高中化學/量子數

我們在這章中花了大量時間談論波，特別是電子波。雖然大多數人都知道普通水波是什麼樣子的，但很少有人瞭解電子波是什麼樣子的。在上一課中，我們談論了電子密度，以及如何將電子波看作表示原子中任何空間點電子密度“霧”的厚度或薄度。我們考慮了氫原子中電子的機率模式。現在讓我們考慮一些更復雜的原子。

課程目標

• 解釋主量子數 n 的含義。
• 解釋方位量子數 ℓ 的含義。
• 解釋磁量子數 m_l 的含義。

薛定諤方程提供了三個整數，用於定義電子的能量狀態和軌道

你應該記得，當電子被困在原子中時，它們會形成駐波。你應該還記得，在任何受限空間中，只允許存在某些駐波，因為只有某些駐波可以完美地適應該空間（記住，完美擬合要求波從盒子開始和結束的地方開始和結束）。在一個一維盒子中，很容易想象所有可以完美地適應盒子的波。在三維空間中，情況稍微複雜一些。不幸的是，當涉及原子中的電子時，除了電子波是三維的這一事實之外，還有一個額外的複雜性！事實證明，原子中的電子並不侷限於漂亮的正方形或矩形盒子。相反，它們被限制在球形盒子中（這應該是有道理的，因為原子畢竟是微小的球體）。換句話說，原子內的電子波必須在球體的表面開始和結束。你可能擁有非常好的想象力，並且能夠驚人地將物體描繪成三維空間，但對於大多數人來說，試圖弄清楚這些球形三維波是什麼樣子可能是一個不小的挑戰。

幸運的是，這就是電子波函式可以提供幫助的地方。電子波函式基本上描述了電子波可以採取的可能形狀。我們不會真正擔心波函式。相反，我們只會擔心特定的數字，稱為量子數。量子數始終是電子波函式的一部分，並且在確定機率模式的形狀方面非常重要。

當電子波函式首次由一位名叫埃爾溫·薛定諤（圖 6.11）的人開發時，他的目標是展示如何使用電子的波狀描述來理解電子在氫原子中的行為。為了做到這一點，薛定諤首先定義了氫原子本身的大小和球形形狀。然後，薛定諤假設被困在氫原子中的電子形成了一個駐波，該駐波完美地適應了原子內部，沒有“溢位”或“重疊”自身（事實證明，在圓形或球形盒子中，不匹配的波不會“溢位”那麼多，而是“重疊”，如圖 6.12 所示。最後，薛定諤假設電子波必須是連續的（記住，連續的東西沒有間隙、空洞或跳躍）。

圖 6.12：當波在圓形（或球形）上完美擬合時，它們會與自身相遇並形成一個閉環。然而，當波沒有在圓形上完美擬合時，它們最終會自身“重疊”。

令人驚訝的是，薛定諤發現，為了滿足他對電子波的關於擬合在原子內部和保持連續性的基本假設，電子波函式中的某些量必須是“整數”。每當薛定諤將一個整數分配給這些量時，他最終都會得到一個完美地適應氫原子的波。然而，每當他將一個小數分配給這些量時，他最終都會得到一個波函式，該函式要麼“自身重疊”，要麼是不連續的！必須分配整數的量很快就被稱為量子數。在氫電子波函式中，始終存在三個量子數。第一個量子數 n 稱為主量子數，第二個量子數 ℓ 稱為方位量子數，第三個量子數 m_l 稱為磁量子數。這三個量子數共同定義了電子的能量狀態和軌道，但我們將在下一節中詳細討論它們的含義。

n = 主量子數（能級）

第一個量子數，稱為主量子數，用符號 n 表示。為了描述一個有效的駐波，n 必須具有整數值，但對 n 還有額外的限制。n 的值必須是正整數值（n = 1, 2, 3, . . .）。換句話說，n 永遠不能等於負整數。事實上，n 甚至不能等於 0！主量子數為你提供了關於電子波是什麼樣的兩個不同的線索。首先，它告訴你當你遠離原子的中心時，電子密度是如何擴散的。對於具有較低主量子數的電子波，例如 n = 1，電子密度在靠近原子中心的區域非常厚，然後隨著你向外移動，它會迅速變薄。相反，對於具有較高主量子數的電子波，例如 n = 6，電子密度在原子中心的區域並不那麼厚，而是向外擴散得更遠。一般來說，主量子數越高，你就能檢測到大量電子密度的距離就越遠離原子核（圖 6.13）。

當主量子數 n 很小時，大部分電子密度位於靠近原子核的地方。

但是，當主量子數很大時，電子密度會擴散得更遠。

圖 6.13

有時，你會聽到人們說主量子數決定了電子波函式的“大小”。當人們這樣說時，他們實際上並不意味著電子波的絕對或總“大小”。他們指的是根據大部分（通常約 90%）的電子密度集中在哪裡，電子波看起來有多大或多小。在具有較低主量子數的電子波中，電子密度主要集中在靠近原子中心的區域。即使在遠離原子核的距離處存在少量的電子密度，但數量如此之少，你幾乎無法察覺到它。結果，具有較低主量子數的電子波看起來很小。另一方面，在具有較高主量子數的電子波中，電子密度擴散得更遠，因此在遠離原子中心的距離處也更厚。因此，具有較高主量子數的電子波看起來很大。

主量子數還描述了電子波包含的節點總數。什麼是節點？節點是電子波絕對沒有振幅或“高度”的地方。看看下面的圖中的一維波。你能找到節點（部分 a.）嗎？現在看看二維波（部分 b.）。你能找到節點嗎？一個包含節點的三維波就像洋蔥一樣。想想洋蔥是如何分層的，以及在不同層之間始終存在空隙或斷裂。如果洋蔥是一個三維波，那麼洋蔥層之間的斷裂就像節點一樣。主量子數 n 越高，電子波包含的節點就越多。

節點是波振幅或高度為零的任何地方。a. 和 b. 都說明了表示波的不同方式。在 a. 中，振幅對應於黃色線在黑色軸上方（或下方）的高度。當黃色波與黑色軸交叉時，波的振幅為零，因此存在節點。在 b. 中，波的振幅對應於藍色雲的厚度。當沒有藍色雲時，波的振幅為零，因此存在節點。

主量子數極其重要，不僅因為它告訴你有關電子波的“大小”和電子波中的節點數量的資訊，而且還因為它告訴你有關該波能量的資訊。如果你回憶一下，你會記得負電子喜歡靠近正原子核，因為電子離正電荷越近，能量就越低。這在主量子數方面意味著什麼？這意味著，具有較低主量子數的電子波，以及靠近原子核的電子密度，將具有較低的能量，而具有較高主量子數的電子波，以及遠離原子核的電子密度，將具有較高的能量。

類似地，隨著電子波中節點數量的增加，波的能量也會增加。想想跳繩實驗。你還記得你如何在跳繩中製造駐波嗎？你需要更多還是更少的能量才能讓多條波在繩子上形成？你應該需要更多的能量才能製造更多波。這是因為在製造更多波的過程中，你同時也製造了更多節點，而節點總是與能量增加相關聯。再次，讓我們看看這在主量子數方面意味著什麼。一個具有較低主量子數的電子波具有較少的節點，因此也將具有較低的能量。另一方面，一個具有較高主量子數的電子波具有更多的節點，因此將具有較高的能量。

請注意，隨著n的增加，電子波的“大小”和節點數量也隨之增加。因此，電子波的能量總是隨著n的增加而增加。

1. n的值越大，能量越高。
2. n的值越小，能量越低。

由於主量子數決定了特定電子波的能量，因此n通常被認為是指電子的“能級”。“能級”這個詞實際上來自玻爾的原子舊太陽系模型。然而，由於薛定諤及其波動方程，我們現在知道能級並不對應於原子核周圍的特定軌道，而是對應於電子被困在原子內部時所採用的特定電子波。

角動量量子數（能級，s，p，d，f）（s=銳，p=主，d=彌散和f=基態）

第二個量子數，稱為方位量子數，用符號ℓ表示。雖然主量子數告訴您電子波的“大小”和電子波中節點的數量，但方位量子數告訴您更多關於電子波的“形狀”的資訊。換句話說，由於電子密度在一個地方比另一個地方“更厚”，電子波所呈現的形狀。您可能傾向於認為電子波的形狀總是球形的，因為原子本身是球形的。然而，事實證明，雖然存在球形電子波，但也有看起來像啞鈴的波，以及看起來像蝴蝶的波，以及看起來如此瘋狂以至於幾乎無法描述的波！下圖顯示了一些電子波的不同可能形狀。

您可能想知道上面各種氣球狀形狀。使用圖紙來表示電子波的一個困難是，電子密度本身實際上是散佈在原子中心周圍的巨大空間區域。正如您之前所學到的那樣，然而，對於許多電子波來說，幾乎所有電子密度都靠近原子的原子核，只有極少量的電子密度在更遠的地方。多年來，科學家已經開發出一種繪製電子波的標準方法。科學家通常不會嘗試解釋電子波中所有電子密度，而是隻繪製圍繞包含約 90% 電子波總電子密度的空間區域的“氣球”。下圖顯示了科學家如何將電子密度雲轉換為氣球。即使在卡通氣球之外存在少量的電子密度（因此在氣球之外找到電子的機率很小），大多數電子行為可以透過忽略卡通氣球無法捕獲的少量電子密度來理解。

代表電子波的卡通氣球的精確形狀由ℓ的值決定。換句話說，上面影像中的啞鈴形氣球有一個ℓ值，而蝴蝶形氣球有另一個ℓ值。當然，科學家會厭倦說“啞鈴形波”或“蝴蝶形波”之類的話，因此，他們使用字母表中的字母來命名不同的波。最常見的波形稱為s，p，d和f。（如果您對不同的波形看起來像什麼有更直觀的記憶，科學家可能會給它們起一些很好的描述性名稱，例如“啞鈴波”或“蝴蝶波”，但這比s，p，d和f這樣的枯燥名稱更容易記住，但事實證明，這樣的枯燥名稱更方便）。

在下一課中，我們將更仔細地研究一些常見的波形。首先，我們必須考慮n和ℓ之間的關係。請記住，電子的波函式總是具有三個量子數。因此，為了完全描述電子波，您必須知道所有三個數字的值（n，ℓ和m_l）。現在您可能會認為，只要n，ℓ和m_l都是整數，它們所描述的波就會是一個非常好的電子波。但這不是它的工作方式。事實證明，對於特定的n值，只允許某些ℓ值。

對於實際上描述原子中電子的波函式，ℓ永遠不小於 0，但也不大於n − 1（ℓ = 0, 1, 2, … n − 1）。以下示例將有助於澄清對ℓ的限制。

示例 1 對於n = 3 的電子波，ℓ的允許值是多少？ 解決方案: n = 3 1. 找到ℓ的最小值。 ℓ的最小值始終為 0。 2. 找到ℓ的最大值。 ℓ的最大值始終為n – 1 最大ℓ = n − 1 最大ℓ = 3 − 1 最大ℓ = 2 3. 列出從ℓ的最小值開始到ℓ的最大值結束的所有整數（沒有小數！） ℓ = 0, 1, 2

示例 2 對於n = 1 的電子波，ℓ的允許值是多少？ 解決方案: n = 1 1. 找到ℓ的最小值。 ℓ的最小值始終為 0。 2. 找到ℓ的最大值。 ℓ的最大值始終為n − 1 最大ℓ = n − 1 最大ℓ = 0 3. 列出從ℓ的最小值開始到ℓ的最大值結束的所有整數（沒有小數！） ℓ = 0

通常，科學家會將不同的ℓ值稱為電子能級。在只有一個電子的氫原子中，ℓ的值對電子的能量沒有影響。然而，在具有多個電子的原子中，ℓ的值確實對電子的能量有微小的影響。換句話說，主量子數n始終決定電子的總體能級，但該能級實際上根據ℓ的值被分成多個能級。所有這些能級在氫原子中具有相同的能量，因為氫原子只有一個電子。然而，對於具有多個電子的原子，不同的能級會分開，其中一些能級最終會比其他能級具有更多的能量。

m_l = 磁量子數（識別軌道）

第三個也是最後一個量子數，稱為磁量子數，用符號m_l表示。請記住，主量子數告訴您電子波的“大小”和電子波中節點的數量，而方位量子數告訴您更多關於電子波的“形狀”的資訊。然而，磁量子數為您提供了更多關於電子波看起來像什麼的資訊。磁量子數告訴您電子波在空間中的方向。

空間方向基本上是指電子波指向哪裡。看看圖 6.14 中顯示的兩個啞鈴形電子波（在下一課中，您將瞭解到這些實際上是p軌道）。在第一個電子波中，波的葉瓣沿z軸“上下”指向，而在第二個電子波中，波的葉瓣沿x軸“進出”指向。這兩個電子波在空間中的方向不同，因此m_l量子數的值也不同。

圖 6.14：具有啞鈴形狀的電子波的兩種可能方向。

現在將圖 6.14 與圖 6.15 進行比較。在這兩個圖中，電子波在空間中的方向不同，如紅色箭頭所示。但是，您注意到圖 6.15 中電子波的方向有什麼不同？它們看起來一樣，不是嗎？顯然，對於球形電子波，方向並不重要。換句話說，因為球形電子波無論您如何旋轉它看起來都一樣，所以實際上只有一種方向。那麼，一個具有球形形狀的電子波應該有多少個不同的 ml 值（記住，m_l 值用於描述方向）？顯然，具有球形形狀的電子波應該只有一個 ml 值，因為它只有一種可能的方向。那麼，具有啞鈴形狀的軌道呢？它應該有一個單獨的 m_l 值，還是應該有幾個不同的 ml 值？好吧，由於啞鈴形波的不同方向實際上看起來不同，所以您可能希望啞鈴形波有幾個不同的 m_l 值，每個可能的方向對應一個值。事實上，啞鈴形波實際上有三個可能的 m_l 值，因此它有三個可能的方向。（別擔心為什麼啞鈴形波只有正好三個方向。我們將在下一課中稍微討論一下，但完整的解釋需要大量的數學知識，如果您決定學習量子物理學或量子化學，您將學習這些知識）。希望透過比較圖 14 和 15，您應該相信波的形狀（取決於ℓ）在確定可能方向的數量（或可能 m_l 值的數量）方面很重要。那麼，對於給定的ℓ 值，如果您想得到一個有意義的、實際描述氫原子中電子的波函式，只有某些 ml 值是允許的就不足為奇了。

圖 6.15：具有球形形狀的電子波的兩種可能方向。請注意，這些方向之間沒有明顯的區別。

對於ℓ 的特定值，只有 m_l 的某些值是允許的。

m_l 的規則是，對於任何ℓ 值，m_l 可以是任何從 −ℓ 開始到 +ℓ 結束的整數。m_l = −ℓ … +ℓ')。以下示例應該有助於闡明對 m_l 的限制。

示例 3 對於一個 ℓ = 2 的電子波，ml 的允許值是多少？ 解決方案: ℓ = 2 1. 找到 ml 的最小值。 ml 的最小值始終為 −ℓ。 最小 ml = −2 2. 找到 ml 的最大值。 ml 的最大值始終為 +ℓ 最大 ml = +2 3. 列出所有整數（不包括小數！），從 ml 的最小值開始，到 ml 的最大值結束。 ml = −2, −1, 0, 1, 2

示例 4 對於一個 ℓ = 0 的電子波，ml 的允許值是多少？ 解決方案: ℓ = 0 1. 找到 ml 的最小值。 ml 的最小值始終為 −ℓ。 最小 ml = 0 2. 找到 ml 的最大值。 ml 的最大值始終為 +ℓ 最大 ml = 0 3. 列出所有整數（不包括小數！），從 ml 的最小值開始，到 ml 的最大值結束。 ml = 0

現在我們已經討論了所有三種不同的量子數，您應該對如何描述不同的電子波有了很好的理解。您可以使用主量子數 n 來描述電子波的“大小”和電子波中節點的數量。您可以使用方位量子數 ℓ 來描述電子波的形狀。最後，您可以使用磁量子數 m_l 來描述電子波的方向。既然您知道如何描述一個通用的電子波，那麼現在該看看一些特定電子波的示例了。這將是我們下一課要討論的內容。

課程總結

• 薛定諤發現，為了使波函式描述一個連續的駐波，並且不會“反折”自身，波函式中的某些量必須具有整數值。
• 波函式中必須具有整數值的量稱為量子數。
• 在氫的波函式中，有三個量子數。它們被稱為主量子數 (n)、方位量子數 (ℓ) 和磁量子數 (m_l)。
• 主量子數只能取正整數值，(n = 1, 2, 3 …)。
• 主量子數決定了電子密度的大部分距離原子中心有多遠。n 的值越高，您在原子核更遠的地方檢測到大量的電子密度的可能性就越大。
• 主量子數還決定了電子駐波中節點的數量。n 的值越高，電子波中的節點就越多。
• 主量子數越高，電子的能量就越大。因此，主量子數決定了電子的能級。
• 方位量子數 ℓ 決定了電子波的形狀。ℓ 的值也稱為電子能級。它們用字母 s、p、d、f、g、h 等表示。
• 對於實際上描述原子中電子的波函式，ℓ 始終不小於零，但也不大於 n − 1 (ℓ = 0, 1, 2 … n − 1)。
• 在具有多個電子的原子中，ℓ 對電子的能量有輕微的影響。
• 磁量子數 m_l 決定了電子波在空間中的方向。對於給定的 ℓ 值，m_l 可以是任何從 −ℓ 到 + ℓ 的整數 (m_l = −ℓ … +ℓ)。

1. 將每個量子數與它們描述的性質相匹配。

   (a) n	i. 形狀
   (b) ℓ	ii. 空間方向
   (c) ml	iii. 節點數量

2. 電子波中電子密度為零的點稱為_________。
3. 在以下語句中選擇正確的詞語。

   (a) n 的值(越高/越低)，電子駐波中的節點就越多。

   (b) n 的值(越高/越低)，電子的能量就越低。

   (c) 電子的能量(越高/越低)，其電子駐波中的節點就越多。

4. 填空。對於較低的 n 值，電子密度通常位於原子核的________，而對於較高的 n 值，電子密度通常位於原子核的________。
5. 圈出所有有意義的語句：薛定諤發現電子波方程中某些量必須是整數，因為當它們不是整數時，波方程描述的波...

   (a) 不連續

   (b) 太小

   (c) 太長太窄

   (d) 太短太胖

   (e) “反折”自身

6. 對於 n = 4 的電子駐波，ℓ 的允許值是多少？
7. 對於 n = 9 的電子駐波，ℓ 可能有多少個值？
8. 對於 ℓ = 3 的電子駐波，ml 的允許值是多少？
9. 對於 ℓ = 4 的電子駐波，可能有多少個不同的方向？
10. 對於 n = 2，m_l 的允許值是多少？

詞彙表

方位量子數 (ℓ)

定義電子能級，並決定電子波的形狀。

磁量子數 (m_l)

決定電子駐波在空間中的方向。

節點

電子波高度為零的地方。換句話說，它是沒有電子密度的。

主量子數 (n)

定義電子的波函式的能級、電子的駐波的大小以及波中的節點數量。

量子數

分配給電子波函式中某些量的整數。因為電子駐波必須是連續的並且不能“反折”自身，所以量子數被限制為整數值。

此材料改編自可以在這裡找到的原始 CK-12 書籍 here。這項工作是在知識共享署名 - 相同方式共享 3.0 美國許可下授權的