高中化學/波粒二象性

在玻爾原子模型章節中，您瞭解了雙縫實驗。雙縫實驗證明了透過兩個緊密間距的狹縫的光線發生衍射，形成圓形波，然後相互干涉，在對面牆壁上形成有趣的圖案。從雙縫實驗中可以明顯看出光線表現得像波。但隨後，來自黑體輻射和光電效應的一組新的實驗結果出現了。這兩個實驗只能透過假設光是粒子來理解！最終，科學家別無選擇，只能接受光實際上既是波又是粒子的事實——因此出現了光的波粒二象性。現在，您可能並不覺得上一章中的論據很難接受。您可能在心裡想，“好吧，如果愛因斯坦說光是波又是粒子，我就相信他。他是超級天才的科學家，而我從來沒有理解過光。”

現在讓我們談談您可能確實理解（或至少認為您理解）的事情。讓我們談談物質。在繼續閱讀之前，請回答以下問題——“物質表現得像波，還是粒子？”顯然它表現得像粒子，對吧？我們不是已經決定物質是由稱為原子的微小粒子組成的，而這些原子本身又是由稱為電子、質子和中子的更小的粒子組成的嗎？別擔心。您到目前為止學到的所有知識都是絕對正確的。原子、電子、質子和中子確實表現得像粒子。但那不是全部。原子、電子、質子和中子也表現得像波！換句話說，物質就像光一樣，它同時具有波狀和粒子狀的性質。

課程目標

• 解釋物質的波粒二象性。
• 定義德布羅意關係，並簡要描述其推導過程。
• 使用德布羅意關係，根據物體的質量和速度計算物體的波長。

電子最初被認為只有粒子性質

您還記得電子是如何被發現的嗎？這都要歸功於 J. J. 湯姆遜，以及他巧妙的陰極射線管實驗。簡單來說，J. J. 湯姆遜在陰極射線管的陽極上開了一個小孔。這使得陰極射線能夠穿過陽極，並撞擊另一側的塗有磷光物質的玻璃。由於磷光物質在被陰極射線撞擊時會發光，因此 J. J. 湯姆遜能夠實際觀察到陰極射線是如何穿過陰極射線管的。

J. J. 湯姆遜當然注意到，陰極射線撞擊陰極射線管玻璃的位置正對著陽極上的孔。換句話說，陰極射線從陰極出發，穿過陽極，以直線傳播到陰極射線管末端的玻璃。這聽起來非常像粒子，不是嗎？畢竟，如果陰極射線中的電子是波狀的，那麼它們在穿過陽極上的孔時不會發生衍射嗎？在這種情況下，在塗有磷光物質的玻璃上應該出現一個巨大的發光圓圈，而不僅僅是一個微小的發光點。

早期的實驗沒有顯示出電子衍射的任何跡象，因此大多數科學家認為電子是粒子。然而，事實證明，電子確實具有波狀性質。只是它們的波長太小，無法在陰極射線實驗中發生衍射。

此外，透過使用磁鐵進行實驗，J. J. 湯姆遜證明了電子具有質量。直到 20 世紀 20 年代，科學家從未觀察到具有質量的物體表現出波狀行為。事實上，您可能也無法想到任何具有質量的物體表現出明顯的波狀性質。棒球不會發生衍射；從相鄰步槍發射的子彈在射擊場永遠不會形成干涉圖案。

您可能會問起水波，就像您在海洋中看到的那樣。從技術上講，海洋中的水不表現得像波。相反，是穿過水的能量表現得像波。水可能具有質量，但穿過水的能量是“無質量”的。到目前為止，我們已經確定您從未見過具有質量的物體表現出波狀性質。那麼，為什麼任何人會建議物質，即使是像電子一樣小的物質，可以用波粒二象性來描述呢？

我們所知的海浪實際上是穿過水的能量波。

德布羅意提出電子既是粒子又是波

圖 6.1：路易·德布羅意。

我們從未見過物質表現得像波，但在 1924 年，一位名叫路易·德布羅意的法國研究生（圖 6.1）建議，物質確實具有波狀性質。德布羅意的提議很奇怪，但更奇怪的是，沒有人嘲笑他！相反，德布羅意在 1929 年獲得了諾貝爾獎。那麼德布羅意是如何說服當時的科學家相信他的理論的呢？為了反對德布羅意的物質波粒二象性，科學家們必須反駁愛因斯坦——而沒有人會反駁愛因斯坦！

愛因斯坦最著名的說法是“質量與能量相關”。當然，這通常用公式而不是文字表達

$E=m\times c\times c\,\!$
${\text{or}}\,\!$
$E\,\!$	$=\,\!$	$m\,\!$	$\times \,\!$	$c^{2}\,\!$
${\text{Energy}}\,\!$ ${\text{in Joules}}\,\!$		${\text{Mass}}\,\!$ ${\text{in kg}}\,\!$		${\text{Speed of Light}}\,\!$ $(c=3.00\times 10^{8}\,{\text{m/s}})\,\!$

(在化學科學章節中，您被告知不需要了解方程式E = mc² 的來源。您仍然不需要了解其來源，但您需要了解其含義！) 所以愛因斯坦負責定義了任何具有質量的物體的能量。請記住，愛因斯坦還負責提出光的波粒二象性。您已經瞭解到，由於光的波粒二象性，波的能量可以用波的頻率來表示，公式為

$E\,\!$	$=\,\!$	$h\,\!$	$\times \,\!$	$f\,\!$
${\text{Energy}}\,\!$ $({\text{Joules}})\,\!$		${\text{Planck}}'{\text{s Constant}}\,\!$ $(6.63\times 10^{-34}\,{\text{J}}\cdot {\text{s}})\,\!$		${\text{Frequency}}\,\!$ $({\text{Hz or s}}^{-1})\,\!$

德布羅意觀察了愛因斯坦的第一個關於質量和能量的方程式。然後他觀察了普朗克的方程式，該方程式將能量和頻率聯絡起來（記住，在原子玻爾模型章節中，您瞭解到頻率是與所有波相關的屬性，它與波長有關，公式為c = fλ）。思考了一會兒，德布羅意對自己說：“如果質量與能量相關，而能量與頻率相關，那麼質量一定與頻率相關！” 這確實是一個非常合理的論點。這就像說：“如果我與我的兄弟有關，而我的兄弟與我的姐姐有關，那麼我一定與我的姐姐有關。” 儘管德布羅意的論點是合理的，但它導致了一個非常不合邏輯的結果。如果質量與頻率相關，那麼具有質量的物體也必須具有頻率。換句話說，具有質量的物體必須具有波動性質！ 這導致德布羅意提出了物質的波粒二象性。 但是這些所謂的物質波在哪裡呢？ 為什麼沒有人看到它們呢？

德布羅意推匯出一個用於計算粒子波長的方程式

利用愛因斯坦的兩個方程式，E = mc² 和 E = hf，以及將波的頻率和波長聯絡起來的方程式，c = fλ，德布羅意能夠推匯出以下關係：物體波長與物體質量之間的關係

$\lambda \,\!$	$=\,\!$	${\frac {h}{m\times c}}$
${\text{Wavelength}}\,\!$ $({\text{m}})\,\!$	$=\,\!$	${\frac {{\text{Planck}}'{\text{s Constant }}(6.63\times 10^{-34}\,{\text{J}}\cdot {\text{s}})}{{\text{Mass }}({\text{kg}})\times {\text{Speed of Light }}(3.00\times 10^{8}\,{\text{m/s}})}}$

如果您擅長數學，您也許可以自己推匯出完全相同的公式。然而，當德布羅意觀察他的方程式時，他意識到有些地方不對。為什麼像電子或棒球這樣的物體的波長會取決於光速？棒球和電子都不以光速運動，只有光以光速運動！當然，問題在於德布羅意用適用於光的方程式推匯出他的關係，而不是適用於物質。幸運的是，這個問題很容易解決。德布羅意需要做的就是用某個通用速度 v 來代替光速 c。

$\lambda \,\!$	$=\,\!$	${\frac {h}{m\times c}}$
${\text{Wavelength}}\,\!$ $({\text{m}})\,\!$	$=\,\!$	${\frac {{\text{Planck}}'{\text{s Constant }}(6.63\times 10^{-34}\,{\text{J}}\cdot {\text{s}})}{{\text{Mass }}({\text{kg}})\times {\text{Velocity }}({\text{m/s}})}}$

這樣，德布羅意質量和波長之間的關係就可以應用於任何以任何速度運動的物體。它可以應用於以光速 c = 3.00×10⁸ m/s 運動的光，也可以應用於以速度 v = 45 m/s 運動的棒球，以及以速度 v = 3 m/s 運動的馬拉松運動員。讓我們嘗試找出一些常見物體的波長（圖 6.2）。

示例 1 圖 6.2：典型棒球的波長遠小於可檢測的範圍，即使在實驗室中也是如此！ 有史以來最快的棒球投擲速度為 46.0 m/s。如果平均棒球的質量為 0.145 kg，那麼棒球的波長是多少？ 解答: 普朗克常數 h = 6.63×10−34 J · s（請注意，您總是知道普朗克常數，即使問題沒有給出它）。 速度 v = 46.0 m/s 質量 m = 0.145 kg $\lambda ={\frac {h}{m\times v}}={\frac {(6.63\times 10^{-34}\,{\text{J}}\cdot {\text{s}})}{(0.145\,{\text{kg}})(46.0\,{\text{m/s}})}}$ $\lambda ={\frac {6.63\times 10^{-34}\,{\text{J}}\cdot {\text{s}}}{6.67\,{\text{kg}}\cdot {\text{m/s}}}}=9.94\times 10^{-35}{\frac {{\text{J}}\cdot {\text{s}}}{{\text{kg}}\cdot {\text{m/s}}}}$ 除以分數等於乘以其倒數。這適用於單位以及數字，因此除以 (kg/m · s) 等於乘以 (s/kg · m)。 $\lambda =9.94\times 10^{-35}{\frac {{\text{J}}\cdot {\text{s}}\cdot {\text{s}}}{{\text{kg}}\cdot {\text{m}}}}$ 為了考慮單位，你需要將複合單位替換為基本單位。焦耳的定義是：1 J = 1 kg · m2/s2。將這些基本單位代入方程中的焦耳位置，得到 $\lambda =9.94\times 10^{-35}{\frac {{\text{kg}}\cdot {\text{m}}^{2}}{{\text{s}}^{2}}}\times {\frac {{\text{s}}\cdot {\text{s}}}{{\text{kg}}\cdot {\text{m}}}}$ 在消去單位後，最終的單位是米，這是波長的正確單位。 $\lambda =9.94\times 10^{-35}\,{\text{m}}\,\!$

示例 2 賽車通常以大約 77.0 m/s 的速度比賽。如果一輛普通賽車的平均質量為 1,312 公斤，它的波長是多少？ 一輛普通賽車的波長非常非常小，無法檢測到。 解答: 普朗克常數，h = 6.63×10−34 J · s（同樣，你總是知道普朗克常數，即使問題沒有給出它。） 速度，v = 77.0 m/s 質量，m = 1,312 kg $\lambda ={\frac {h}{m\times v}}={\frac {(6.63\times 10^{-34}\,{\text{J}}\cdot {\text{s}})}{(1,310\,{\text{kg}})(77.0\,{\text{m/s}})}}$ $\lambda ={\frac {6.63\times 10^{-34}\,{\text{J}}\cdot {\text{s}}}{100,870\,{\text{kg}}\cdot {\text{m/s}}}}=6.57\times 10^{-39}{\frac {{\text{J}}\cdot {\text{s}}}{{\text{kg}}\cdot {\text{m/s}}}}$ 當焦耳被替換為 (kg · m2)/s2 時 $\lambda =6.57\times 10^{-39}{\frac {{\text{kg}}\cdot {\text{m}}^{2}}{{\text{s}}^{2}}}\times {\frac {{\text{s}}\cdot {\text{s}}}{{\text{kg}}\cdot {\text{m}}}}$ 在消去單位後，最終的單位是米，這是波長的正確單位。 $\lambda =6.57\times 10^{-39}\,{\text{m}}\,\!$

你注意到一個典型的棒球和一個典型的賽車的波長有什麼不同嗎？它們都非常小，不是嗎？事實上，即使是當今世界上最強大的顯微鏡也不能看到 9.94×10⁻³⁵ m 或 6.57×10⁻³⁹ m 這樣的尺寸。好吧，這就解釋了為什麼我們從未見過物質波——物質波太小了。

如果物質波太小而無法看到，那麼科學家是如何證明它們存在的呢？畢竟，科學方法要求在接受一項理論之前必須有實驗證據——當然，在科學家因該理論獲得諾貝爾獎之前也是如此！幸運的是，你可以看到物質波。唯一的訣竅是選擇波長足夠大的物質。再看一下我們剛剛做的兩個示例問題。注意影響物體波長的唯一兩個因素是物體的質量和物體的速度。（當然，你還需要知道普朗克常數的值，h = 6.63×10⁻³⁴ J · s，但因為它是一個常數，所以它不會改變）。在我們的兩個示例中，汽車的質量大於棒球，並且它的速度更快。你注意到汽車的波長與棒球的波長相比有什麼不同嗎？汽車的波長要小得多，不是嗎？

事實證明，物體的質量越大，物體運動的速度越快，物體的波長就越小。類似地，物體的質量越小，物體運動的速度越慢，物體的波長就越大。這是德布羅意波長方程的直接結果——因為質量m和速度v都出現在分母（分數的下半部分），所以如果想要小波長，它們必須都很大；如果想要大波長，它們必須都很小。

顯然，為了在實驗中觀察物質波，最好有一個大波長。這意味著我們需要一個質量小且速度慢的物體。你知道最小的物體是什麼嗎？當然，是電子！讓我們看看電子波是否足夠大，可以在實驗室中檢測到。

例 3 如果電子的質量為 9.11×10−31 kg，那麼以 1.25×105 m/s 行進的電子的波長是多少？ 解答: 普朗克常數，h = 6.63×10−34 J · s（記住，你總是知道普朗克常數，即使問題沒有給出它。） 速度，v = 1.25×105 m/s 質量，m = 9.11×10−31 kg $\lambda ={\frac {h}{m\times v}}={\frac {(6.63\times 10^{-34}\,{\text{J}}\cdot {\text{s}})}{(9.11\times 10^{-31}\,{\text{kg}})(1.25\times 10^{5}\,{\text{m/s}})}}$ $\lambda ={\frac {6.63\times 10^{-34}\,{\text{J}}\cdot {\text{s}}}{1.14\times 10^{-25}\,{\text{kg}}\cdot {\text{m/s}}}}=5.82\times 10^{-9}{\frac {{\text{J}}\cdot {\text{s}}}{{\text{kg}}\cdot {\text{m/s}}}}$ 當焦耳被替換為 (kg · m2)/s2 時 $\lambda =5.82\times 10^{-9}{\frac {{\text{kg}}\cdot {\text{m}}^{2}}{{\text{s}}^{2}}}\times {\frac {{\text{s}}\cdot {\text{s}}}{{\text{kg}}\cdot {\text{m}}}}$ 在消去單位後，最終的單位是米，這是波長的正確單位。 $\lambda =5.82\times 10^{-9}\,{\text{m}}\,\!$

現在波長變大了！好吧，它仍然不是很大，但它足夠大，以至於在 1920 年代，科學家們能夠找到電子波衍射的證據，因為電子被迫穿過薄金屬膜。但讓我們回到最初的問題之一——如果電子具有波動性質，為什麼 J. J. 湯姆遜在他的陰極射線管中沒有看到電子衍射？答案很簡單——在那個實驗中，電子必須穿過的孔太大而無法引起衍射。只有當波長與它們被迫穿過的開口尺寸相當時，波才會發生衍射。由於電子波非常小，除非它們被強迫穿過極小的開口，否則它們不可能發生衍射。至於你穿過門時的身體——如果你擔心你的身體發生衍射，請使用你的質量和你穿過門的步行速度來計算你的波長。這應該告訴你門必須有多窄才能使你的身體發生衍射。從現在起，你可以避免這種尺寸的門！（如果你正確地進行了計算，你應該得到一個大約為 1×10⁻³⁵ 的數字，當然，你不可能穿過那麼小的門。）

課文總結

• 最初，人們認為電子只表現出粒子性；德布羅意指出所有物質都具有波動性質，並使用愛因斯坦的E = mc²公式和E = hf公式推匯出公式：λ = h/(mv) 來描述以速度v運動的質量為m的物體的波長λ。
• 對於像棒球和汽車這樣的普通物體來說，物質波不可能被檢測到，因為它們非常小。物體的質量越大，速度越快，其波長就越小。
• 科學家們發現，當電子被迫穿過薄金屬膜時，它們會發生衍射。

複習題

1. 在上一章中，你瞭解到光具有波動性質和粒子性質。你能想到其他可能同時具有波動性質和粒子性質的東西嗎？
2. 判斷以下每個語句是真還是假。

   (a) 愛因斯坦是第一個提出物質波的科學家。

   (b) 當你投擲棒球時，你可以看到它們發生衍射。

   (c) 德布羅意波動方程只能應用於以光速運動的物質。

   (d) 大多數物質波都很小，這就是為什麼科學家直到 1920 年代才意識到物質具有波動性質的原因。

3. 在以下每個語句中選擇正確的詞語。

   (a) 物體越(重/輕)，其波長就越長。

   (b) 物體運動越(快/慢)，其波長就越短。

   (c) 如果兩個粒子以相同的速度運動，則質量為 1.0 g 的粒子的波長比質量為 3.0 g 的粒子的波長(長/短)。

   (d) 以 10 m/s 運動的棒球的波長比以 4 m/s 運動的棒球的波長(長/短)。

4. 在以下每個語句中選擇正確的詞語

   (a) 如果兩個粒子以相同的速度運動，則電子的波長比質子的波長(長/短)。

   (b) 如果兩個粒子以相同的速度運動，則電子波的頻率比質子波的頻率(高/低)。

   (c) 如果你想增加電子的波長，你應該(降低電子的速度/提高電子的速度)。

5. 從以下選項中選擇正確的語句。影響物體波長的因素是……

   (a) 只有物體運動的速度

   (b) 只有光速

   (c) 光速和物體的質量

   (d) 只有物體的質量

   (e) 物體的運動速度和物體的質量

6. 從以下選項中選擇正確的語句。

   (a) 光只表現出波的性質，物質只表現出粒子的性質

   (b) 光只表現出波的性質，物質只表現出波的性質

   (c) 光只表現出粒子的性質，物質只表現出波的性質

   (d) 光既表現出波的性質，又表現出粒子的性質，但物質只表現出粒子的性質

   (e) 光只表現出波的性質，但物質既表現出波的性質，又表現出粒子的性質

   (f) 光既表現出波的性質，又表現出粒子的性質，物質也既表現出波的性質，又表現出粒子的性質

7. 請填入以下每個空白。

   (a) 德布羅意使用_______和_______這兩個方程推匯出物質波波長的方程。

   (b) 科學家最初在 ______ 中尋找物質波，並最終發現了它們。這是一個好主意，因為 ______ 足夠小，可以產生在實驗室中可觀察到的物質波。

8. 一個 5.0 千克的保齡球以 2.0 米/秒的速度在球道上滾動，它的波長是多少？
9. 如果你以 1.0 米/秒的速度穿過一扇門，你的體重為 120 磅（或 54 千克），你的波長是多少？（這大約也是會導致你身體發生衍射的門寬。）
10. 一輛汽車的質量為 1250 千克。如果汽車的波長為 2.41×10⁻³⁸ m，汽車以什麼速度行駛？
11. 一輛以 14.8 米/秒的速度在賽道上滑行的雪橇，其波長為 1.79×10⁻³⁷ m。雪橇的總質量是多少？

詞彙

物質的波粒二象性

物質同時表現出粒子性和波動性。

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