認識論概要/邏輯原理
一個理論可以被認定為其所有原則（公理和定義）的集合，也可以被認定為其所有定理的集合，因為其定理是其原則的邏輯結果。
邏輯原理精確地決定了邏輯結果關係。因此，它們提供了制定所有理論的方法。邏輯甚至可以被認為是所有理論的理論。它是所有理論家最基本的工具。但它不足以制定好的理論，因為它只教導如何正確推理，而一個人可以用錯誤的原則進行正確的推理。邏輯展示瞭如何制定所有理論，但它本身並不教導如何識別好的理論。
一個推理是邏輯的，當它所有斷言，除了它的前提之外，都是它之前斷言的明顯邏輯結果。這樣，一個邏輯推理證明了它的結論是其前提的邏輯結果。邏輯原理是決定所有明顯邏輯結果關係的基本規則，由此決定所有邏輯結果關係。
邏輯結果關係可以從邏輯可能性定義。
C 是前提 P 的邏輯結果，當且僅當不存在這樣一個邏輯可能世界，在這個世界中 C 是假的，而 P 是真的。
如果前提為真，邏輯結果不可能為假。邏輯結果關係必然從真引導到真。
為了定義一個邏輯可能世界，我們給自己一些基本性質和關係，以及一組我們可以將這些性質和關係歸屬的個體。一個語句是原子語句，當它斷言一個個體的基本性質或多個個體之間的基本關係。一個原子語句不能分解成更小的語句。任何原子語句集合都決定了一個邏輯可能世界，在這個世界中它們都是真的，也是唯一真實的原子語句（Keisler 1977）。原子語句集合從不矛盾，因為原子語句不包含否定。
從邏輯可能世界的概念定義邏輯結果關係，使得能夠理性地證明所有邏輯原理。因此，透過原子語句集合定義邏輯可能世界是所有邏輯的基礎。
關於邏輯可能世界的語句是由原子語句與邏輯連線片語成的。主要的邏輯連線詞是否定 **非**，析取 **或**，合取 **和**，條件句 **如果那麼**，全稱量詞 **對所有 x**，或 **每個 x 都滿足**，以及存在量詞 **存在一個 x 使得**。
當一個語句由原子語句與邏輯連線片語成時，它的真值只取決於所考慮的邏輯可能世界，因為一個複合語句的真值只取決於構成它的語句的真值。
由否定、析取、合取和條件句組成的語句的真值由真值表決定
| p | 非 p |
|---|---|
| 真 | 假 |
| 假 | 真 |
| p | q | p 或 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 真 |
| 假 | 真 | 真 |
| 假 | 假 | 假 |
| p | q | p 和 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 假 |
| 假 | 真 | 假 |
| 假 | 假 | 假 |
| p | q | 如果 p 那麼 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 假 |
| 假 | 真 | 真 |
| 假 | 假 | 真 |
表示式 **如果那麼** 通常被理解為具有隱含的必要結果含義。**如果 p 那麼 q** 意味著，出於某種原因，**q** 是 **p** 的必要結果。條件句的真值表賦予它更廣泛的含義：**決不 p 而不 q**。例如，根據這個真值表，如果地球是靜止的，那麼 2 + 2 = 5 是一個真語句。這意味著 地球決不靜止而不 2 + 2 = 5。由於地球決不靜止，所以這個語句始終為真。
由全稱量詞和存在量片語成的語句的真值由以下兩條規則決定
對所有 x，p(x) 為真，當所有從 p(x) 中獲得的語句 p(i) 為真時，這些語句是從 p(x) 中獲得的，透過在 p(x) 中所有出現的 x 處用一個個體的名稱 i 替換；否則為假。
存在一個 x 使得 p(x) 為真，當至少有一個從 p(x) 中獲得的語句 p(i) 為真時，這些語句是從 p(x) 中獲得的，透過在 p(x) 中所有出現的 x 處用一個個體的名稱 i 替換；否則為假。
為了應用這兩條規則，必須確定我們用其形成原子語句的個體域。這對集合論來說是一個問題，因為我們無法確定所有集合的域。
在語句 對所有 x，E(x) 或 存在一個 x 使得 E(x) 中，變數 x 被量詞 對所有 x 或 存在一個 x 使得 繫結。當一個變數沒有被繫結時，它在一個語句中是自由的。
一階邏輯只允許對個體域進行量化。我們也可以對所有概念（性質和關係）的域進行量化，從而定義二階邏輯。但足以將概念視為個體，以在一階邏輯框架內重新表述二階邏輯。這就是為什麼一階邏輯是最基本的，也是本章中唯一考慮的邏輯。
否定、合取、析取、條件句以及存在量詞和全稱量詞是最基本的邏輯連線詞。但還有一些其他的邏輯連線詞也很重要：雙條件句 **當且僅當**，異或，或選擇，**要麼要麼**，謝弗連線詞 **既不也不** ...
| p | q | p 當且僅當 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 假 |
| 假 | 真 | 假 |
| 假 | 假 | 真 |
雙條件句非常常用。特別是，定義是使用雙條件句制定的：被定義表示式為真，當且僅當定義表示式也為真。
| p | q | 要麼 p 要麼 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 假 |
| 真 | 假 | 真 |
| 假 | 真 | 真 |
| 假 | 假 | 假 |
為了與異或區分，普通析取被稱為包含或：p 或 q 或兩者兼而有之。
| p | q | 既不 p 也不 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 假 |
| 真 | 假 | 假 |
| 假 | 真 | 假 |
| 假 | 假 | 真 |
所有邏輯結果關係都可以透過從微不足道的邏輯結果（明顯是重言式）中使用少量基本演繹規則來產生，這些邏輯結果由重複規則給出
前提列表 P 中包含的任何前提都是前提 P 的邏輯結果。
對於每個邏輯連線詞，都有兩個基本演繹規則，一個消去規則和一個引入規則（Gentzen 1934, Fitch 1952）。邏輯看起來像一個積木遊戲。人們透過引入和消去邏輯連線詞來組合和分解語句。
我們用邏輯結果的傳遞性規則來補充這些規則
如果 C 是前提 Q 的邏輯結果，並且前提 Q 都是前提 P 的邏輯結果，那麼 C 是前提 P 的邏輯結果。
基本演繹規則是直觀上明顯的，只要一個人理解了邏輯結果和可能性的概念，以及從原子語句的真值確定複合語句的真值。人們可以用邏輯可能世界的概念定義邏輯結果關係，嚴格證明這些直觀的正確性。
重複規則、傳遞性規則和基本演繹規則可以被認為是邏輯原理的原理，因為它們足以證明所有其他邏輯原理。
我們將在後面展示，三個（甚至兩個）邏輯連線詞足以定義所有其他的邏輯連線詞。因此，六個（甚至四個）基本演繹規則足以產生所有邏輯結果關係，再加上重複規則和傳遞性規則。例如，可以選擇否定、合取和全稱量詞作為基本的邏輯連線詞。然後，所有其他邏輯連線詞的演繹規則都可以從這三個基本連線詞的六條規則中推匯出來。
理論陳述由其基本概念（性質或關係）、個體名稱和邏輯連線詞構成。個體名稱是一個常量或變數，可以用函式來構建。例如，x+y 是一個用加法函式和變數 x 和 y 構建的個體名稱。常量是指本身就屬於個體的個體名稱。變數是一個有點矛盾的名稱。它是一個個體的名稱，但沒有指明任何特定的個體。它用於命名任何個體，而不指定在特定域中是哪個個體。
邏輯規則指出，一個陳述是其他陳述的邏輯結果。當它們包含自由變數（個體、性質、關係、函式、陳述或有限陳述列表的變數）時，當且僅當所有將自由變數替換為常量的場合中，它們都是真的，那麼它們就是真的。
特殊化規則
如果 i 是一個個體，那麼 S(i) 是 對於所有 x，S(x) 的邏輯結果。
x 可以是任何個體變數。i 可以是任何個體名稱：常量、變數或複合表示式。S(i) 是從 S(x) 中獲得的陳述，透過將 i 替換 S(x) 中所有 x 的出現位置。
這條規則是所有邏輯中最重要的一條，因為推理的力量來自於我們用來推理的定律。無論何時將定律應用於個體，我們都會了解定律教給我們的東西，並揭示它賦予我們的推理力量。
概括規則
如果 S(x) 是前提 P 的邏輯結果，並且 x 是一個不在這些前提中提到的個體變數，那麼 對於所有 x，S(x) 是相同前提的邏輯結果。
在這條規則以及接下來的規則中，P 是一個有限的陳述列表。
這條規則應用的一個例子是哲學的或笛卡爾的“我”。人們可以在不假設任何特定被命名個體的情況下說“我”。因此，關於自己所說的一切都可以應用於所有個體。例如，如果一個人在不假設自己任何特定資訊的情況下證明了“我不能懷疑我在懷疑時我在懷疑”，那麼一個人可以推斷“沒有人可以懷疑他們在懷疑時他們在懷疑”。
分離規則
B 是兩個前提 A 和 如果 A 那麼 B 的邏輯結果。
假設合併規則
如果 B 是前提 P 和 A 的邏輯結果，那麼 如果 A 那麼 B 是前提 P 的邏輯結果。
歸謬法原理
如果 B 和 非 B 都是前提 P 和 A 的邏輯結果，那麼 非 A 是前提 P 的邏輯結果。
雙重否定消除規則
A 是 非 非 A 的邏輯結果。
分析規則
A 和 B 都是唯一前提 A 且 B 的邏輯結果。
合取合成規則
A 且 B 是兩個前提 A 和 B 的邏輯結果。
論題弱化規則
A 或 B 和 B 或 A 都是 A 的邏輯結果。
析取合成規則
如果 C 是前提 P 和 A 的邏輯結果，並且是前提 P 和 B 的邏輯結果，那麼 C 是前提 P 和 A 或 B 的邏輯結果。
直接存在證明規則
如果 i 是一個個體，那麼 存在一個 x 使得 S(x) 是 S(i) 的邏輯結果。
i 可以是任何個體名稱：常量、變數或複合表示式。S(x) 是透過將 x 替換 S(i) 中某些（不一定全部）i 的出現位置而獲得的公式。x 必須是一個不在 S(i) 中提到的個體變數。
引入新常量規則
如果 c 是一個新的個體常量，那麼 S(c) 是 存在一個 x 使得 S(x) 的邏輯結果。
c 不應在前面的公理或公式中提到。S(c) 是從 S(x) 中獲得的，透過將 c 替換 S(x) 中所有 x 的出現位置。
關於函式邏輯的備註：理論中的函式始終可以用關係表示。例如，具有一個引數的函式 f 可以用二元關係 R 表示：當且僅當 f(x)=y 時，Rxy。具有兩個引數的函式 f 可以用三元關係 R 表示：當且僅當 f(x,y)=z 時，Rxyz。當然，對於具有更多引數的函式也是如此。函式也稱為運算子。透過用它們定義的關係替換函式，可以始終將用函式定義的結構與僅用關係定義的等效結構相關聯。這就是為什麼在邏輯上可能的世界定義中不需要提及函式的原因。我們可以不用函式，只用關係邏輯來推理。但是，用允許函式的理論進行推理通常更方便。前面的規則的表述方式使它們既適用於純粹的關係邏輯，也適用於函式邏輯。唯一的區別在於個體名稱的形成。如果我們沒有函式，個體名稱就是變數或基本常量。我們甚至可以透過用性質表示它們來不用基本常量：常量 c 用性質 P 表示：當且僅當 x=c 時，Px，它只對 c 成立。如果我們以這種方式進行，個體總是用變數來命名。
無假設推理和邏輯定律
[edit | edit source]即使在開始時沒有假設，也可以應用基本推論規則。假設合併規則和歸謬法原理使得能夠從假設下的推理過渡到無假設的推理。
無假設推理的結論是普遍的邏輯真理，始終為真，無論對它們所提及的概念的解釋如何，除了對邏輯連線詞的解釋。它們被稱為邏輯定律或重言式。
一些邏輯定律的例子
純重言式：如果 p 那麼 p
由於根據重複規則，p 是 p 的邏輯結果，因此根據假設合併規則，如果 p 那麼 p 是一個邏輯定律。
非矛盾原理：非 (p 且 非 p)
根據分析規則，p 和 非 p 都是 p 且 非 p 的邏輯結果，因此根據歸謬法原理，非 (p 且 非 p) 是一個邏輯定律。
排中律：p 或 非 p
意義完全確定的陳述 p 必然為真或假。沒有第三種可能性。
要展示證明，總是需要指定結果依賴的假設。向右移位規則使得能夠方便地展示形式證明：當我們引入一個新的假設時，我們將它向右移位。結果僅依賴於在其上或其左側的假設，但不依賴於其右側的假設。
假設排中律可能是假的
- (1) 假設：非 (p 或 非 p)
- (2) 假設：p
- (3) 根據 (2) 和論題弱化規則，p 或 非 p。
- (4) 根據 (1) 和重複規則，非 (p 或 非 p)。
- (5) 根據 (2)、(3)、(4) 和歸謬法原理，非 p。
- (6) 根據 (5) 和論題弱化規則，p 或 非 p。
- (7) 根據 (1) 和重複規則，非 (p 或 非 p)。
(8) 根據 (1)、(6)、(7) 和歸謬法原理，非 非 (p 或 非 p)。
根據 (8) 和雙重否定消除規則，p 或 非 p。
基本備選方案：要麼 p 要麼 非 p
它是非矛盾原理和排中律的結合。任何意義完全確定的陳述都是真或假，但不會同時兩者。當一個陳述既真又假，或者既不真也不假時，它的意義就不是完全確定的：它在一個意義上是真，在另一個意義上是假，或者它既不真也不假，因為沒有任何東西能夠決定它。
斯多葛學派發現的一條定律：如果 (如果 非 p 那麼 p) 那麼 p
例如：如果一切都是假的，那麼有些事情是真實的（因為一切都是假的這句話將是真實的），因此有些事情是真實的。
- (1) 假設：如果 非 p 那麼 p
- (2) 假設：非 p
- (3) 根據 (1) 和 (2) 以及分離規則，p。
- (4) 根據 (2) 和重複規則，非 p。
- (5) 根據 (2)、(3)、(4) 和歸謬法原理，非 非 p。
- (6) 根據 (5) 和雙重否定消除規則，p。
根據 (1)、(6) 和假設合併規則，如果 (如果 非 p 那麼 p) 那麼 p。
所有推論規則，無論是基本的還是派生的，都可以轉化為邏輯定律，因為如果 C 是前提 P 的邏輯結果，那麼 如果 P 的合取那麼 C 是一個邏輯定律。例如，如果 (A 且 如果 A 那麼 B) 那麼 B 是一個翻譯了分離規則的邏輯定律。
演繹推理的基本規則足以推匯出所有邏輯蘊涵關係和所有邏輯規律。這是由庫爾特·哥德爾在其博士論文（哥德爾 1929 年，該論文對一個不同的但等價的形式系統進行推理）中證明的一階邏輯的完備性定理。因此，演繹推理的基本規則是對亞里士多德提出的但未解決的古老問題，即找到所有邏輯原理列表的完整解決方案。
例如，讓我們證明如果 A 那麼 C 是如果 A 那麼 B 和如果 B 那麼 C 的邏輯蘊涵。
(1) 假設：如果 A 那麼 B，如果 B 那麼 C
- (2) 假設：A
- (3) B 根據 (1)、(2) 和分離規則。
- (4) C 根據 (1)、(3) 和分離規則。
如果 A 那麼 C 根據 (2)、(4) 和假設合併規則。
另一個例子是逆否規則：如果非 q 那麼非 p 是如果 p 那麼 q 的邏輯蘊涵。
(1) 假設：如果 p 那麼 q
- (2) 假設：非 q
- (3) 假設：p
- (4) q 根據 (1)、(3) 和分離規則。
- (5) 非 q 根據 (2) 和重複規則。
- (6) 非 p 根據 (3)、(4)、(5) 和歸謬法。
如果非 q 那麼非 p 根據 (2)、(6) 和假設合併規則。
邏輯連線詞可以相互定義。例如，存在量詞可以從全稱量詞和否定定義。
存在一個 x 使得 p 意味著所有 x 使得非 p 的情況是錯誤的，換句話說，非（對所有 x 非 p）。
我們也可以採用相反的定義
對所有 x，p 意味著存在一個 x 使得非 p 的情況是錯誤的，也就是說，非（存在一個 x 使得非 p）。
以同樣的方式，我們可以從合取定義析取，或者相反
p 或 q 意味著非（非 p 且非 q）
p 且 q 意味著非（非 p 或非 q）
條件可以從合取或析取定義
如果 p 那麼 q 意味著非（p 且非 q）
如果 p 那麼 q 也意味著q 或 非 p
雙條件當且僅當可以從條件和合取定義
p 當且僅當 q 意味著（如果 p 那麼 q）且（如果 q 那麼 p）
它也可以從其他連線詞定義
p 當且僅當 q 意味著（p 且 q）或（非 p 且非 q）
或
p 當且僅當 q 意味著非（（p 且非 q）或（非 p 且 q））
我們還可以引入邏輯連線詞既不也不，並從它定義所有其他連線詞
非 意味著既非 p 也非 p
p 且 q 意味著既非非 p 也非非 q
p 或 q 意味著非（既非 p 也非 q）
如果 p 那麼 q 意味著非（既非非 p 也非 q）
p 當且僅當 q 意味著既非（p 且非 q） 也非（非 p 且 q）
當推理是邏輯的時，結論不能提供比前提已經給出的更多資訊。否則推理就不是邏輯的，因為結論可能在前提為真的情況下為假。邏輯結論總是前提中已經陳述內容的重新表述。事實上，許多論證什麼也沒告訴我們，因為結論只是前提的重複，只是形式略有不同。然後我們說它們是同義反復的。它們是“它是如此因為它是如此”這個主題的變奏。
在邏輯學家定義的精確意義上，同義反復是邏輯規律，這些規律總是為真，無論對它們的詞語賦予什麼解釋（邏輯連線詞除外）。當推理是邏輯的時，語句“如果前提成立，那麼結論成立”總是同義反復，正如邏輯學家所定義的。
結論只是重複前提中已經說過的內容。推理必須是同義反復才能是邏輯的。但為什麼我們要推理呢？似乎推理不會教給我們任何東西。
推理的力量來自於它所基於的一般原理。如果我們將邏輯簡化為基本命題邏輯（建立在除了帶有全稱量詞和存在量詞的原理之外的所有邏輯原理之上），在這種邏輯中，語句永遠不是一般的，因為我們沒有全稱量詞，那麼是的，我們推理的同義反復特徵通常是顯而易見的。當它不顯而易見時，只是因為我們的邏輯直覺有限。命題邏輯主要用於改寫我們的斷言。這可能非常有用，因為理解取決於表述，但這並不能解釋為什麼推理使我們能夠知道我們原本不知道的東西。
一個語句是一個規律，當它可以應用於許多特定情況時。它總是可以以以下方式表述
對 D 中的所有 x，S(x)
換句話說
對所有 x，如果 x 在 D 中，那麼 S(x)
D 是規律的範圍。S(x) 是關於x 的一個語句。
所有形式為S(i) 的語句，其中i 是D 中一個元素的名稱，S(i) 是透過在S(x) 中將i 替換為x 獲得的語句，都是規律的明顯邏輯蘊涵。S(i) 是規律的一個特例。
當我們學習一個規律時，我們最初只知道一個或幾個特例。我們不可能想到所有特例，因為它們太多。每當我們將一個已知規律應用於以前從未考慮過的一個特例時，我們就會學到一些東西。
規律就像一個壓縮的資訊。在一個語句中，它確定了關於所有可以應用它的特例的豐富資訊。當我們用規律推理時，我們發現的不是前提中所說的，而只是隱含其中的。推理使我們能夠發現規律可以教給我們的所有東西。
我們透過驗證邏輯推理是否符合邏輯原理來識別它。但是我們如何識別邏輯原理呢？我們如何知道它們是好的原理呢？如何證明它們呢？我們真的確定它們總是從真前提得出真結論嗎？
透過複合語句真值的定義原理，我們可以證明我們的邏輯原理是正確的，因為它們總是從真值推匯出真值。例如，只需要對條件的真值表進行推理就可以證明分離規則的正確性。
一個懷疑論者可能會反對說，這些對邏輯原理的證明是毫無價值的，因為它們是迴圈的。當我們對邏輯原理進行推理以證明它們時，我們使用了我們需要證明的相同原理。如果我們的原理是錯誤的，它們將證明錯誤，因此它們可以證明自己的正確性。因此，邏輯原理使我們能夠證明它們自己的正確性，並不能真正證明它們的正確性，因為錯誤的原理也可以做到同樣的事情。
這個反對意見並非決定性。我們只需要看看可疑的迴圈證明，就能確信它們的有效性，僅僅因為它們是優秀的、不可反駁的。不容許有任何疑問，因為一切都清晰地定義和證明。一個懷疑論者可以正確地指出，這樣的證明只能說服那些已經被說服的人。但在這個例子中，說服並不難，因為邏輯原理只是表述了我們在正確推理時已經知道的東西。
邏輯原理的迴圈性在特殊化規則中尤為明顯
對於每個語句S(x) 和每個個體i，S(i) 是對所有 x，S(x) 的邏輯蘊涵。 (1)
例如，如果蘇格拉底是一個人，那麼蘇格拉底是凡人 是對所有 x，如果 x 是一個男人，那麼 x 是凡人 的邏輯蘊涵。（2）
為了從 (1) 到 (2)，特殊化規則已經被應用了兩次。語句S(x) 在如果 x 是一個男人，那麼 x 是凡人 中被特殊化，個體i 在蘇格拉底 中被特殊化。
藉助分離規則，我們可以從A 和如果 A 那麼 B 推匯出B。因此，一個更完整的規則應該是，我們可以從A、如果 A 那麼 B 和分離規則推匯出B。但是這個規則還不完整。一個更完整的規則，但仍然不完整，是我們可以從A、如果 A 那麼 B、分離規則以及告訴我們我們可以從A、如果 A 那麼 B 和分離規則推匯出B 的規則推匯出B。但一定還有另一個規則告訴我們，我們可以應用前一個規則，然後一直應用到無窮大（卡羅爾 1895 年）。
如果分離規則本身是一個必須在我們證明中提到的假設，並且我們的結論是從它推匯出來的，那麼我們的推理就永遠無法開始，因為需要第二個規則來證明從分離規則推匯出來的結論，然後需要第三個規則來證明從第二個規則推匯出來的結論，以此類推，一直到無窮大。但是邏輯規律不是假設。我們總是可以將它們作為前提採用，而無需任何其他證明，除了它們是邏輯規律之外，因為它們不可能是假的，因為它們不可能導致我們出錯。
概念繫結問題（兩個概念是關於同一個體還是不同個體？）透過識別概念所歸屬的個體來解決。但同一個體的名稱多樣性帶來了問題：當兩個概念分別歸屬給 x 和 y 時，它們是繫結還是未繫結？如果 x = y，它們是繫結，如果 x 與 y 不同，它們則未繫結。
x=y 表示 x 和 y 是同一個體的名稱。當我們無法從名稱多樣性推斷出存在多樣性時，我們需要恆等關係，因為同一個體可以用多種方式命名。
瞭解同一個體的名稱多樣性可以讓我們對它有更深入的瞭解，尤其是當名詞是複合表示式時。亞里士多德是柏拉圖最好的學生，這意味著亞里士多德 = 柏拉圖最好的學生。“柏拉圖最好的學生”是亞里士多德眾多名稱之一。
“最好的學生”是一個函式的名稱，它將老師與其最好的學生聯絡起來。一般來說，我們透過賦予實體簡單的名稱和由函式構成的名稱來命名所有實體。
瞭解 x=y 表示 x 和 y 是同一個體的名稱，恆等的自反性原則 x=x，對稱性原則 如果 x=y，那麼 y=x，以及傳遞性原則 如果 x=y 且 y=z，那麼 x=z 都是根據定義成立的，就像恆等不可分辨性原則一樣。
如果 x=y，則所有關於 x 的真實內容也適用於 y。
如果 E(x) 且 x=y，那麼 E(y)
對於關於 x 的任何陳述 E(x)。
恆等不可分辨性原則可以用來證明傳遞性原則。透過將 E(z) 替換為 w=z，我們得到
如果 w=x 且 x=y，那麼 w=y
它也可以透過將 E (z) 替換為 z=x 從自反性原則推匯出對稱性原則
如果 x=x 且 x=y，那麼 y=x
或者 x=x
所以
如果 x=y，那麼 y=x
x=x 可以從兩個方面理解：一個實體總是與其自身相同，或者一個名稱 x 必須始終代表同一個實體。
當我們思考我們可用的可能性時，我們思考的是實際實體（包括我們自己）的自然可能排列。因此，我們思考的是包含相同實體的不同可能世界。同一個體在許多可能世界中虛擬存在。
當一個人爭論絕對可能性時，在不同世界中識別同一個體就沒有多大意義。例如，如果一個人思考兩個不同的可能物質宇宙，說其中一個宇宙中的一個點或粒子與另一個宇宙中的一個點或粒子相同是沒有意義的。雖然我認為自己可能會有不同的命運，但我其他的版本永遠不是真正的我。我不為他們虛擬的行為負責。
一個自然實體只存在於一個自然可能的世界中。對我們來說，這個世界就是現實世界。但自然實體的本質是由其自然屬性決定的，而自然屬性的本質是由其在所有自然可能世界中的位置決定的。這就是為什麼即使一個自然實體只存在於一個自然可能的世界中，其本質也是由其在所有自然可能世界中的位置決定的。
關於同一個體在多個自然可能世界中的推理，始終可以被關於具有相同自然屬性的不同個體的推理所取代（Lewis 1986，但他的可能世界理論不同）。
一個屬性或一個自然關係是由其在所有自然可能世界中的位置決定的，因此是由定義自然法則的公理系統決定的。
更一般地，一個屬性或一個理論關係是由其在定義理論的公理系統中的位置決定的。
在所有自然可能世界中都適用於相同實體的兩個自然屬性佔據相同的位置。因此，它們本質上是相同的屬性。自然關係也是如此。因此，我們證明了屬性和自然關係的外延性原則。
兩個屬性或自然關係相同，當且僅當它們在所有自然可能世界中都適用於相同的實體。
同樣的外延性原則也適用於理論屬性和關係
兩個屬性或理論關係相同，當且僅當它們在理論的所有模型中都適用於相同的實體，也就是說，在所有公理為真的邏輯可能世界中都適用。
當我們談論兩個實體之間的相似性時，我們的意思是其中一個實體所具有的某些屬性也可以歸屬於另一個實體。當我們談論兩個系統之間的相似性時，表示式“一個實體的真實內容也適用於另一個實體”可以獲得更微妙的含義。我們的意思是存在一個投影 f，它可以將第一個系統的實體 x 替換為第二個系統的實體 f(x)，使得關於第一個系統的真實陳述被替換為關於第二個系統的真實陳述。這種投影在數學中被稱為同態，或者如果它是雙射的，則被稱為同構，這意味著這兩個系統具有相同的形式或結構。
目前對結構概念的使用存在歧義。結構有時指物件，有時指系統，有時指其屬性。結構本身也有結構。從邏輯的角度來看，結構作為物件是一個邏輯可能的世界或一個邏輯可能世界的一部分。結構作為屬性可以從等價關係 x 與 y 具有相同的結構中定義。這種等價關係可以使用同構的概念來定義
兩個結構（或兩個系統）具有相同的結構，當且僅當它們同構。
兩個結構 E 和 F 之間的同構是一個雙射函式 f，它將 E 的實體替換為 F 的實體，使得所有基本屬性和關係都被保留。形式上
如果 P 是一個基本屬性，對於 E 中的所有 x，x 具有屬性 P，當且僅當 f(x) 具有屬性 P。
如果 R 是一個基本二元關係，對於 E 中的所有 x 和所有 y，xRy，當且僅當 f(x)Rf(y)
對於更多項的基本關係也是如此。
（E 的元素與 F 的元素之間的關係在每個 E 的元素與 F 的一個元素連線時定義了從 E 到 F 的一個對映。從 E 到 F 的一個對映在每個 F 的元素與 E 的一個元素連線時是雙射的。換句話說，一個雙射函式是一個其逆函式也是對映的對映。）
兩個結構之間的同構可以將關於一個結構的所有真實陳述轉化為關於另一個結構的真實陳述，方法是將所有地方的 x 替換為 f(x)。當兩個結構同構時，它們是同一個理論的模型。一個結構的所有公理系統必然也適用於另一個結構。
一個複雜的自然實體是一個自然結構，由自然屬性和關係定義。兩個同構的複雜自然實體本質上是相似的，自然不可分辨的。它們具有相同的自然屬性。在其中一個實體中自然可能發生的一切，在另一個實體中也自然可能發生。複雜自然實體的本質就是它的結構。兩個同構的複雜自然實體具有相同的本質。
同構的概念通常以更一般的方式定義。雙射函式 f 不僅允許替換實體，還允許替換屬性和關係，始終以使一個系統中的真實陳述被另一個系統中的真實陳述替換的方式進行。當系統之間的相似性以這種方式定義時，通常說相似的系統是類比的，並且投影 f 是一個類比。同構可以定義為雙射類比。
我們也可以以更一般的方式定義結構的概念
兩個結構具有相同的結構，當且僅當它們是同一個理論的模型。
根據第二個定義，結構作為屬性是由理論的公理決定的。更準確地說，當不同的公理體系具有相同的模型時，即當一個體系的任何模型都是另一個體系的模型時，它們定義了相同的結構。
當一個理論的所有模型都同構時，它就是範疇的。數學的基本結構，特別是自然數集和實數集，是由範疇理論決定的。一個範疇理論禁止任何偶然性。本質上只有一個邏輯上可能的世界服從其原則。自然規律並不決定一個範疇的自然理論。它們為偶然性留下了空間。
當一個理論不是範疇時，不同的、非同構的結構或系統可能具有相同的結構，如該理論所定義的。例如，我們可以說所有向量空間都具有向量空間結構。
結構 E 的自同構是一個內部同構，即從 E 到 E 的同構。
每個結構都具有一個平凡的自同構，即由 id(x)=x 定義的恆等函式。
當一個結構至少具有一個非平凡的自同構時，它就是對稱的。
一個非平凡的自同構是結構的對稱性。
結構的自同構形成一個群，從代數意義上說，因為自同構的逆也是自同構，因為兩個自同構的複合也是自同構。
結構的所有自同構的群也稱為其對稱群。例如，圓形或圓盤的對稱群是圍繞其中心旋轉和平面鏡面反射的群。
當存在一個自同構 g 使得 y=g(x) 時，x 和 y 在結構內本質上是無法區分的，因為關於一個的任何真值都可以轉換為關於另一個的等價真值。
對稱結構元素 x 的等價類或軌道是所有滿足 y=g(x) 的 y 的集合，其中 g 是結構的自同構。
等價類是結構內本質上無法區分的元素集合。例如，圓形的所有點都在同一個等價類中，因為圓形上沒有任何東西可以區分它們。圓盤上與中心距離相同的點也在同一個等價類中，但不同的同心圓是不同的等價類，因為這些點透過它們到中心的距離來區分。
當一個結構包含不同的但本質上無法區分的元素時，它是對稱的，因為它們在結構中的屬性和關係決定了不同的但等價的位置。
當一個自然結構包含自然上無法區分的元素，並且這些元素在結構中的關係賦予它們等價的位置時，它就是完美的對稱。
當一個自然結構包含自然上非常相似的元素，並且這些元素在結構中的關係賦予它們等價的或幾乎等價的位置時，它就是不完美的對稱。
當一個結構包含許多組成部分時，它越對稱，就越容易瞭解它，因為一旦我們瞭解一個對稱部分，我們就知道所有對稱部分。
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所有數學知識都可以被認為是關於邏輯上可能世界的知識。
當矛盾 **p 且非 p** 不是其公理的邏輯結果時，一個理論是一致的、非矛盾的或連貫的。否則，它是矛盾的、不一致的、不連貫的、荒謬的。
邏輯上可能世界的真實理論必然是一致的，因為矛盾在所有邏輯上可能的世界中都是假的。
一個一致的理論至少對應於一個邏輯上可能的世界。這就是哥德爾完備性定理。如果我們發現一個必然是假的理論，也就是說在所有邏輯上可能的世界中都是假的，而不可能證明其公理會導致矛盾，那麼這將表明我們的邏輯是不完備的，它不足以證明所有必要的邏輯真理。但哥德爾在其博士論文中證明了我們的邏輯是完備的（哥德爾 1929 年）。
我們透過反思自己的語言來發展數學知識。邏輯上可能的世界是由語言定義的，包含原子語句集。瞭解這些世界就是了解定義它們的語言。數學世界不過是我們所定義的東西。沒有什麼被隱藏，因為它們是我們自己的工作。我們可以瞭解它們的一切，因為我們決定了它們是什麼。
數學真理是發明還是發現？
兩者都是，因為發明總是發現一種可能性。
當我們發明時，我們改變了實際，但我們沒有改變所有可能性的空間。無論我們做什麼，可能的就是可能的。我們經常採取行動來使以前不太容易獲得的東西變得更容易獲得，但這從來不是關於使不可能的事情成為可能，我們只是改變了相對於我們當前情況的可能性。當我們使可能的事情變得不可能時，這些仍然是相對的可能性。絕對可能性的空間，無論是邏輯的還是自然的，都與我們無關。
當我們發展數學知識時，我們發現了語言的可能性。
我們透過對自己的語言進行推理來獲得關於有限結構的數學知識，因為這些結構是用有限的原子語句集來定義的。
關於無限數學結構的知識更難理解。它們是用無限的原子語句集來定義的。我們從其有限定義中瞭解這些無限集。兩個過程對於定義無限集是基礎的
- 遞迴構造
我們給自己一些初始元素和規則，這些規則使我們能夠從初始元素或已生成的元素中生成新元素。例如，我們可以從單個初始元素 **1** 開始，並使用從 **x** 和 **y** 生成 **(x + y)** 的規則。然後透過說它是包含所有初始元素和透過有限次應用規則生成的元素的唯一集合來定義無限集：**(1+1)**，**((1+1)+1)**，**((1+1)+(1+1))** ...
- 所有子集的集合的定義
只要定義了一個集合 **x**，冪集公理就允許我們定義包含 **x** 中包含的所有集合的唯一集合。如果 **x** 是一個無限集，那麼 **x** 的冪集是一個更大的無限集。