高中化學/原子軌道形狀

在上一課中，我們瞭解了主量子數如何決定電子波的大小（以及節點的數量），ℓ 決定電子波的形狀，而 m₁ 決定電子波的方向。現在，n 的影響可能很容易想象。對於更大的 n 值，電子波變大，並且最終會有更多節點。同樣，m_l 的影響也很容易視覺化。對於不同的 m_l 值，電子波被旋轉到不同的方向。換句話說，電子波指向不同的方向。那麼 ℓ 的影響呢？你知道 ℓ 告訴你有關電子波形狀的資訊。你還知道某些波是球形的，而另一些則是啞鈴形的、蝴蝶形的，或者根本就是瘋狂的形狀！但是，你怎麼知道哪個 ℓ 值對應於哪個形狀呢？

除非你接受過大量數學訓練，並且能夠理解波函式，否則你真的無法預測具有特定 ℓ 值的波的形狀會是什麼樣子。實際上，你只需要知道或被告知——所以我們將在接下來的幾節中這樣做。我們將告訴你一個 ℓ = 0 的波是什麼樣子的，以及一個 ℓ = 1 的波是什麼樣子的。

課程目標

• 定義電子軌道。
• 能夠根據其形狀識別 s 軌道。
• 能夠根據其形狀識別 p 軌道。

當角量子數為 0 時，電子佔據一個 s 軌道

在上一課中，你瞭解到不同的電子波形狀有不同的名稱，這些名稱總是字母，比如 s、p、d 和 f。（這些字母是根據對線光譜的觀察而選擇的。某些譜線被觀察為“銳”系列；其他被歸類為“主”、“漫”或“基”系列，因此 s、p、d、f。）這些字母對應於電子波的形狀，或者至少對應於電子波由於其電子密度在一個地方比另一個地方更濃而呈現的形狀。現在，這可能有點令人困惑，但請記住，電子波描述了電子密度或電子“霧”，這來自解釋電子的類波性質。儘管如此，我們必須始終注意不要忘記電子的類粒子性質。因此，一旦科學家知道特定電子波的形狀，他們通常會切換並再次開始將電子描述為粒子。為了做到這一點，他們使用波形的名稱，但不是說“電子波具有 s 形狀”，或“電子波具有 p 形狀”，而是說“電子位於 s 軌道中”，或“電子位於 p 軌道中”。這使得它聽起來好像電子又變成了粒子，並且好像軌道是某種粒子被限制其中的盒子，或者至少是粒子巡邏的某種區域。

這種在電子的類波描述和電子的類粒子描述之間來回切換可能看起來很令人困惑、很煩人，或者只是很奇怪，但科學家這樣做是為了提醒自己電子既是粒子又是波。那麼，軌道到底是什麼？從技術上講，軌道是由三個量子數 n、ℓ 和 m_l 定義的電子的波函式。然而，波函式所描述的是空間中具有特定形狀的區域，在那裡你很可能找到電子。從波的角度來看，軌道描述了電子密度非常濃的空間區域。從粒子的角度來看，軌道描述了找到電子的機率很高的空間區域（這應該是有道理的，因為電子密度濃的地方，找到電子的機率也很高）。

到目前為止，我們已經確定 ℓ 描述了軌道的形狀，而軌道形狀反過來又描述了電子密度濃的地方（以及找到電子的機率很高）以及電子密度稀薄的地方（以及找到電子的機率很低）。然而，我們仍在努力描述這些具有濃薄電子密度區域的波的實際外觀。讓我們從最簡單的波形開始。最簡單的波形出現在 ℓ = 0 時。當電子波由量子數 ℓ = 0 描述時，我們說波函式描述了所謂的 s 波，因此電子位於 s 軌道中。s 波可以很大或很小，具體取決於 n 的值。s 波也可以具有大量的節點，或者根本沒有節點，同樣取決於 n 的值。然而，所有 s 波都具有相同的形狀。這將是我們下一節要討論的內容。

s 子層呈球形

所有 ℓ = 0 電子波都是 s 波，或來自 s 子層的波，並且它們都描述了位於 s 軌道中的電子。如上一節所述，所有來自 s 子層的電子波都具有相同的總體形狀，無論 n 的值如何，無論它們的大小如何，以及無論它們包含多少個節點。s 軌道始終對應於球形波。量子數 n = 1 和 ℓ = 0 描述了一個沒有節點的小球形波，量子數 n = 2 和 ℓ = 0 描述了一個更大的具有單個節點的球形波，而量子數 n = 3 和 ℓ = 0 描述了一個更大的具有兩個節點的球形波。這些波看起來略有不同，如圖 6.16 所示。

圖 6.16：各種 s 軌道。所有這些軌道都具有 ℓ = 0，但它們對 n 的值不同。第一個軌道具有 n = 1，因此很小並且沒有節點。第二個軌道具有 n = 2，因此更大並且有一個節點。第三個軌道具有 n = 3，因此更大並且有兩個節點。

圖 6.17：請注意，電子密度的量（這裡用藍色強度的表示）不取決於方向。但是，它確實取決於與原子中心的距離。

然而，它們都是球形的，因為它們都具有 ℓ = 0。它們的形狀不會改變——只有它們的大小和它們包含的節點數量會改變。

現在，如果你回想一下早先的一課，你可能會想起有關球形波的不同方向的一些特殊之處。你還記得當我們旋轉球形波使其指向不同的方向時會發生什麼嗎？它最終看起來是一樣的，不是嗎！無論你以哪種方式旋轉球體，它看起來都一樣。所以，你期望一個球形波有多少個不同的 m_l 值？當然是一個！現在你已經知道球形波都具有 ℓ = 0，你可以使用你的 m_l 規則來準確計算出允許多少個不同的 m_l。如果你回顧一下上一課中的示例 4，你會發現我們實際上已經進行了該計算。結果表明，m_l 只允許一個值，即 m_l = 0。換句話說，球形波只有一個方向。一切都說得通！

那麼球形波到底意味著什麼呢？這意味著你找到電子在原子中心任何特定距離處的機率只取決於距離，不取決於方向。你可以在圖 6.17 中看到這一點。

當角量子數為 1 時，則 m_l 只能為 -1、0 或 +1

所有 ℓ = 1 的電子波都是 p 波，或來自 p 亞層的波，它們描述的是在稱為 p 軌道的電子。與 s 軌道不同，p 軌道不是球形的，因此它們 可以在空間中具有不同的方向。現在您知道所有 p 軌道都有 ℓ = 1，您應該能夠透過使用 m_l 的規則來確定 有多少 不同的 p 軌道方向存在。（m_l 是與特定軌道方向相關的量子數）。讓我們來算一下。

示例 1 有多少種不同的 p 軌道方向是可能的？ 解答: ℓ = 1 從現在開始，只要你被告知一個電子在 p 軌道中，你就應該知道該電子具有量子數 ℓ = 1。 這個問題問有多少種 p 軌道方向是可能的，但它真正想問的是當 ℓ = 1 時，有多少個不同的 ml 值是允許的。我們已經做過這種型別的題了。 1. 找到 ml 的最小值。 ml 的最小值總是 −ℓ。 最小 ml = −1 2. 找到 ml 的最大值。 ml 的最大值總是 +ℓ 最大 ml = +1 3. 列出所有整數（沒有小數！），從 ml 的最小值開始，到 ml 的最大值結束。 ml = −1, 0, 1 在這種情況下，ml 可以等於 −1、0 或 1，因此 ml 有 3 個允許值，因此有 3 種可能的 p 軌道方向。

p 軌道通常被描述為啞鈴形

即使您知道 p 軌道有三種可能的取向，但除非您瞭解更多的數學、物理和波函式知識，否則您無法真正預測它們的形狀。然而，當科學家使用波函式來繪製電子的 p 軌道的形狀時，他們總是會得到看起來很像啞鈴的東西。不僅如此，三個不同的 p 軌道（一個 m_l = −1，另一個 m_l = 0，第三個 m_l = 1）最終互相垂直。換句話說，如果一個 p 軌道沿 x 軸指向，另一個 p 軌道沿 y 軸指向，第三個 p 軌道沿 z 軸指向。科學家通常分別標記這些軌道為 p_x、p_y 和 p_z。下圖顯示了三個 p 軌道中的每一個，然後將它們全部放在同一個原子上。

有時我們會沉迷於思考電子波函式和電子軌道，以至於完全忘記了原子本身。請記住，電子駐波之所以形成，是因為電子被原子核上的正電荷困在原子內部。因此，s 軌道、p 軌道，甚至 d 和 f 軌道始終從原子的原子核延伸出來。不要太專注於軌道，以至於忘記它們在哪裡以及它們為何存在。

與 s 軌道一樣，p 軌道也可以很大或很小，這取決於 n 的值，它們也可以有更多或更少的節點，同樣也取決於 n 的值。但是請注意，與 s 軌道不同，s 軌道可能沒有任何節點，而 p 軌道總是至少有一個節點。再次看一下上面的 p 軌道圖。你能在每個 p 軌道中發現節點嗎？由於所有 p 軌道都至少有一個節點，因此沒有 n = 1 的 p 軌道。事實上，允許 p 軌道存在的第一個主量子數 n 是 n = 2。當然，你本可以自己算出來，對吧？不行？好吧，給你一個提示——記住預測哪些 ℓ 值對於任何給定的 n 值都是允許的規則。在上節課中，你瞭解到 ℓ 必須不小於 0，但也不能大於 n − 1。因此，對於 n = 1 能級，ℓ 的最大允許值為

最大 ℓ = n − 1

最大 ℓ = 1 − 1

最大 ℓ = 0

因此，只允許 s 軌道 (ℓ = 0)。然而，對於 n = 2 能級，ℓ 的最大允許值為

最大 ℓ = n − 1

最大 ℓ = 2 − 1

最大 ℓ = 1

這意味著 p 軌道 (ℓ = 1) 也允許存在。因此，您現在明白了，對 ℓ 的限制實際上是為了確保所有 n = 1 波函式沒有節點，所有 n = 2 波函式有 1 個節點，所有 n = 3 波函式有 2 個節點，所有……好吧，您明白了吧。

p 軌道的一個有趣的性質是，與 s 軌道不同，電子密度的總量隨距離原子中心的距離 和 方向而變化。看一下圖 6.18。注意，電子密度隨著您從原子的中心向外移動的方向不同而不同。在顯示的特定 p 軌道中，當您從原子的中心筆直向上移動時，找到電子的機率大於當您從原子的中心向左或向右移動時。事實證明，這種對方向的依賴性在研究不同原子如何相互作用和形成鍵時非常重要。我們將在後面的章節中詳細討論這一點。

圖 6.18：對於 p 軌道，電子密度的數量，因此找到電子的機率，取決於與原子中心的距離 和 方向。

d 軌道和 f 軌道不容易視覺化

您是否注意到 p 軌道的形狀比簡單的球形 s 軌道要複雜得多？好吧，您可以想象，如果 ℓ = 1 的 p 軌道很複雜，那麼 ℓ = 2 的 d 軌道會更加複雜，而 ℓ = 3 的 f 軌道就太瘋狂了！大多數人可以想象 p 軌道，但 d 軌道和 f 軌道實際上很難想象。大多數 d 軌道是蝴蝶形的，雖然有一個不尋常的形狀，看起來像一個環繞著棉籤的甜甜圈！5 個可能的 d 軌道如圖 6.19 所示（您可以算出有 5 個，對吧？）。不要太擔心為什麼其中一個 d 軌道與眾不同。同樣，要了解不同的 d 軌道圖從何而來，需要大量的複雜數學運算，除非您決定繼續在大學學習量子化學，否則您不必擔心這一點。至於 f 軌道，即使是繪製它們也很困難，更不用說它們總共有 7 個（圖 6.20）了！在本課程中，我們不會太關注 d 軌道，儘管如果您想研究某些金屬，例如那些存在於週期表中心的金屬，它們會變得非常重要。同樣，f 軌道在研究像氫、氧，甚至銅這樣的常見化學物質時並不那麼重要。但是，當您想研究一些最重要的放射性元素（如鈾和鈽）時，它們就會變得很重要！

圖 6.19：d 軌道的機率模式。

圖 6.20：f 軌道的機率模式。

課程總結

• 軌道是由三個量子數 n、ℓ 和 m_l 定義的電子的波函式。軌道定義了您可能在空間中找到電子的區域。
• s 軌道 (ℓ = 0) 是球形的。
• p 軌道 (ℓ = 1) 是啞鈴形的。
• 三個可能的 p 軌道始終互相垂直。

複習題

填空。

1. 當 ℓ = 0 時，電子軌道是 _________ 形的，而當 ℓ = 1 時，電子軌道是 _________ 形的。
2. n = 1 s 軌道有 _____ 個節點。
3. n = 2 s 軌道有 _____ 個節點。
4. n = 2 p 軌道有 _____ 個節點。
5. n = 1 p 軌道有 _____ 個節點。
6. 有 ____ 種不同的 p 軌道。
7. 哪個能級（或 n 的值）具有 s、p 和 d 軌道，但沒有 f 軌道？
8. 有多少種不同的 d 軌道方向？
9. 有多少種f 軌道取向？
10. n = 3 能級有多少種不同的軌道？

詞彙

軌道

由所有三個量子數（n、ℓ 和 m_l）定義的電子波函式。軌道定義了空間中電子存在機率高的區域。

此材料改編自可在 此處 找到的原始 CK-12 書籍。此作品根據知識共享署名-相同方式共享 3.0 美國許可證進行授權