1)+(1+1)) ...
- 所有子集的集合的定義
一旦定義了集合 x，冪集公理就允許我們定義包含 x 中所有包含集合的唯一集合。如果 x 是一個無限集合，那麼 x 的所有子集的集合是一個更大的無限集合。