IB 數學 (HL)/代數

主題 1：核心 - 代數

數列和級數

等差數列和級數

等差數列是符合以下形式的數列

$u_{n}=u_{1}+d(n-1)$

其中 $u_{n}$ 是數列的第 $n^{th}$ 項，$u_{1}$ 是數列的首項，d 稱為公差。該數列的獨特之處在於數列的下一項是前一項加上公差。例如，

$1,2,3,4,...$

其中公差為 1，首項為 1。可以使用上述公式建立的等差數列的通項公式為

$u_{1},u_{1}+d,u_{1}+2d,u_{1}+3d,...$

等差級數是等差數列所有項的和。使用上面的例子，級數可以寫成

$1+2+3+4+...$

有限等差級數到第 $n^{th}$ 項"$u_{n}$" 的和可以用以下公式表示

$S_{n}={\frac {n}{2}}(u_{1}+u_{n})={\frac {n}{2}}(2u_{1}+d(n-1))$

和也可以用 sigma 符號表示

$\sum _{n=1}^{k}\left[u_{1}+d(n-1)\right]$

其中 $u_{k}=u_{n}$。當項數趨於無窮大時，所有等差級數都發散。這就是為什麼等差級數的和只能求到有限項。

等比數列和級數

等比數列是符合以下形式的數列

$u_{n}=u_{1}r^{n-1}$

其中 $u_{n}$ 是數列的第 $n^{th}$ 項，$u_{1}$ 是數列的首項，r 稱為公比。在這樣的數列中，後一項是前一項乘以公比所得。幾何級數的例子是：

$1,3,9,27...$

幾何級數是指幾何數列所有項的和。對於上面的例子，幾何級數是：

$1+3+9+27...$

有限幾何數列前 $n^{th}$ 項 $u_{n}$ 的和可以用以下表達式表示：

$S_{n}={\frac {u_{1}(r^{n}-1)}{r-1}}={\frac {u_{1}(1-r^{n})}{1-r}},r\neq 1$

該和也可以用求和符號表示

$\sum _{n=1}^{k}u_{1}r^{n-1}$

其中 $u_{k}=u_{n}$。與等差級數不同，幾何級數並不一定發散。如果公比 r 滿足 $\left|r\right|>1$，那麼該級數發散。如果 $\left|r\right|<1$，那麼該級數收斂，並且當 n 趨於無窮大時，數列的第 $n^{th}$ 項的值趨於零。

對於發散的幾何級數，只有在 n 為有限值的情況下才能計算其和。然而，對於收斂的幾何級數，無限項的和可以用以下表達式表示：$S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}$ 或者 $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {a}{1-r}}$

複利和人口增長

複利基於等差數列的概念。假設以利率 r 投資 P 元，並且每年複利 n 次。時間以年為單位，用 t 表示。這將是一個數列：

$P_{0}=P\,$

$P_{1}=P+{\begin{matrix}{\frac {r}{n}}\end{matrix}}P=P(1+{\begin{matrix}{\frac {r}{n}}\end{matrix}})$

$P_{2}=P(1+{\begin{matrix}{\frac {r}{n}}\end{matrix}})+({\begin{matrix}{\frac {r}{n}}\end{matrix}})(P(1+{\begin{matrix}{\frac {r}{n}}\end{matrix}}))=P(1+{\begin{matrix}{\frac {r}{n}}\end{matrix}})^{2}$

$P_{n}=P(1+{\begin{matrix}{\frac {r}{n}}\end{matrix}})^{nt}$

對於人口增長，相同的函式仍然適用，其中 P 表示初始人口數量，r 表示人口增長的比率。

指數和對數

指數

代數部分需要理解指數以及對指數進行運算。指數函式的一個例子是 $a^{c}$，其中 a 被提升到 $c^{th}$ 次方。指數的計算方法是將底數自身相乘，相乘的次數由指數決定。例如，$2^{3}=2\times 2\times 2=8$。如果指數是分數，則表示開根號。例如，$4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$。以下是一些需要記憶的指數運算定律：

• $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$
• $a^{m}/a^{n}=a^{m-n}$
• $(ab)^{m}=a^{m}b^{m}$
• $(a^{m})^{n}=a^{mn}$
• $a^{m/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$

對數

它還需要理解對數。對數可以用來解指數方程，例如$2^{x}=8$，可以透過對兩邊取對數或應用對數規則來解決。對數的預設底數為 10。對數的底數表示指數形式中被提升到冪的數。被取對數的數是指數。透過將對數與指數聯絡起來，我們可以推斷出$2^{x}=8$ 等同於$\log _{2}8=x$。對數規則如下

• $\log _{a}a=1$
• $\log _{b}a^{x}=x\log _{b}a$
• $\log _{a}b=b^{a}$
• $\log _{b}a={\frac {\log _{c}a}{\log _{c}b}}$

相同的規則也適用於$\ln$，因為它與$\log _{e}$ 相同

組合與二項式定理

該定理與二項式有關。

複數

複數是包含負數平方根的數。-1 的平方根是 i。

棣莫弗定理

棣莫弗定理是對複平面上的極座標形式的擴充套件。其形式在下面給出。

$\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\,$


建立者：JTLenzz 和 Lance

編輯者：lichking21st 於 2013 年 3 月 28 日