同調代數/序列

引理：在$Ab$-富集範疇中，如果$f$是一個核，$g$是$f$的餘核，那麼$f$是$g$的核。

證明：設$f$ 是$h$ 的核。由於$hf=0$，並且$g$ 是$f$ 的餘核，則存在$k$ 使得$h=kg$。對於所有$l$ 使得$gl=0$，有$hl=kgl=k0=0$。由於$f$ 是$h$ 的核，$l$ 可以唯一分解成$f$。 $\Box$

推論：在一個阿貝爾範疇中，考慮一個序列$a{\xrightarrow {f}}b{\xrightarrow {g}}c$。以下條件等價

1. $g$ 是$f$ 的餘核，並且$f$ 是$g$ 的核。
2. $f$ 是單同態，而 $g$ 是 $f$ 的上核。
3. $g$ 是滿同態，而 $f$ 是 $g$ 的核。

定義（短正合列）:

如果 $\cdot {\xrightarrow {f}}\cdot {\xrightarrow {g}}\cdot$ 滿足以上任何一個等價條件，則我們稱之為 **短正合列**。

命題（裂解引理）:

設 ${\mathcal {C}}$ 為阿貝爾範疇，並假設

$0\longrightarrow A\xrightarrow {\qquad f\qquad } B\xrightarrow {\qquad g\qquad } C\longrightarrow 0$

是一個短正合列。那麼以下陳述等價：

1. 存在一個態射 $l:B\to A$ 使得 $l\circ f=\operatorname {id} _{A}$
2. 存在一個態射 $r:C\to A$ 使得 $g\circ r=\operatorname {id} _{B}$
3. 短正合列 $0\longrightarrow A\xrightarrow {\qquad f\qquad } B\xrightarrow {\qquad g\qquad } C\longrightarrow 0$ 與短正合列 $0\longrightarrow A\xrightarrow {\qquad \iota _{A}\qquad } A\oplus C\xrightarrow {\qquad \pi _{C}\qquad } C\longrightarrow 0$ 同構。

證明： 首先假設 $0\longrightarrow A\xrightarrow {\qquad f\qquad } B\xrightarrow {\qquad g\qquad } C\longrightarrow 0$ 與 $0\longrightarrow A\xrightarrow {\qquad \iota _{A}\qquad } A\oplus C\xrightarrow {\qquad pi_{C}\qquad } C\longrightarrow 0$ 同構，透過同構 $\varphi :A\to A$, $\psi :B\to A\oplus C$ 和 $\chi :C\to C$。那麼存在 $l$ 如同 1. 中所述，因為我們可以簡單地定義

$l:=\varphi ^{-1}\circ \pi _{A}\circ \psi$;

$l$ 具有所需的性質，因為根據鏈復形態射的定義，$\psi \circ f=\iota _{A}\circ \phi$，並且 $\pi _{A}\circ \iota _{A}=\operatorname {id} _{A}$。現在假設確實存在 $l:B\to A$ 使得 $l\circ f=\operatorname {id} _{A}$。由於 $A\oplus C$ 是雙積，它特別是積，因此 $l$ 和 $g$ 定義了一個唯一的態射 $\Phi :B\to A\oplus B$ 使得

$l=\pi _{A}\circ \Phi$ 和 $g=\pi _{B}\circ \Phi$.

然後，$\Phi$，連同關於 $A$ 和 $C$ 的恆等式，產生了鏈復形的同構。2. 和 3. 的等價性是 1. 和 3. 等價性的對偶陳述，因此無需單獨證明。$\Box$